錘煉方案凝練模型提煉思維

張若靜

【摘? ?要】“打電話”一課的情境設置離學生的現實經驗比較遠，學生會考慮現實操作問題，導致教學起來比較困難。教材編排意圖通過優化方案，讓學生經歷建立模型、歸納推理的過程。巧借“觸碰救人”情境，利用圖式教學、優化方案、弱化表格、建立數據線模型等活動，可讓學生感悟倍增的數學規律。

【關鍵詞】方案;模型;圖式;推理

“倍增問題”即我們熟悉的“打電話”問題，是人教版五年級下冊的一節綜合實踐課。在四年級上冊的“數學廣角”中，教材安排了有關優化思想的學習，讓學生嘗試在解決問題的多種方案中尋找最優的方案，初步體會運籌思想在實際生活中的應用，為“倍增問題”的教學打下了基礎。

在教學調查中筆者發現以下幾點問題：第一，打電話的情境設置離學生的現實經驗比較遠，不利于學生思考方案和建立模型;第二，運用表格進行解題時，要先列表再求解，相當麻煩;第三，學生在建模后的表述仍然不是很清晰，也就是說學生的思維是混亂不清的。

針對這樣的問題，筆者對教學進行了以下思考。

一、擇優選擇情境，對比不同課題

基于學生的生活經驗，針對“打電話”情境，學生會考慮現實操作的問題，如怎么知道誰被通知了，誰沒有被通知？課堂上最優方案的制定也比較困難。基于這樣的學情，筆者沒有沿用教材中的情境，而將情境換成學生生活中熟悉的游戲——觸碰救人。

問題情境改了，課題就得隨著改。之所以選“倍增問題”作為課題，是因為“打電話”這一課題所關注的只是如何解決打電話問題，而“倍增問題”所關注的是具有倍增模式的一系列問題。

“倍增問題”這一課題對學生來說更具數學味。“觸碰救人”的游戲情境，既抓住學生的興趣點，又能更好地激發學生去思考，學生最優方案的制定很輕松，為本節課開了一個好頭。兩個課題給學生留下的課堂痕跡也不同，“打電話”給學生留下的是一個情境的內容，而“倍增問題”給學生留下的是一個數學模型。

（一）巧用情境，游戲激趣

1.出示游戲，講解游戲

今天的學習就從老師編的數學游戲開始，什么游戲呢？——觸碰救人。你們都是木頭人，老師是自由人。如果老師碰一下某個同學，這個同學就被解救了，他也就成為自由人。當然，這個游戲有規則：一次只能解救1位同學。如果1秒鐘解救1名同學，老師要盡快解救全班31名同學。你估計至少要多少秒能解救全班同學？此時，學生會異口同聲地回答31秒。

2.猜游戲時間

為了讓游戲更有意思，增加它的思維含量，我們規定：被解救的人，也可以去解救其他木頭人。現在，按這樣的規則再去解救全班同學，你覺得要多少秒？學生任意猜想，比較集中的答案是20秒、15秒、7秒。利用學生熟悉的游戲情境，設定游戲規則，通過猜想，初步感知游戲中的數學味。

（二）降階游戲，化繁為簡

如何盡快解救全班31個同學？這個問題還是比較復雜的，因為人數比較多，研究這樣的問題，怎么入手會比較好一些呢？教師要引導學生學會化繁為簡，從小數據入手，先解救7名同學，這樣能有效激發學生尋求解決問題策略的熱情。

二、關注學生生成，點撥優化方案

建立模型之前，方案的設計尤為重要。好的方案，能為模型的建立提供事半功倍的效果。

（一）自主探究，設計方案

1.設計方案

同樣的游戲先解救7名同學，為這個問題設計一個方案。

活動要求：

①想一想：怎樣解救最快？

②畫一畫：用三角形表示老師，用圓表示學生。

③算一算：設計出的方案所需要的時間。

課中，捕捉學生的生成，利用學生的生成為新課的展開排兵布陣。一般學生的生成都不會超過7秒，7秒、6秒、5秒、4秒、3秒的結果都會出來。如下圖所示。

2.反饋交流

（1）反饋7秒、6秒、5秒、4秒等方案，同時請設計的同學來擺一擺。學生作品如下：

（2）反饋3秒的方案。

3秒的方案很重要，教師可根據反饋及時追問：這幅圖中第2秒有幾個人去救？第3秒有幾個人去救？給學生充分的時間進行方案的設計，靜下心來思考解決問題的策略。抓住學生的生成，讓反饋的學生上臺說一說、擺一擺自己的方案，能非常清晰地展現學生的思維過程。可見，方案的呈現不能只是靜態的結果，要有動態的生成過程。

