基于極大值原理的地鐵列車節能駕駛簡化算法

曲健偉，王青元，孫鵬飛

基于極大值原理的地鐵列車節能駕駛簡化算法

曲健偉，王青元，孫鵬飛

(西南交通大學 電氣工程學院，四川 成都 611756)

通過在地鐵列車定時節能駕駛優化問題中引入目標牽引恒速高于線路限速的假設，對以往基于極大值原理分析得到的節能駕駛工況集和節能工況使用時機進行簡化，將給定目標牽引恒速下的節能速度曲線求解問題簡化為在最大能力運行牽引和制動工況基礎上尋求最優惰行連接段的問題。根據最大能力運行的工況結果對線路進行區段劃分，并引入連接函數和連接誤差對惰行工況的連接效果進行表征，基于最優工況切換條件，提出給定目標牽引恒速條件下求解最優惰行連接段的數值算法，并構造給定區間運行時間要求下的最優節能速度曲線計算算法。采用哈爾濱地鐵3號線的列車和線路數據對算法進行驗證，計算結果證明了假設的合理性，與目前該列車采用的實際駕駛策略相比，本文算法可節能21.92%。

地鐵列車；節能駕駛；極大值原理；工況切換條件；連接函數

目前，列車節能駕駛和時刻表節能優化已成為地鐵列車節能運行研究的熱點[1]。節能駕駛優化是進行列車運行時刻表優化的基礎，國內外學者針對該問題進行了大量研究，其中基于極大值原理的方法能夠得到理論上的最優解[2?3]。基于極大值原理的節能駕駛研究最早開始于20世紀60年代，Ichikawa[4]將列車節能駕駛優化問題表達為狀態變量受約束的最優控制問題，基于平直道假設分析得到節能駕駛工況集以及工況切換時機；Khmelnitsky[5]考慮起伏坡道、變化限速和再生能量利用的可能性，給出了節能駕駛工況集并證明了對于給定的區間運行時間條件下最優策略的存在性和唯一性；LIU等[6]結合線路條件分析得到節能工況的使用時機；Howlett等[7-10]給出了平緩坡道情況下的節能駕駛工況序列，證明陡坡條件下最優工況切換點的唯一性，給出了滿足最優工況切換條件的積分公式，證明全局最優切換策略可通過采用局部能耗函數計算每個陡坡區段的最優切換點得到；王青元等[11?12]針對高速列車的節能駕駛，將混合制動的電制動與空氣制動分開建模，對節能駕駛工況集和最優工況切換規則進行了分析。以往基于極大值原理的研究側重于對節能駕駛工況集、節能工況應用條件、最優工況切換條件及最優切換的唯一性進行理論分析，最優工況切換點的計算需要求解包含共軛函數的微分方程組[5, 9?10, 13]，在考慮詳細的列車模型和復雜線路條件時計算過程十分復雜，給該方法的工程應用帶來了困難。針對地鐵列車節能駕駛優化的研究可分為全局速度離散化優化方法[14?15]、基于優秀司機經驗的方法[16]和基于節能工況集的方法。石紅國等[17?20]學者根據實際線路條件確定節能工況序列，采用不同的搜索算法優化工況切換點位置；柏赟等[21]針對地鐵列車在長大下坡上的節能運行，在傳統四階段法的基礎上優化節能工況出現的序列和工況轉換點。劉煒等[22]根據線路限速和坡道劃分子區間，采用時間逼近搜索方法，在最大能力運行速度曲線的高限速到低限速的子區間過渡區段加入惰行來達到節能效果；SU等[23]設定子區間內的最優工況包括最大牽引、惰行、最大制動、恒速牽引、恒速制動，提出一種利用能耗求解節能駕駛策略的方法；GU等[24]分析了子區間在不同坡道和限速情況下的節能駕駛工況序列，并構造了基于非線性規劃的操縱模型。基于節能工況集的地鐵列車節能駕駛研究僅采用了極大值原理分析得到的節能駕駛工況集和工況序列，并沒有使用最優工況切換條件進行工況切換點計算，無法保證求解結果在理論上的最優性。為獲得理論上最優的節能駕駛速度曲線，采用基于極大值原理的常規方法[5, 9?10]對地鐵列車運行速度曲線進行求解，發現節能工況計算結果中目標牽引恒速工況的速度(即2.1節中的v)總是大于線路限速從而無法實現，其工況切換情況更為簡單。基于地鐵列車節能運行工況的這一特點，本文引入目標牽引恒速高于線路限速的假設，基于極大值原理的理論分析結果對節能優化方法進行簡化，在保證節能駕駛求解最優性的同時，構造適合工程應用的數值算法。

