淺談中考熱點“隱形圓”模型的應用

楊格瑞

摘 要：陜西省近幾年的中考壓軸題，“隱形圓”成為出題人更加青睞的考點。“隱形圓”通常活躍于各校模擬試題，因難度系數大，學生不易接受，所以得分率一直都很低.因其考點新穎，有創新又不失難度，所以在近幾年的陜西中考中也開始陸續出現了關于“隱形圓”的問題.

關鍵詞：“隱形圓”;定點加定長;定邊對定角;最值;中考壓軸題

一、問題提出

出現“隱形圓”的情況無外乎就是點的運動軌跡，線段最值、面積最值、周長最值。但在題目中，往往不會直接出現“隱形圓”，需要去做輔助線，對于幾何問題，困難的往往不在于本身題目的難度，而在于輔助線的思考。那么什么時候出現做輔助線是圓呢？一個圓的輔助線又是怎樣做出的？筆者對近幾年陜西中考壓軸題潛心研究，得出了一些關于“隱形圓”的方法。

二、“隱形圓”存在的條件

1.圓的定義。在同一平面內，到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。定點為圓心，定長為半徑，那到到定點的距離等于定長的點的運動軌跡就是一個“隱形圓”，所以就可以得出“隱形圓”存在的第一個條件：定點加定長，產生“隱形圓”。（如圖1）

2.圓周角定理推論。同弧所對的圓周角相等。但在一個三角形中，如果知道一條邊和這條邊所對的角，那么利用圓周角定理推論得出點C的運動軌跡是在雙弧上。所以就可以得出“隱形圓”存在的第二個條件：定邊對定角，產生 “隱形圓”。（如圖2）

三、圓中最值模型的建立

1.點到圓上的最值（如圖3）

結論：點到圓上點，共線（點，圓心）有最值

2.線到圓上點的最值（如圖4）

結論：線到圓上點，過圓心向直線作垂線有最值。

四、利用“隱形圓”數學模型，解決實際問題

1.利用“定點加定長”，做“隱形圓”

若圖形中出現一個點不動，為定點，這個點出發的線段是定值，則利用圓的定義，得到這個點的運動軌跡是圓，所以破解此類題的核心是利用“定點加定長”，做“隱形圓”。如：翻折問題

例1、如圖5，在邊長為2的正方形ABCD中，E是AB的中點，F是AD邊上的一個動點，將△AEF沿EF所在直線折疊得到△GEF，連接GC，則GC長度的最小值是（ ? ? ? ? ）。

本題作法：

如圖所示：點E為定點，不管怎么折，EG=EA=1，根據折疊的性質，△AFE≌△GFE，利用“定點加定長”，做“隱形圓”，所以點G的運動軌跡是以E為圓心，EG=1為半徑的隱形圓，當G、C、E三點共線時，有最小值為。

2.利用“定邊對定角”，做“隱形圓”

若幾何動態圖形中始終有出現一條邊是定值，它所對的角度數不變，那么這個角的頂點的運動軌跡是“隱形圓”的雙弧。所以破解此類題的核心是利用“定邊對定角”，做“隱形圓”。

例2、（2017年陜西省中考第25題第3問）如圖6，已知正方形ABCD的邊長為2，E，F是邊BC，CD上的動點，E從B開始運動，F從C開始運動，且運動速度相同，BF，AE交于P，連接PC，求：1.PC的最小值為（ ? ?）2.△ABP面積最大值為（ ? ? ? ）3.△ABP周長最大（ ? ? ? ? ?）

本題作法：

如圖所示：AB為定值，所對的∠APB=90°， “定邊對定角”的“隱形圓”，（1）當O、P、C三點共線時，PC最小值為。考查的是點到圓上點的最值。（2）求△ABP面積最大值，實質是圓上一點到直線AB的最小值，即線到圓上點的最值，過圓心做垂線與圓相交，即當△ABP為等腰直角三角形時，△ABP面積最大，最大面積為1.（3）求△ABP周長最大，實質是點A到圓上點的最值，化折為直將BP通過等長截取，存在等腰三角形△BPM， △ABP周長最大即為AM最大值，存在△ABM的外接圓，當AM為直徑時，周長最大，有最大值為。

在“隱形圓”方面還需要學生多多的做練習，解題時時刻牢記定點定長走圓周，定邊定角跑雙弧，直角必有外接圓，對角互補也共圓，處理中考壓軸題就可以得心應手，游刃有余。

參考文獻：

[1]教育部.初中數學教與學.北京：中國人民大學出版社

[2]邵新虎、王鳳進、羅新展.利用幾何畫板探究數學問題.陜西：北京師范大學出版社

[3]馬學斌.挑戰中考壓軸題.上海：華東師范大學出版社