豎向非軸對稱位移邊界條件下柱孔收縮問題彈性解析

蔣武軍

豎向非軸對稱位移邊界條件下柱孔收縮問題彈性解析

蔣武軍

(湖南省高速公路管理局，湖南 長沙 410001)

針對豎向非軸對稱位移邊界條件下淺埋隧道開挖圍巖位移和地表位移計算，基于虛擬鏡像技術的源-源法，將豎向地表的剪應力修正為0，并在應力修正之前獲得圍巖的彈性解。對于柱孔和鏡像柱孔聯合作用在水平地表邊界產生的豎向正應力和剪應力，采用調和函數及相應的應力函數解答進行應力修正，獲得第2和第3部分圍巖位移解。通過Boussinesq解答和積分思路，將豎向地表邊界的水平正應力修正為0。根據線彈性疊加原理，將以上位移進行疊加，得到豎向非軸對稱位移邊界條件下淺埋隧道開挖圍巖位移的最終解。由圍巖位移最終解推導出水平和豎向地表邊界的地表沉降和側向位移。通過與數值模擬方法的比較，驗證本文理論方法的可靠性。

豎向非軸對稱位移邊界；虛擬鏡像技術；調和函數；應力函數解答；Boussinesq解答；應力修正；線彈性疊加原理；淺埋隧道

隨著公路隧道建設的發展和城市地鐵隧道的迅速建造，越來越多的淺埋隧道工程需要面臨豎向非軸對稱位移邊界條件的施工環境。非軸對稱位移邊界條件下淺埋隧道開挖引起的圍巖穩定性問題已經日益成為一個重要的研究課題。由于現有的柱孔收縮問題理論方法大都是基于無限空間或半無限空間的邊界條件，所以大量的國內外學者主要集中在無限或半無限空間的柱孔擴張或收縮理論方法的研究[1?14]。然而，很少有學者采用全新的理論方法去解決豎向非軸對稱位移邊界條件下淺埋隧道開挖的圍巖穩定性分析問題[15]?；谝陨显?，本文理論方法的提出是為了解決豎向非軸對稱位移邊界條件下淺埋隧道開挖的圍巖穩定性分析問題?；谔摂M鏡像技術、調和函數、應力函數解答、Boussinesq解答[16]和線彈性疊加原理，采用應力修正的思路，形成豎向非軸對稱位移邊界條件下淺埋隧道開挖引起的圍巖任意點位移、地表沉降和地表側移的計算方法?？傊?，本文理論方法能為豎向非軸對稱位移邊界條件下淺埋隧道開挖的隧址選擇和施工安全提供理論指導。

1 問題描述

如圖1所示，一隧道開挖半徑為0，臨邊距離為，隧道埋深為的淺埋偏壓隧道處于豎向非軸對稱位移邊界條件中。由于淺埋隧道的開挖過程可以簡化為柱孔收縮問題，所以隧道內壁邊界會產生徑向收縮位移0。以水平地表邊界和豎向地表邊界的交點為原點，建立空間直角坐標系。距隧道中心水平距離為的位置分布有豎向地表邊界，距隧道中心的豎向高度為處存在水平地表邊界。此外，豎向非軸對稱位移邊界條件指的是水平地表邊界沒有正應力和剪應力。

2 基本假設

為了減少理論分析的難度以及更好地解決本文研究問題，作如下基本假設來計算豎向非軸對稱位移邊界條件下淺埋隧道引起的圍巖任意點位移、地表沉降和地表側移。1) 假設圍巖為均質、連續、各向同性和不可壓縮的彈性體，滿足小變形假設和廣義虎克定律，不考慮隧道圍巖的重力產生的初始地應力影響。2) 假設已知的位移為由淺埋偏壓隧道開挖引起的隧道內壁徑向收縮位移，等于隧道V級圍巖的預留變形量。3) 假設不考慮水平地表邊界和豎向地表邊界應力修正過程的相互影響。