1 節能駕駛優化模型

根據地鐵列車運行特點，以列車區間運行采用的牽引加速度和制動減速度為控制變量，考慮列車牽引、制動效率系數和再生能量利用系數，建立以列車區間運行總能耗最小為目標的節能駕駛優化模型。令為列車位置，為速度，為時間，trac，brak，basic和line分別為牽引加速度、制動減速度、基本阻力減速度和線路附加阻力減速度，列車運行狀態方程可表示如下[9]：

2 節能駕駛優化分析

2.1 節能駕駛工況集及簡化

根據極大值原理[5, 9]，引入伴隨向量[1,2]，根據式(1)~(3)，哈密頓函數可定義為：

引入處理限速約束的拉格朗日算子，最優控制滿足以下方程組：

則哈密頓函數變為：

伴隨變量的微分方程為：

由極大值原理可知，為使取極小值，哈密頓函數需取極大值。節能工況分析如下[9]：

2.2 節能工況使用時機及最優切換條件

作為連接牽引區段和制動區段的連接工況，惰行工況的伴隨變量應滿足的最優切換條件為：從牽引區段切入惰行時有=t，從惰行切入制動區段時有=b[5, 9?10]。

3 數值算法

3.1 區段劃分

按列車最大能力運行的牽引區段或制動區段，對最大能力運行工況進行區段劃分，如圖1所示，可知最大能力運行總是由一系列牽引?制動區段對組成。對各區段進行編號，牽引區段編號為奇數，制動區段編號為偶數。

圖1 區段劃分示意圖

3.2 牽引?制動區段對的惰行連接

3.2.1 連接函數定義

圖2 區段連接示意圖

3.2.2 連接函數計算

為便于數值計算，將速度和伴隨變量的微分方程進行離散化處理，設為位置計算索引，Δ為距離計算步長，令為列車加速度，則有

的計算公式為

求解得：

3.2.3 連接誤差計算

通過計算連接誤差，可以得到牽引?制動區段對的最優惰行連接，連接誤差的計算算法如下：

3.3 全程區段連接

根據3.1節的區段劃分，設區段個數為，則區段①，③…(?1)為牽引區段，區段②，④…()為制動區段，每個牽引區段可以與其右側的所有制動區段進行連接誤差計算，計算結果如表1所示。

表1 連接誤差計算表

3.4 定時節能算法

列車定時節能優化的算法流程如下。

Step 1：讀取區間線路參數、列車參數及特性、運行時間，計算最大能力速度曲線、最大能力控制加速度曲線，t和b；

Step 4：針對設定的t和2，根據3.2節的方法計算所有可能的區段連接，并根據3.3節的方法合并連接結果，計算區間運行時間cal；

4 算例分析

4.1 算例1

采用哈爾濱地鐵3號線列車及線路數據進行計算，距離計算步長為1 m。列車車長為120 m，AW2載荷下的動態質量為306.12 t，慣性質量為16.9 t，牽引效率系數為0.871，制動效率系數為0.938，再生能量利用系數為0.9。AW2載荷下的基本阻力公式為4.97+0.001 126+ 0.000 0663 62(kN，對應速度單位為m/s)，牽引特性如圖3所示，制動減速度最大值為1.12 m/s2。

計算用線路區間長1 565 m，區間坡道、曲線和限速數據分別如表2~4所示。

圖3 列車牽引特性曲線

根據列車和線路數據進行最大能力計算，最小運行時間為106.48 s，區段劃分結果如表5所示，共10個區段。

令t=limit=19.44 m/s計算對應的節能速度曲線，得到的有效連接誤差如表6所示，最終確定的牽引?制動區段連接對為①→⑩，對應的區間運行時間為178.98 s。需要注意的是，⑦→⑧也是有效的牽引?制動區段對，但它對應的惰行連接段實際上被①→⑩的惰行連接段所覆蓋，故最終的有效牽引-制動區段對只有①→⑩。

表2 區間坡道數據

表3 區間曲線數據

表4 區間限速數據

t變化對應區間運行時間的變化情況如表7所示，t為19.44，60和120 m/s對應的節能速度曲線及最大能力速度曲線如圖4所示。由表7和圖4可知，隨著t的增大，t因高于限速而無法實現，但t取值影響最優惰行段的計算使惰行連接段不斷縮短，由一個大的惰行連接段逐漸縮短為幾個較短的惰行連接段，且惰行連接段數目逐漸增加，區間運行時間也隨之減小；并且隨著t的增大，區間運行時間減小的趨勢也逐漸減緩，在t=140 m/s時，區間運行時間與最大能力運行時間已經十分接近。

