追根溯源探本質求簡重悟促發展

李靜

【摘? ?要】植樹問題是數學廣角的經典內容。課堂上，教師能順利引導學生得出三種模型的公式，可一旦進入實際應用，學生往往又不知所措。有效教學的展開可分三個層次：一是追本溯源，分析植樹問題的本質屬性，確定教學定位;二是求簡重悟，從包含除的意義入手，經歷“段數”與“棵數”建立聯系的過程，體驗一一對應的數學思想;三是學以致用，通過遞進式的練習設計，提高學生應用所得方法解決問題的能力，由此幫助學生感悟數學思想。

【關鍵詞】植樹問題;一一對應;除法意義

一直以來，植樹問題都是人教版“數學廣角”各類研究課、公開課的經典選擇。課堂上，教師能順利引導學生得出三種模型的公式，學生也能說得清楚明白。然而一旦運用到解決實際問題中，很多學生就判斷不出到底是該“加1”“減1”，還是不加不減。筆者認為，植樹問題的教學不是歸納出三種類型，將它們加以記憶甚至要求學生以此為模板對號入座那么簡單，而是要遵循數學廣角的設計理念：經歷數學學習的過程，在活動中感悟數學思想。

一、追本溯源，探究植樹問題的“根”

植樹問題承載的數學思想是對應，教學時應該充分發揮學具、圖示的作用，讓學生深入理解算式的意義、將學習目標牢牢定位在對應思想的體驗與感悟上，真正建立“棵數”與“段數”之間的一一對應關系。這樣，哪怕日后遺忘了所謂的公式，學生也能憑借對除法意義的理解，應用對應思想重新找回解決問題的路徑與手段。這便是學習數學廣角的意義與價值所在。

“植樹問題”并非是一種橫空出世的新問題，它與“路燈問題”“樓梯問題”“敲鐘問題”“鋸木問題”等都屬于間隔問題，即間隔長度不變，點和間隔依次重復出現的問題。其中，間隔數=總長度÷間隔長度，就是在求“一個數里面有幾個另一個數”。因此，植樹問題本質上是包含除意義的生活應用。教師完全可以將它與以前學過的用除法解決問題聯系起來：間隔數就相當于“段數”，是除法運算得到的商，而植樹問題求的是“棵數”，所以不能直接把商作為結果，還需要根據實際情況對商進行微調。就像有余數除法要根據實際情況對余數進行“進一”“去尾”的處理一樣，植樹問題的結果會出現“商+1”“商-1”“商不加不減”這三種情況。

二、求簡重悟，實踐植樹問題的“本”

基于對植樹問題本質屬性的判斷，根據它的教材定位，結合它的教學現狀，筆者以為：既然植樹問題本質上是除法，那就從包含除入手，把它定位成特殊的除法問題進行處理;既然數學廣角定位在數學思想的感悟，那么學生應用一一對應思想成功解決問題的經歷便是本課最大的價值。為此，筆者求簡重悟，進行了以下的教學實踐與創新。

（一）循序感悟，完善活動經驗積累

植樹問題作為特殊的用除法解決問題，并非空降而來，自有其來龍去脈。靜心回溯，抬眼便見蘊伏，比如：

（1）一個一個數，從3數到8，要數幾次？

（2）畫一條5厘米長的線段，從刻度3出發，要畫到刻度幾？

（3）爸爸出差，3月3日出發，3月8日回來，一共去了多少天？

以上3題都是數學學習中的常見問題，看似風馬牛不相及，其實就是間隔問題的雛形與生活原型，是系統學習植樹問題的基礎。如果將其轉化成線段圖，其共有的本質就呼之欲出。

這里的數次數，計算經過的天數，就是“棵數”，而畫線段是單位長度的累加，關注了“段數”。類似的題還有很多，且都有相應的變式。這些從一年級開始就逐漸出現在我們眼前的學習材料，都是感悟植樹問題的良好載體，需要教師用足用好。如通過畫一畫、數一數、比一比等活動積累基本的數學活動經驗，以期厚積薄發，本課亦不例外。

