基于分形理論的伯延鎮傳統聚落空間形態研究

冒亞龍， 張曉婧

(1. 華南理工大學建筑設計研究院有限公司, 2. 華南理工大學建筑學院, 廣東廣州 510641)

1 伯延鎮傳統聚落概況

伯延鎮位于河北省邯鄲市武安境東南部，始建于宋元祐年(1086年)，是冀南傳統聚落的典型代表之一。伯延地勢南高北低，依山傍水，屬于自然發展形成的街巷，曲折蜿蜒，縱橫交錯并隨地勢高低起伏[1]，城鎮空間與自然一體。由于受到燕趙文化的深遠影響而產生了獨特的民居文化[2]。現有徐家宅院與房家宅院保存較好，也最具代表性，其院落空間布局多為四合院或三合院，具有冀南“兩甩袖”的傳統民居的特征，并于2014年3月被列入中國歷史文化名村名錄。

2 分形理論相關概念

2.1 分形

“分形”一詞是由美國哈佛大學數學系教授曼德羅伯特(Benoit B.Mandelbrot)在1975年首次提出，其原意是“不規則的、分數的、支離破碎的”物體[3]。傳統歐幾里得幾何學具有一定的學科局限性，它無法描述自然界中復雜無規則的幾何對象，如曲折的海岸線、起伏的山脈、自然生長的樹木等的輪廓線。而在20世紀70年代作為現代數學一個新的分支的分形理論，對歐幾里得幾何體系進行了拓展和深化，揭示了自然界中復雜非線性自然現象的背后規律，打破了傳統幾何學的局限性，使得幾何學與自然形態之間的相悖關系發生了根本性轉變。分形理論作為連接自然科學與建筑設計的一座橋梁，不僅可以利用其來設計處理建筑與周邊環境的關系，還可以作為一個有力的建筑批評工具，分析評價新老建筑[4]。

2.2 分維

歐式幾何認為點的維數是零，直線或曲線是一維，平面是二維，空間是三維，但是對于自然界中的閃電、山脈、海岸線等復雜不規則的對象，很難說清它是什么形狀，無法用1、2、3這種整數維來描述，這就需要引入分形維數(Fractal Dimension)來衡量。分形維數是分形最主要的參量與量化指標，它將維數從整數擴大到分數，拓展了一般拓補集維數為整數的內涵。

2.3 計盒維數法

計盒維數法是一種計算分形維數的常用方法，能夠以反映分形的自相似程度和復雜性。用正方形覆蓋所要研究的圖形，N為所覆蓋的盒數目，1/S是劃分柵格比例，分形維數值計算公式如下：

3 伯延鎮傳統聚落空間形態的分析

3.1 與自然地形分形同構的聚落整體空間形態

伯延鎮傳統聚落依山就勢，是依據地形特征自然發展而成的聚落空間組織。從分形的角度看，聚落布局也受到傳統民居與宗族思想的影響，呈現出一定的自相似與相嵌特征。各宗族以各自宗族主宅院為核心向外輻射，等級層次分明。宗族間以“丁”字形或“L”形巷道相連，蜿蜒曲折，而在這些巷道的交叉轉彎處經常出現一些以古樹、碾盤、井臺等廣場空間組織而成的公共活動場所，由此構成了伯延鎮的聚落形態[5]。

選用125 m、62.5 m、31.25 m、15.625 m作為柵格單元尺度對伯延鎮總平面進行分形維度計算(圖1)，三種尺度層級計算得出的計盒維數分別為1.698，1.790和1.727，分形維數值較高且相差不大。由此可以說明，伯延鎮聚落空間形態具有較高的分形維數。同時，不同聚落尺度層級相對應的分形維數較為接近，證明各層級空間之間的相似性高，城鎮空間具有連續的尺度層級。

柵格數為8

柵格數為16

柵格數為32

柵格數為64

伯延鎮的發展具有隨機性，所形成的聚落布局也看似雜亂無章，但是由圖2的伯延鎮總圖空間形態與自然地形的對比可得，伯延鎮地勢高差較小，道路多沿等高線排布，后期居民為了提高生活效率在此基礎上適當調整優化，這種自組織建造在走向、形態、尺度等基本上都體現出了順應地勢、呼應地貌的相似性融合的分形同構思想。

圖2 伯延鎮空間形態與自然地形同構分析

3.2 伯延鎮“間-宅-院-街區-聚落”的分形迭代

在伯延民居中，有很多具有代表性的建筑單體，比如徐家大院的 “同門并第”、徐家“九門相照”院、古民居七號院“進士院”等，下面就選取徐家大院的“同門并第”作為民居代表，采用分形的思路進行建筑的空間形態分析(圖3)。