在t=limit情況下得到的區間運行時間與最大能力運行時間相比，有68.09%的運行時間裕量，而地鐵列車正常運營時的區間運行時間裕量一般不超過30%，可見t=limit時對應的區間運行時間裕量遠遠超出地鐵列車實際運營時對區間運行時間裕量的要求。可見在正常區間運行時間范圍情況下的計算，t的取值范圍必然為t＞limit，2.1節對t取值的假設滿足實際應用條件。

表5 區段劃分

表6 vt=19.44 m/s的有效連接誤差

4.2 算例2

采用算例1中的列車和線路數據，區間運行時間要求為111 s，采用3.4節的定時節能算法計算節能速度曲線，對應的t為64.07 m/s。對比方案為該線路列車自動駕駛系統實際采用的駕駛策略。在該運行時間條件下，對比方案采用在最大能力運行的基礎上僅在停車制動前施加惰行的節能駕駛策略，惰行起點通過迭代計算得到。

表7 區間運行時間隨vt的變化情況

圖4 算例1速度曲線計算結果

2種方案的速度曲線計算結果如圖5所示，區間運行時間、惰行段和能耗如表8所示，本文算法比對比方案節能21.92%，節能效果更好。

基于本文算法計算得到的惰行連接段滿足由極大值原理推導得到的最優工況切換條件，在一定的計算精度下可以獲得理論上的最優解，可以認為通過該算法得到的惰行連接段為當前計算精度條件下的最優惰行連接段，能夠充分利用線路條件獲得最佳節能效果。

圖5 算例2速度曲線計算結果

表8 不同節能策略對比

5 結論

1) 以往基于極大值原理的常規方法偏重于目標牽引恒速小于線路限速的情況下的節能駕駛分析，該情況下的牽引目標恒速能夠實現且計算較為復雜；本文基于牽引目標恒速高于線路限速的假設，將給定目標牽引恒速下的地鐵列車節能駕駛優化問題簡化為在列車最大能力運行工況的基礎上加入最節能惰行連接段的問題。

2) 基于以往研究應用極大值原理得到最優工況切換條件，構造簡化情況下計算最優惰行連接段的數值算法，進而得到地鐵列車定時節能速度曲線的計算方法。該簡化算法避免了應用極大值原理的常規方法中對帶伴隨變量的微分方程組的求解過程，并且可以處理詳細的列車模型和復雜的線路條件，適合工程應用。

3) 基于實際列車和線路數據對該簡化方法的假設條件進行驗證，計算結果表明在該假設情況下的區間運行時間范圍滿足地鐵列車實際運行需求，證明了該假設在實際應用中的合理性；在相同的運行時間條件下，本文算法比列車目前實際采用的駕駛策略節能21.92%，證明了算法的節能性。

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A simplified algorithm of energy-efficient driving for metro trains based on the Maximum Principle

QU Jianwei, WANG Qingyuan, SUN Pengfei

(School of Electrical Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 611756, China)

An assumption that the target traction cruising speed is higher than the speed limits was introduced in the problem of energy-efficient driving optimization for metro trains within a given runtime. The energy-efficient driving regime set and the timing of using such regimes, derived from earlier analyses based on the Maximum Principle method, were simplified; and the problem of calculating the energy-efficient speed curve under a given target traction cruising speed was also further simplified as a problem of finding the optimal coasting segments based on the traction and braking regimes of the flat-out run. The section between two stations were divided into different segments based on the results of the flat-out run, and the connection function and connection error were introduced to describe the connection effect of the coasting regime. Based on the switching rules of optimal driving regimes, a numerical algorithm for calculating the optimal coasting segments under a target traction cruising speed was proposed, and an algorithm for calculating the optimal energy-efficient speed curve with the given section runtime was further constructed. The actual data of Harbin metro line 3 were used to verify the algorithm. The results confirm the feasibility of the hypothesis, suggesting that as much as 21.92% energy can be saved when the algorithm is used, compared with the current driving strategy of the train.

metro train; energy-efficient driving; the Maximum Principle; switching rules of driving regimes; connection function

U231.6

A

1672 ? 7029(2019)06? 1577 ? 10

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.06.030

2018?09?19

國家重點研發計劃資助項目(2016YFB1200502)

王青元(1984?)，男，江蘇鹽城人，高級工程師，從事列車運行優化控制理論與技術、列車運行仿真及其工程應用研究；E?mail：wangqy@swjtu.edu.cn

(編輯 蔣學東)