立足本源，融會(huì)貫通

董文彬

北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中常常有一些數(shù)學(xué)思考性很強(qiáng)的問(wèn)題，它們的基本特征是拓展性和開放性，與“四基”密切相關(guān)。教師知道這些題目對(duì)激發(fā)學(xué)生的探究興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力有很大作用，但又糾結(jié)于學(xué)生的思維水平差異較大，指導(dǎo)上有困難。因此有的教師干脆將這些問(wèn)題作為彈性作業(yè)布置，課堂上也不進(jìn)行引導(dǎo)，任學(xué)生自由發(fā)展;有的教師在課堂上機(jī)械地反復(fù)講、練，直到學(xué)生形成解題“套路”。這些皆與兒童的數(shù)學(xué)理想學(xué)習(xí)相距甚遠(yuǎn)。

這些習(xí)題怎么處理？要不要拓展為課堂教學(xué)？怎樣拓展？筆者在思考的基礎(chǔ)上，對(duì)北師大版數(shù)學(xué)教材三年級(jí)下冊(cè)一類思維題進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐與嘗試。

一、審題：明晰問(wèn)題條件和要求

出示“問(wèn)題1”：王老師為小朋友們準(zhǔn)備了一張長(zhǎng)32厘米、寬15厘米的長(zhǎng)方形彩紙，最多可以剪成多少?gòu)堖呴L(zhǎng)是2厘米的正方形紙？

師：這道題目已知哪些條件或信息，要解決什么問(wèn)題？

生：知道長(zhǎng)方形紙的長(zhǎng)是32厘米，寬是15厘米，還知道要剪的正方形邊長(zhǎng)是2厘米。要解決的問(wèn)題是長(zhǎng)方形紙中最多能剪多少個(gè)正方形。

師： “最多”是什么意思？

生：因?yàn)閺拈L(zhǎng)方形紙上可以剪一個(gè)、兩個(gè)，還可以剪很多個(gè)，“最多”就是最大限度的意思。

生：就是盡可能把這張長(zhǎng)方形紙都用上。

[思考：三年級(jí)學(xué)生雖然有一定的解題經(jīng)驗(yàn)，但考慮到其數(shù)學(xué)理解的差異性，教師有必要在教材靜態(tài)呈現(xiàn)題目的基礎(chǔ)上配附實(shí)物圖;引導(dǎo)其如何審題，明確已知信息、條件及所要解決的問(wèn)題，分析關(guān)鍵詞，幫助學(xué)生積累審題的經(jīng)驗(yàn)。]

二、交流：悟辨解決問(wèn)題的策略

（師出示提示要求）

自主探究提示：

1.獨(dú)立思考嘗試解決。

2.如有需要，可以借助桌面上的長(zhǎng)方形紙畫一畫、剪一剪，幫助自己思考。

3.盡可能翔實(shí)地寫出你的思考過(guò)程。

師：接下來(lái)按提示要求，請(qǐng)你思考解決。（生嘗試解決，師巡視指導(dǎo)。之后展示學(xué)生的學(xué)習(xí)成果）

生：我是這樣想的：先計(jì)算出長(zhǎng)方形紙的面積32×15=480（平方厘米），再計(jì)算出小正方形的面積2×2=4（平方厘米），長(zhǎng)方形紙上能剪幾個(gè)這樣的正方形就看長(zhǎng)方形的面積里有幾個(gè)正方形的面積，有幾個(gè)就能剪幾個(gè)，列式為480÷4=120（個(gè)），所以最多能剪120個(gè)。我的想法大家聽懂了嗎？

師：還有誰(shuí)和他一樣也是這么想的？（教室里有21名學(xué)生舉手）

生：我的思考和他不一樣，答案也不一樣。我是這樣想的：先看長(zhǎng)方形紙的一行能剪幾個(gè)正方形，也就是看32里有幾個(gè)2，列式是32÷2=16（個(gè)）。再看一列能剪幾個(gè)，也就是15里有幾個(gè)2，列式是15÷2=7（個(gè)）……1。然后用16×7=112（個(gè)），所以我的結(jié)論是最多能剪112個(gè)。

師：誰(shuí)聽懂了他的想法？

生：他的思路和我的一樣。我就是這樣一行一行剪的，先看一行能剪幾個(gè)，對(duì)應(yīng)著也就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)里有幾個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，再看能剪幾行，就是寬的方向能剪出幾個(gè)，對(duì)應(yīng)著就是長(zhǎng)方形的寬里有幾個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。然后用“一行的個(gè)數(shù)”乘“行數(shù)”就是最多能剪出的正方形的總個(gè)數(shù)了。