以圖3(a)的“間”作為基本分形空間單元，根據其功能需求適當放大或縮小尺度，也可以按照中國傳統民居文化的序列構成對其在長寬等比縮放的基礎上作出適當調整，形成正房、甩袖、廂房、倒座等伯延鎮特色空間形式，以庭院為中心，結合交通及功能需求，并參照風水對其進行組織，形成伯延民居單元“宅”見圖3(c)。將“宅”以明道和宅前人行道路這種“丁”字形交通組織作為迭代法則進行迭代，即可得到同門并第院的“宅”+ “宅”的分形同構院落布局。將“宅”+ “宅”作為民居單元，根據其街道形式，通過放縮旋轉、排列組合逐漸迭代生成尺度不同的街區，進而組合形成“間-宅-院-街區-聚落”的伯延鎮傳統聚落。

如圖3(d)所示，“同門并第”院落坐西朝東，以中間的一條 “明道”為軸，由一個四合院通過對稱并聯而成。其中“明道”主要為行馬道路，與宅院前的人行道路組成的“丁”字形宅間路，與上文提到的街區宗族間的道路形制相同而尺度不同，是一種具有地域特色的迭代規律。

圖3 “間-宅-院-街區-聚落”的自相似構成

這樣的生成過程中伴隨著隨機因素的影響，不一定能體現出其空間結構明確相似的特征，但是在“間-宅-院-街區-聚落”的各個空間與尺度層級間存在著適當放大或縮小尺寸，整個空間關系不變的特點，符合分形的自相似特征，并使整體呈現秩序性，表現出宅院與各部分及環境之間的和諧感。各層次空間結構具有相似性和相嵌的韻律，展示了無序中蘊含有序，復雜中蘊含簡單的分形美。

3.3 尺度層級豐裕的建筑立面形態

以徐家大院為例，繼續運用分形的思維，計盒維數的方法分析伯延民居的空間立面形態，同時也為建筑單體空間界面形態的分析提供不同的思路。

徐家大院建于明末清初(1628年)，是伯延鎮保存最完整，規模最大的莊園。徐家大院西宅院由四進院落串聯而成，因其中軸線貫穿9道大門，故又稱“九門相照”院。建筑空間界面較為豐富，倒座面寬5間，中心為突出的門頭，以木結構為主，斗拱上施瓦頂，并雕刻精致花紋，屋脊兩側有吻獸，突出立體，能夠體現出伯延傳統民居的建筑風格特征。[6]對“九門相照”院立面進行柵格劃分(圖4)，選取2 m為柵格單元尺度時，可發現柵格劃分單元中已經出現大面積空白，說明此時初步具備描述能力。

圖4 “九門相照”院立面柵格劃分

由上述計算可得，在1～2 m的區間，分形維數為1.538；在0.5～1 m的區間，分形維數為1.569。在0.25～0.5 m的區間，分形維數為1.712。對比范斯沃斯住宅的分形維數值1.410可以看出“九門相照”院立面整體分形維數值較高，特別是立面空間在尺度0.25～0.5 m的細節較為豐富。當觀察者逐漸接近大院時，視野中對大院立面的描述逐漸由立面大致外輪廓到大門花窗，再到尺度更小的斗拱、瓦頂、脊獸、檐口，最后仔細觀察可見立面雕花等細節，是一種較為連續的韻律，具有豐富的尺度層級。

4 結束語

應用分形理論和計盒維數法分析伯延傳統民居的空間形態，具有將抽象的空間形態進行量化描述的科學與實用價值。伯延鎮聚落空間形態受自然地形、地貌等影響，在與自然維度相統一的前提下優化調整，基本體現了自然分形的特點。其中伯延鎮聚落的不同尺度層級的空間相似性較高，并且擁有連續的尺度層級和空間豐富性；其單體平面形態以“間”為分形元，根據其功能需求并按照中國傳統文化，放縮旋轉形成正房、甩袖、廂房、倒座等伯延鎮特色空間形式，以庭院為中心，結合交通及功能需求，以道路為迭代規律，通過分形迭代、同構、嵌套的方法演繹了“間-宅-院-街區-聚落”的不同尺度層級的形態，符合分形的自相似特征，并使整體呈現秩序性，表現出宅院與各部分及環境之間的和諧感；各層次空間結構具有相似性和相嵌的韻律，展示了無序中蘊含有序，復雜中蘊含簡單的分形美。在單體立面上精致的門頭、花窗及錯縫搭接的花磚構成了較為連續的韻律，體現出尺度層級的豐富性，從整體上延續了伯延聚落的分形特征。