（二）對比優化，錘煉方案

1.對比優化

從中選兩個方案進行對比，一個是最優一個不是最優的，探究4秒（或其他幾秒）的方案的時間為什么會多了，原因在哪里。從解決問題的方案中尋找“觸碰救人”的最優方案，發現事物隱含的規律，為抽象出模型做鋪墊。

2.提煉關鍵點

想要設計的方案時間最短，最關鍵的是“不空閑”“不浪費”等。在對比最優方案和不優方案的同時，提煉出關鍵點“每個自由人都不能空閑”。

三、滲透有序策略，修改理清方案

（一）理解方案，修改方案，畫第3秒方案

板書上方案的修改是面向全班的，如果要深入個人，就要放手讓學生獨自修改方案。在修改方案之前，要先滲透“有序”的思考策略，而有序的方式主要采用箭頭線來呈現。在理解第1秒、第2秒分別解救了幾個人的基礎上，請學生按照句式說一說，使學生的語言表述更清晰，思維更嚴謹。同時課件動態呈現箭頭線輔助理解。按照這樣的解救方案，讓學生拿出學習單修改方案，同時思考第3秒的解救方案并畫一畫。通過這樣的引導，學生就能輕松駕馭這些自主操作了。

在“觸碰救人”游戲中，在理解第1秒、第2秒怎么解救的基礎上，教師引導學生規范有序地思考作圖，同時修改自己原先的方案，畫一畫第3秒的解救情形，呈現3秒內有層次感的直觀圖。這樣整齊美觀的符號圖完美地展現了最大限度利用時間的策略，也幫助學生更好地理解了解救7個人至少要3秒，達到了數形結合的效果。

（二）思考第4秒方案，將圖式數據化

按照最優的解救策略，讓學生思考第4秒的情形。學生不難發現前面有8個自由人，就可以解救8個人，課件隨之出示箭頭線。

將直觀圖數據化，形成一條數據線，抽象出模型。因為有直觀圖做支撐，學生理解數據線上的每個數據都非常輕松。

四、弱化表格模式，提煉數據線模型

在之前的教學中，一旦滲透表格就異常困難，所以教師就試著弱化表格，構造一個讓學生掌握起來更方便、更容易上手的模型。如下圖的“數據線模型”：

這個線性模型對比表格的優勢是：首先，線性的結構更有利于學生內化模型; 其次，突出了主干上倍增的數據，使學生易于發現規律;再次，應用起來容易上手，不會像表格那樣繁雜，遇到類似的一系列問題都能用這個模型來解決。

運用這樣的模型解題，解救全班31個人，學生沿用數據線，很快能得到答案——5秒。繼而可以延伸到如果全班是20人要多少秒？18人？15人？……在哪一個范圍之內的人數都可以是用5秒？可見，抽象出數據線模型后，學生運用模型來解題就非常容易，同時還學會了尋找5秒能解救的區間數，學會了找起點和終點。

五、演繹倍增奧秘，應用模型解題

除了學生設計的符號圖、有序的板書直觀圖，課中還運用了方格圖來演示倍增的過程，給學生帶來了強烈的視覺沖擊，在學生腦海里留下了生動的、形象的數學模型。

（一）動圖演示，發現規律

1.找規律

學生發現的規律：①自由人數都是2倍2倍地增加;②被解救的人數都比自由人數少1，少掉的人是老師;③自由人數和秒數之間的關系：第N秒，自由人數等于N個2相乘的積。

2.倍增動圖

課件演示方格圖翻倍的現象，揭示這種翻倍的現象，其實就是數學里面要研究的“倍增問題”。

讓學生從數據上感悟到翻倍的道理，通過方格圖的演示讓學生體驗倍增驚人的結果，感受到翻倍的視覺震撼，感慨數學的神奇力量。

（二）應用模型，探試規律

1.模型的應用

有了以上各種表征方式的鋪墊，讓學生應用數據線模型解決解救200人需要多少秒的問題就變得容易多了。學生解題方式如下：

2.生活中的倍增

一個古印度的故事。在一張棋盤的第1個小格內放1粒米，在第2個小格內放2粒，在第3個小格內放4粒，照這樣放下去，每一小格內都比前一小格增加了1倍。到第64格時，到底要放多少粒米呢？體驗一個小小的1經過不斷的倍增，變成了大大的數據，讓學生深深感嘆倍增神奇的力量。 同時，介紹生活當中其他的倍增現象，如：浮萍的生長、細胞的分裂等。讓學生知道生活中有很多領域都會運用到倍增的數學規律。

綜上，通過斟酌情境、巧妙設計、有序引導，學生建立模型、發現規律、應用規律，都水到渠成。鑒于多方位多角度地演繹，同時提供豐富的內容，構建生動的表象，學生扎實牢固地掌握了倍增模型。數學思想得到了滲透，思維能力得到了培養，核心素養得到了很好的彰顯。

參考文獻：

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（浙江省溫州市瑞安市陶山鎮碧山小學? ?325200）