生：可是這兩種思路都對(duì)嗎？如果都對(duì)，那為什么最后的結(jié)論又不一樣呢？

師：這個(gè)問(wèn)題提得好！這是怎么回事？

生：我覺(jué)得應(yīng)該有一種方法是不對(duì)的。

師：對(duì)比這兩種解決問(wèn)題的方法，看看問(wèn)題出在哪兒？（教室里安靜下來(lái)）

生：我認(rèn)為第一種方法是錯(cuò)的，第二種才是對(duì)的。我是按第二種思路剪的，發(fā)現(xiàn)一行能剪16個(gè)，能剪7行，也就是一共最多能剪16×7=112個(gè)。但剪完后發(fā)現(xiàn)還剩余一條紙，也就是說(shuō)這張紙沒(méi)有被完全利用，有浪費(fèi)。而第一種方法用長(zhǎng)方形的面積除以正方形的面積，算完后可以看出整張長(zhǎng)方形紙全部被使用了，沒(méi)有浪費(fèi)。但實(shí)際在剪的時(shí)候是有浪費(fèi)的，所以第一種方法是錯(cuò)的。

生：我同意你的想法。我們實(shí)際剪的時(shí)候的確是按照第二種方法剪的，結(jié)果也確實(shí)是剩余了一條紙。

生：我明白了！按照大面積除以小面積這種方法算出的答案120個(gè)，是一種很理想的剪法，沒(méi)有浪費(fèi)紙，而在實(shí)際剪的時(shí)候長(zhǎng)方形紙沒(méi)有被完全使用，是有浪費(fèi)的。所以第一種方法是錯(cuò)的。

[思考：提供長(zhǎng)方形紙學(xué)具，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)需求和學(xué)習(xí)差異，通過(guò)畫一畫、剪一剪等實(shí)際操作，能幫助學(xué)生探究思考。學(xué)生原生態(tài)的兩種思路與方法，需要在交流和分享中辨析感悟。學(xué)生認(rèn)為“長(zhǎng)方形的面積里包含有幾個(gè)正方形的面積，就能從長(zhǎng)方形里剪幾個(gè)正方形”，這是理想化的想法，而實(shí)際操作并非如此，如果真要去剪（要使剪出的正方形數(shù)量最多），應(yīng)該是“一行一行”（或“一列一列” ）地剪，先看一行（或一列）能剪幾個(gè)，再考慮能剪幾行（或幾列）。教學(xué)中要啟發(fā)學(xué)生，解決問(wèn)題時(shí)既要有數(shù)學(xué)思考，也要聯(lián)系實(shí)際現(xiàn)實(shí)。]

生：可是為什么第一種方法比第二種多剪出了8個(gè)呢？

師：是啊，多剪出了8個(gè)正方形，多在了哪兒呢？

生：實(shí)際剩余的那條紙也是長(zhǎng)方形的，長(zhǎng)是32厘米，寬是1厘米，面積是32×1=32平方厘米，而要剪出的正方形面積是4平方厘米，32÷4=8個(gè)，按照第一種方法，剩余的那條長(zhǎng)方形紙里正好能剪出8個(gè)正方形，就是多剪出的那8個(gè)。

生：我和你的想法一樣。第一種方法是把剩余的那條長(zhǎng)方形紙也給剪了，是重新對(duì)拼后剪的。對(duì)拼后，這條長(zhǎng)方形紙就變成了長(zhǎng)16厘米寬2厘米的，剪邊長(zhǎng)是2厘米的正方形正好能剪出8個(gè)。而實(shí)際中是不能這樣對(duì)拼之后再剪的。

生：我是這樣想的。首先直接在原來(lái)的長(zhǎng)方形紙上畫邊長(zhǎng)是1厘米的小方格，一行正好畫出32個(gè)，正好畫出15行，一共畫出了32×15=480個(gè)方格。而邊長(zhǎng)是2厘米的正方形面積是2×2=4平方厘米，也就是說(shuō)一個(gè)這樣的正方形包含4個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的小方格。然后我再把4個(gè)小方格重新畫一組，一組就是一個(gè)要剪的正方形，這樣畫下去，一行正好能畫出16個(gè)，畫出7行后還剩下一行32個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的小方格，但這些小方格不能再重組了，就剩下了。所以最后只能剪出16×7=112個(gè)正方形。

生：哦——我明白了！剩下的32個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的小方格面積正好是32個(gè)1平方厘米，也就是32平方厘米，和前面剪剩的那條長(zhǎng)32厘米、寬1厘米的長(zhǎng)方形紙大小正好對(duì)上。這32平方厘米的紙，如果按照前面第一種方法正好還能剪出8個(gè)正方形，但這只是假想的，實(shí)際中根本剪不出來(lái)。