【課堂回眸】

1.情境呈現。

師：在一條長20米的小路一邊植樹，每隔5米種一棵，需要種幾棵？請你在練習紙上畫一畫，再列式算一算。

2.反饋匯報，整理驗證三種情況。

（1）兩端都種。

黑板上學具驗證，突出間隔5米。

（2）只種一端。

師：生活中什么情況下這一頭就不種了呢？（有障礙物）

師：障礙物還可能在哪里？（突出首尾）

師：能不能中間不種？（排除非間隔問題）

（3）兩端不種。

3.小結。

師：看來在同樣的條件下，生活中會出現這樣三種情況。

【片段分析】

通過畫一畫、算一算，學生能整體感知植樹問題的三種情況，了解生活中由于實際情況的不同，植樹的結果也會不同。這三種情況中，只種一端的情況需深入解讀。“可以頭不種，可以尾不種”，那學生自然會想到能不能中間不種，但中間不種的情況恰恰不是正解，從表面上看，不符合“每隔5米”的條件，從本質上說，就不屬于間隔問題，看似隨口一問、順手一解，其實是對今天所研究問題的概念界定。

（二）另辟蹊徑，納入原有知識體系

植樹問題的本質是間隔問題，歸屬于用包含除解決問題，只是要根據具體情況對商進行微調。因此，教學可以從除法入手，與除法的意義建立關聯，將其納入學生原有的認知結構。

【課堂回眸】

1.回顧舊知。

師：課前，同學們編了能用20÷5=4解決的數學問題，如：20個桃子，5個一筐，能裝多少筐？每盒牛奶5元，20元能買多少盒？想一想，為什么講的事情不一樣，卻都可以用20÷5=4來解決？

生：都是在求20里面包含了4個5。

2.新課學習（略）。

3.對比提升。

師：剛才我們研究了植樹中的數學問題，一起來回顧一下，明明是同樣的信息，為什么會出現不同的結果？

生：考慮生活實際，情況不同，答案也不相同。

師：答案不一樣，那有什么一樣的地方嗎？想一想，都是先求什么？

生：都是求段數，用除法。

師：為什么要用除法來算？

生：都是求20里面有幾個5。20米中，5米一段，有這樣的4段。

師：4段要種幾棵樹呢？

生：要根據生活實際來考慮棵數。如果是兩端都種，一棵一段，多出1棵要加1;如果只種一端，一一對應，不加不減;如果兩端不種，少了1棵要減1。

師：植樹問題和學過的除法有什么不同呢？

小結：植樹問題本質上就是除法問題，要根據實際情況對答案進行調整。

【片段分析】

課堂伊始，教師出示了學生用20÷5=4編寫的數學問題，在這里有意識地選擇了包含除，目的是喚醒學生的認知，同時也為后續與植樹問題進行比較備好素材。對比提升環節，教師通過問題串的形式引發學生深入思考。“同樣的信息，為何結果不同？”指向植樹問題的現實背景，“答案不同，有相同的嗎？”意在發現它們的共通之處，“為什么用除法做？”揭示它的除法本質，“4段要種幾棵？”關注了對商的處理。層層遞進，串珠成鏈，引導學生將今日新知納入原有的知識體系，求同存異。

（三）圖式結合，切實體驗一一對應

學習植樹問題的關鍵，是用“一一對應”的思想來分析兩個量之間的數量關系，完成從“段數”到“棵數”的轉化。因此，結合圖示理解算式的含義，通過對應建立兩個量之間的關聯，是本課的重點也是難點所在。