圖1 豎向非軸對稱位移邊界條件下淺埋偏壓隧道開挖的力學模型

3 理論推導

3.1 地表應力修正前的彈性解析

圖2為豎向非軸對稱位移邊界條件下柱孔收縮問題的力學模型。在收縮柱孔和鏡像收縮柱孔的共同作用下，水平地表邊界產生了不為0的豎向正應力1(x,0,0)和剪應力1(,0,0)，并且豎向地表邊界僅僅產生了非均布的水平正應力1(,0,0)。

當不考慮水平和豎向地表邊界的邊界效應時，基于彈性理論的經典基本解析，地表應力修正前圍巖計算點的第一部分位移為

式中：U1和U1為地表應力修正前圍巖計算點(,0,)的第1部分水平和豎向位移；1為圍巖任意計算點和收縮柱孔的距離；2為圍巖任意計算點和鏡像收縮柱孔的距離。

圖2 豎向非軸對稱位移邊界條件下柱孔收縮引起的地表應力

基于彈性力學理論的幾何方程和物理方程，可得地表應力修正前圍巖計算點(,0,)的第1部分應力為

式中：1和σ1分別為圍巖計算點(,0,)的第1部分水平正應力、豎向正應力。為土體彈性模量；為土體泊松比；為土體剪切模量。

3.2 水平地表邊界應力修正

式中：為待定常數，可以通過水平地表邊界滿足自由位移邊界的零豎向正應力條件求得；3和4分別為圍巖計算點與以地表邊界為對稱軸的收縮柱孔中心對稱位置和鏡像收縮柱孔中心對稱位置的距離。

圖3 水平地表邊界豎向正應力修正示意圖

將式(5)代入應力函數解答，可得水平地表邊界豎向正應力修正過程中水平地表邊界的豎向正應力為

將式(7)的值代入應力函數解答，可以得到水平地表邊界豎向正應力修正過程中圍巖計算點第2部分的位移為

3.3 豎向地表邊界應力修正

為了消除水平地表邊界的水平正應力，在豎向地表邊界上施加水平分布力0(0,0,)來平衡收縮柱孔和鏡像收縮柱孔引起的水平正應力(0,0,)。

通過式(4)和0(0,0,)=?(0,0,)的聯合推導，可得豎向地表邊界施加的水平分布力0(0,0,)表達為

其中：為非均布分布力的豎向坐標，的取值范圍為(0,10)。

基于Boussinesq解答、積分思路和應力位移的坐標轉換公式，可得豎向地表邊界水平正應力修正過程中圍巖任意計算點(,0,)的第4部分位移和應力為

3.4 地表應力修正后的彈性解析

根據線彈性疊加原理，可得圍巖計算點(,0,0)的水平地表側移、水平地表沉降如下：

同樣可得圍巖計算點(0,0,)的豎向地表側移、豎向地表沉降如下：

4 數值驗證與工程驗證

4.1 數值驗證

采用ABAQUS有限元分析軟件建立圖4所示的有限元分析模型，得到本文研究問題的數值模擬結果。本節數值驗證選取的算例參數：=15 m，=15 m，0=5 m，0=0.05 m，=20 MPa，=0.5。

圖5給出了采用本文理論方法和數值模擬方法計算出的水平地表邊界位移結果，其中為水平地表邊界計算點與原點的水平距離。

圖4 豎向非軸對稱位移邊界條件下淺埋隧道開挖問題的有限元分析模型

圖5 2種方法下水平地表邊界的位移

如圖5所示，采用本文理論方法和數值模擬方法計算出的水平地表邊界圍巖計算點(,0,0)的水平位移和豎向位移變化規律具有很好地一致性。采用2種方法計算水平地表邊界的水平位移和豎向位移偏差較小。例如，當水平地表邊界計算點與原點的水平距離為15 m時，采用本文理論方法和數值模擬方法計算出來的水平位移和豎向位移的差異百分比分別為7.83%和7.58%。

4.2 工程驗證

4.2.1 工程概況

水平地表沉降現場監測數據依托于龍潭坪隧道開挖工程。龍潭坪隧道地處湖南省湘西自治州古丈縣北部山區，隧道進口和出口分別位于山嶺的一側和山嶺端部旁側，隧道起始和結束里程樁號分別為K37+531和K37+726，總長度為195 m，最大埋深為24.64 m，屬淺埋短隧道。根據地質鉆探資料可知該隧道圍巖以板溪群馬底驛組板巖為主，局部夾砂巖薄層，圍巖等級為Ⅴ級。此外，龍潭坪隧道的縱斷面圖和監測點布置如圖6所示。