（教室里響起掌聲）

師：非常好！我們不但知道第一種解決方法不正確，而且還通過(guò)各種方式找到了錯(cuò)誤背后的根源，這樣的交流很有價(jià)值。

[思考：學(xué)生提出的兩種策略剪出的正方形“為什么差8個(gè)，差在哪”，完全在我的預(yù)料之外。沿著學(xué)生的思維拾級(jí)而上，教師不但讓學(xué)生在化錯(cuò)中找到錯(cuò)誤的根源，而且讓他們?cè)俅误w會(huì)到了“用大面積除以小面積”這種方法在實(shí)際操作中并不一定可行。]

三、提升：貫通聯(lián)系完善認(rèn)知

出示“問(wèn)題2”： 一張長(zhǎng)32厘米、寬16厘米的長(zhǎng)方形彩紙，最多可以剪成邊長(zhǎng)是2厘米的正方形紙多少?gòu)垼?/p>

師：這道題目能用“大面積除以小面積”的方法解決嗎？

生：我用第二種方法算，一行能剪出32÷2=16個(gè)，能剪16÷2=8行，所以正好能剪16×8=128個(gè)。

生：我用第一種方法算，長(zhǎng)方形面積32×16=512平方厘米，小正方形面積是2×2=4平方厘米，512÷4=128個(gè)，算出來(lái)也是128個(gè)，說(shuō)明第一種方法也是可行的。

師（疑惑）：這里為什么用“大面積除以小面積”的方法也可以解決？

生：因?yàn)槿绻瞄L(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別除以正方形的邊長(zhǎng)，我們發(fā)現(xiàn)正好都除盡了，沒(méi)有余數(shù)。

師：誰(shuí)聽懂了他的想法，“都除盡了，沒(méi)有余數(shù)”是什么意思？

生：32÷2=16，表示一行正好能剪16個(gè)正方形，說(shuō)明長(zhǎng)方形紙?jiān)陂L(zhǎng)的方向上沒(méi)有剩余，16÷2=8，表示能正好剪8行，說(shuō)明長(zhǎng)方形紙?jiān)趯挼姆较蚣敉?行后也沒(méi)有剩余。也就是說(shuō)這張紙?jiān)诩粽叫螘r(shí)沒(méi)有任何浪費(fèi)，全部都被用上了。

生：對(duì)！前面討論的用“大面積除以小面積”的方法只有在沒(méi)有任何剩余紙的情況下才能適用。

師：非常好！那大家想一想，什么情況下“大面積除以小面積”的思路才適用于解決這類問(wèn)題？

生：當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都是正方形的邊長(zhǎng)的整倍數(shù)時(shí)，前面兩種方法都可以解決。

生：用長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別去除以正方形的邊長(zhǎng)，正好都能被整除時(shí)，“大面積除以小面積”這種方法才適用。

生：我還有一個(gè)發(fā)現(xiàn)。當(dāng)要剪的正方形是面積單位的時(shí)候也屬于這種情況。你看啊，當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)是1厘米時(shí)，不管是用長(zhǎng)方形的長(zhǎng)還是寬去除以邊長(zhǎng)，肯定能除盡啊，因?yàn)槿魏我粋€(gè)整數(shù)都能被1整除。

（教室里再次響起掌聲）

師：太棒了！你們對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)和思維水平又提升了。

[思考：變換題目中的條件信息，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“用大面積除以小面積”的方法也能解決問(wèn)題。學(xué)生通過(guò)認(rèn)知沖突，互動(dòng)交流，思考背后的原因和道理，貫通兩種方法之間的聯(lián)系，再度對(duì)兩種方法進(jìn)行深入對(duì)比、思辨，厘清認(rèn)識(shí)。只有當(dāng)用長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別去除以正方形的邊長(zhǎng)，正好都能被整除時(shí)，“大面積除以小面積”這種方法才適用。最終形成解決此類問(wèn)題的策略。]

四、拓展：聯(lián)系生活應(yīng)用知識(shí)

課件出示：淘氣家準(zhǔn)備在廚房的地面上鋪地磚，有以下幾種尺寸的地磚，選擇哪種可以不用損壞地磚而正好鋪滿？需要這種地磚多少塊？

生解答展示（略）。

[思考：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)貴在建立關(guān)聯(lián)，建立關(guān)聯(lián)有兩種途徑，一是數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的關(guān)聯(lián)，二是數(shù)學(xué)本身與現(xiàn)實(shí)生活的關(guān)聯(lián)。拓展部分設(shè)計(jì)“鋪地磚”旨在加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的關(guān)聯(lián)意識(shí)，感受數(shù)學(xué)的有根、有用、有法、有趣。]

（北京市中關(guān)村第一小學(xué)? 100190）