【課堂回眸】

1.兩端都種。

（1）理解算式的含義。

師：種了幾棵，你能用算式來表示嗎？

生：20÷5=4，4+1=5。

師：20÷5=4，這個4表示什么？

生：有4段，也就是20里面有4個5。

師：為什么要加1？結合圖給我們解釋解釋。

生：一棵樹對應一段，右邊多出一棵要加1。

結合學具進行操作（如圖）。

師：這兩個4一樣嗎？

生討論后得出結論：不一樣，第一個4表示4段，第二個4表示和4段一一對應的4棵。

（2）探尋解決方法。

師：（課件呈現）如果接著往下種，25米要種幾棵？怎樣的6棵？

生：和5段一一對應的5棵，和一一對應后多出來的1棵。

師：（課件呈現）100米呢？

師：看著屏幕和黑板，如果兩端都種，怎么求棵樹？

生：棵數=段數+1。

2.只種一端與兩端不種。

師：只種一端和兩端不種的情況下，棵數和段數又有怎樣的關系？為什么是怎樣的關系？選擇一種，和同桌一起畫畫圖，討論討論。

【片段分析】

20÷5=4，4+1=5，這兩個“4”是同樣的意思嗎？一開始，學生可能會發愣，但很快就會有所頓悟，在對比中發現第一個“4”作為除法的商，求的是“一個數里面有幾個另一個數”，是“段數”，而第2個“4”則是“棵數”，進而思考“段數”是如何與“棵數”建立聯系的。通過學具的操作擺放，深刻體會“一一對應”正是解決這個轉化問題的關鍵所在。因此，關注到兩個“4”的區別，就關注到了兩個量之間的關系，就找到了體驗植樹問題背后數學思想的抓手。

三、學以致用，尋找植樹問題的“形”

植樹問題很多時候并未清晰告知類型，是隱藏了提示語的，給學生的學習帶來巨大困難，“上課熱熱鬧鬧，作業亂七八糟”也就能理解了。教學時需要引導學生透過現象看本質，尋找生活中植樹問題的應用范例，讓學生能夠用學到的“植樹問題”的原理來解釋生活中的現象，充分感受數學與生活的緊密聯系。為此，筆者進行了三個層次的練習設計。

（一）簡單應用重對應

師：先判斷下面的3件事分別屬于哪種情況，再列式計算。

（設計意圖：基礎練習提供了植樹問題的常見范例，具有典型性，將學生從“樹”的定勢中解脫出來。練習時重在引導學生結合實際情況展開判斷，對商的結果進行調整。）

（二）提升練習會聯想

師：這是寧波地鐵分布圖，請你當當小小設計師，為規劃中的地鐵線路設計站點。

（1）直線型。

師：為什么是兩端都設站點？

（2）環形。

師：環線是什么意思？其實就是哪種情況？你能想辦法證明嗎？

課件播放從環線到一端不設站點的變化過程。

（設計意圖：提高練習結合社會熱點，滲透環形的情況，并通過課件，演示了與“只種一端”之間的關聯。這一做法既再次突出了“一一對應”思想，也促進學生進行知識間的聯想。）

（三）拓展練習促深思

（1）101班正在進行優秀年畫展示，展出了6幅作品（如圖固定）。

一共需要多少個磁鐵？（3+1）×（2+1）=12（個）。

（2）依然照這種方法固定，要展出12幅作品，最多需要（? ）個磁鐵？

（設計意圖：無論是直線型還是環形，都是一維平面上的植樹問題，拓展練習將這一問題推向二維，學生需要從長、寬兩個角度進行思考，顛覆了學生的慣性思考，那還能不能推廣到三維呢？想必深思的種子會就此生根發芽、深入人心。）

參考文獻：

[1]朱向陽.從模式到意義：數學知識的教學價值[J].數學教學通訊，2018（9）.

[2]張秋爽.關于植樹問題的再思考[J].教育科學論壇，2016（11）.

[3]斯苗兒.把問題的淵源交給學生[J].小學數學教育，2015（12）.

[4]章穎.追根溯源 用于非“常”—“植樹問題”教學探討[J].小學數學教師，2015（7-8）.

（浙江省寧波市海曙區鎮明中心小學? ?315000）