4.2.2 計算參數

龍潭坪隧道監測斷面的部分幾何信息：0=5.75 m，=14 m，=15 m，=45°。根據龍潭坪隧道K37+ 570斷面的拱頂沉降的現場監測數據，可知隧道內壁徑向收縮位移0=0.032 m。彈性模量和泊松比取值：=1.5 GPa，=0.45。

4.2.3 水平地表沉降

圖7給出了采用本文理論方法、數值模擬方法和現場監測方法得出的水平地表沉降結果對比 曲線。

圖6 龍潭坪隧道縱斷面示意圖

圖7 3種方法下的水平地表沉降

如圖7所示，隨著計算點與原點水平距離的增加，水平地表沉降的理論方法結果、數值模擬結果和現場監測數據先增大后減小。另外，水平地表沉降的理論方法結果和現場監測數據的差異百分比不超過8%。例如，1st至5th監測點的水平地表沉降理論方法結果分別比現場監測數據大7.55%，5.60%，4.52%，7.14%和7.50%，其理論方法結果分別比數值模擬結果大3.51%，9.09%，8.00%，5.67%和6.98%。

5 結論

1) 基于虛擬鏡像技術、調和函數、應力函數解答、Boussinesq解答、積分思路和線彈性疊加原理，采用應力修正的思路分別修正了水平地表邊界和豎向地表邊界的應力，將淺埋隧道開挖過程簡化為柱孔收縮過程，給出了豎向非軸對稱位移邊界條件下淺埋隧道開挖變形問題引起的圍巖位移計算方法，形成了豎向非軸對稱位移邊界條件下柱孔收縮問題理論解析。

2) 基于豎向非軸對稱位移邊界條件下柱孔收縮問題理論解析，建立了豎向非軸對稱位移邊界條件下淺埋隧道開挖變形問題引起的地表沉降和地表側移計算公式。

3) 采用ABAQUS軟件建立了豎向非軸對稱位移邊界條件下淺埋隧道開挖變形問題的模型，將隧道水平地表邊界的位移進行對比，從而驗證了本文理論方法的正確性。

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Elastic solutions for cylindrical cavity contraction problem under non-axisymmetric displacement boundary conditions on a vertical surface

JIANG Wujun

(Hunan Provincial Expressway Administration Bureau of Hunan Province, Changsha 410001, China)

A new approach of displacements of the surrounding rock for shallow tunnels excavated under non-axisymmetric displacement boundary conditions on a vertical surface was investigated in this study. In the proposed approach, by using the source-source method of virtual image technique, the shear stress of the vertical ground surface was revised to be zero, and elastic solutions of surrounding rock were obtained before stress revision. For the vertical normal stress and shear stress produced by the combined action of cylindrical cavity and the mirror cylindrical cavity on the horizontal surface boundary, the solution of the stress was corrected by the harmonic function and the corresponding stress function solution, and the displacement of the second and third parts of the surrounding rock were obtained. Based on the Boussinesq’s solutions and integral method, the horizontal normal stress of vertical ground surface was revised to be zero. Finally, based on the principle of linear superposition, the above displacements were superimposed to get the final solution of the displacement of the surrounding rock under the vertical non-axisymmetric displacement boundary condition. Furthermore, the ground settlements and lateral displacements of the horizontal and vertical ground surfaces were derived by the proposed approach. The proposed approach was well verified by comparing with the numerical method.

the non-axisymmetric displacement boundary on vertical surface; virtual image technique; harmonic function; stress function solutions; Boussinesq’s solutions; stress revision; linear superposition principle; shallow tunnels

U451.2

A

1672 ? 7029(2019)06?1507 ? 06

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.06.021

2018?07?18

湖南省交通科技資助項目(201121)

蔣武軍(1975?)，男，湖南漣源人，高級工程師，博士，從事隧道設計與建設管理研究；E?mail：jiangwj75@163.com

(編輯 蔣學東)