如何防止分數定義中的拋錨效應

江蘇省射陽縣實驗小學 曹克揚

分數的定義概括起來主要有四種：用所取份數占總份數的比例來定義，用除法算式的商來定義，用比例定義，用小數來轉化定義。小學教材主要涉及前三類，但教材著重描述的是利用所取份數占總份數的比例來定義分數的方式，都是采用分配物品的操作活動來揭示分數的形成，這種做法無論從形式上還是材料上都過于單一，僅能作為分數意義的引入部分，如果每每遇到分數都用這種方式來揭示，極易引起知識發(fā)展障礙。

一、發(fā)展障礙嚴重制約學生學知識

在所取份數占總份數的比例的定義下，學生會誤以為“分數一定小于1”。課本通常設置如下定義：把單位“1”平均分成若干份，取其中若干份用分數表示。這一定義直觀易操作，在“平均分”的基礎上直接選取份數，用份數和總份數兩個數字構成分數。但是，這種定義設置存在很大弊端。從切分一個整體事物（如一個西瓜）到分配一堆事物（幾個西瓜），學生統(tǒng)統(tǒng)將其視為單位“1”，從不斷地將整體分劃為若干部分，到用分數表示所取部分，學生自然覺得部分不能多于整體，理所當然認為分數就是“1”的部分，必須小于1，誤認為只有分解單位“1”才能產生分數。

于是，學生會留下刻板印象：“被除數是分子，除數是分母，除號是分數線”，沒有感知到分數的整體特征。兩種定義彼此孤立，從不同形式和角度都指向了“部分與整體的關系”。教材回避比例定義，導致學生只識“部分和整體的比”。比定義和商定義相近，教材對分數的比例定義法，只提到“除法算式就是比式”，并說“分數只是比的一種書寫形式”。于是，分數就成了“比”的附屬品，失去了獨立的價值。

二、平均分配不再獨占分數定義法

分析諸多關于分數的教學案例，一般都是從分物來引入分數。創(chuàng)設如“2顆糖果、1塊餅干怎么分給2名孩子才公平合理”的數學問題情境。當學生考慮1塊餅干平均分給2名孩子，發(fā)現(xiàn)“半塊”無法用現(xiàn)成的數字表示時，引發(fā)認知矛盾，產生表示半塊餅干的計數需要。

接下來學生就會迫于表達需要自行研創(chuàng)新型數字——分數，從整數分物開始，到產生創(chuàng)造分數的需要，激起學生對分數的強烈好奇，符合學生的心理特征，這是不可或缺的教學環(huán)節(jié)。學生理解了分數的“份數定義”之后，為了減少知識發(fā)展障礙，就要撇開“分物”操作思維，另辟蹊徑，借助“數數和測量”等活動，多角度詮釋分數意義。分數的本源是測量。在測量中，人們發(fā)現(xiàn)用某個固定的長度單位去度量一個物體，無法得到整數數據，為了精確記錄，就要引進新數字。這時，分數就成為首選，它是一種小于整數1的計數單位。

若以“1米”為基本長度單位，當不足這一個基本單位長度時，就要細化，若是分為10等份，其中一份就是十分之一米，作為一個更小的計量單位，可以定義為1分米。課桌寬度具有2個這樣的單位，也就是2分米，占一米的也就是米；拿著課桌寬作為新的基本單位去度量黑板長度，一個個數數：這樣一來，度量問題就轉化為計數問題，如此計數下去，數出6個是，等于12分米，12分米大于1米順理成章，可以有效防范“分數小于1”這一知識發(fā)展障礙。

在學習數學知識時，理清知識脈絡，是學生形成完整認知結構的前提。學生通過量一量、數一數，不僅用另類的解讀弱化了分數的份數定義，而且在數的過程里，為“分數單位”“假分數”這些概念打下基礎。

三、線段模型鞏固新型分數定義法

用所取份數占總份數的比例來定義分數，這種做法局限性很大，必須向除法定義過渡，分數作為除法算式的商，自然可以用除法來定義。出示3個問題：“小豬佩奇中，佩奇、喬治、豬爸爸、豬媽媽，每頭豬成員可以吃幾個西瓜？每頭豬成員可以吃幾千克西瓜？每個西瓜重多少千克？”思考下，解決以上問題需要知道什么，數量關系式是什么？這是二年級舊知，運用表內除法即可解決。學生能很快得到“西瓜總個數÷豬家族全體成員=每頭豬成員吃幾個西瓜”“西瓜總重量÷豬家族全體成員=每頭豬成員吃幾千克西瓜”“西瓜總重量÷西瓜總數=平均每個西瓜重量”。

然后賦值：“12個小西瓜，重5千克，平均分給6只小豬”，讓學生列式。

用線段圖揭示分數也很重要，平面面積最易激起劃分效果，因此單位“1”通常采用面積表示。具體解釋時，平面模型和線段模型差距很大。如把長方形紙條（平面模型）視為單位“1”，涂色部分就占。“總共有3個。每一份都可以用表示，即是但是，紙條抽象為數軸后，0～1之間被三等分，每一段長度是，但第一個三等分點表示數字，第二個三等分點表示數字

在線段圖上，0～1還是被視為單位“1”，但是脫離了份數的束縛，這里的是表示到原點距離小于“1”的“新”數。

對分數的不同定義，需要不同的認知。不同定義之間的緊密關系如果被隔斷，不利于學生靈活理解，運用分數。通過加入“數數測量”活動，豐富學習素材，避免形成對分數的片面理解，通過加入除法定義，打破了唯份數定義獨尊的局面，溝通了分數、除法、比之間的聯(lián)系，彌合了各種定義的孤立狀態(tài)，有效減輕了知識發(fā)展障礙。