找到事物的另一面，實現巧妙的轉化
——以四邊形分類新秩序為例

江蘇省常州武進區盧家巷實驗學校 岳麗芬

讀過一個經典的佛理故事，名字叫《佛經對了，佛就笑了》，內容是一位禪師，懲罰寺院里一名不守清規的弟子，罰他面壁思過。墻壁上掛著一幅彌勒佛畫像，禪師給受罰弟子出了一道難題，也算是一次將功補過的機會，禪師隨手將畫像撕成很多碎片，讓弟子在一炷香的時間內拼完，按時完成任務就可以提前恢復自由，否則只能乖乖挨罰。

令禪師萬萬沒想到的是，不到一盞茶的工夫，受罰的弟子就拼完了畫像。禪師感到震驚和納悶，因為他是第一個破解難題，成功逃脫面壁懲罰的弟子，禪師急忙問其究竟。

弟子回答：“佛像背面是一行行用歐體正楷抄寫工整的佛經，是《法華經》中的一段，我背得滾瓜爛熟，只要把佛經還原了，彌勒佛畫像也就拼好了。”故事結尾有一句發人深省的話：“佛經對了，佛就笑了。”

單從考慮問題的智慧來說，這個弟子的做法的確出人意料，如果老老實實按照要求去做很難完成任務，可是這個弟子卻懂得變通，將原問題轉換成另一個問題，降低了難度，順利解決問題，也就是將一個復雜的問題（佛像的拼接）轉換成另一個簡單的問題（佛經的拼貼）。

這個哲理故事告訴我們轉化思維多么神奇和重要，在小學數學中，求圖形的面積時，轉化思維可以大顯神通。

一、接入轉化思維，重新分類定秩序

本文著重要講的是四邊形的面積及其分類，先說分類。在教材中，根據對邊平行的情況，可以將其分為三類：第一種是沒有對邊平行，第二種是只有—組對邊平行，第三種是兩組對邊都平行。分類情況如下圖：

在這個分類中，四邊形被分為三大類：只有一組對邊平行的四邊形（梯形）、兩組對邊都平行的四邊形（平行四邊形），這是兩大類，空白處為一般四邊形，是小類，極易被忽略。在這種分類法里，極易讓人產生誤會：四邊形除了梯形就是平行四邊形，二者合并起來構成全部四邊形，其實這種分法欠妥。

在這種分類里，平行四邊形和梯形是并列關系，平行四邊形里又包含長方形，長方形里又包含正方形。

如果我們換種分法，另行設立分類標準——“有無對邊平行”，平行四邊形則被分為兩大類：1.沒有對邊平行；2.有對邊平行。在第2類里面又分很多小類，小類的細化就是不斷增加附屬條件，豐富內涵，縮小外延。如僅僅說明一組對邊平行，則為梯形；若梯形中的另一組對邊也平行，則為平行四邊形；若梯形的另一組對邊平行且有一個內角為直角，則為長方形；若梯形的另一組對邊平行且含有一個直角內角且鄰邊相等，則為正方形。

在這種分法下，平行四邊形屬于梯形的一部分，是一種比較特殊的梯形，換言之，二者不再是并列關系，而是包含關系。分類圖如下：

二、確立新的標準，重新表述縮外延

各種分類方法都有其合理性，那么這種分類的優勢在哪？

對照下列語句：

對于一個四邊形，假若有一組對邊平行，則為梯形；

對于一個四邊形，假若有一組對邊平行且相等，則為平行四邊形；

對于一個四邊形，假若有一組對邊平行且相等，還有一內角為90度，則為長方形；

對于一個四邊形，假若有一組對邊平行且相等，而且還有一內角是90度，此外發現鄰邊也相等，則為正方形。

可以發現，隨著對“梯形”概念內涵的拓寬，其外延在不斷縮小。這種一般到特殊的分類符合演繹推理的邏輯思維。

三、越過中間環節，一步到位求面積

在小學數學中，要求學生掌握各種四邊形面積的計算。

教材中對各種圖形的面積公式推導，包括三角形在內，都是從長方形開始的。首先規定各面積單位的原始定義，用數方格的方法，歸納出長方形的面積公式：長方形的面積=長×寬。

長方形的面積公式出爐后，繼續轉化，以長方形面積公式為基礎，用割補法將平行四邊形變換為長方形，推出平行四邊形面積=底×高。梯形和三角形也是這樣，都是轉化為平行四邊形后，再來推導。

在四邊形的新分類法中，可以先由長方形推出梯形面積，因為其他四邊形和三角形都可以視為特殊的梯形，所以在梯形為轉化標準的情況下，梯形面積公式可以演變為其他圖形面積公式。

那么梯形的面積公式從何而來呢？可以按照教材安排，先將梯形轉化為平行四邊形，再將平行四邊形轉化為長方形，導出其面積公式，也可以一步到位，將梯形直轉成長方形，然后推導面積公式。如圖1：

圖1

已知梯形ABCD的上底長為a，下底長為b，高為h。求面積。如圖，將梯形分成①、②、③三大區塊，各區域面積為：

觀察可知：DG=HC。

所以S1+S2+S3

=DG×h÷2+a×h+HC×h÷2

=h×(DG+HC)÷2+ah

=h×(b-a)÷2+ah

=bh÷2-ah÷2+ah

=bh÷2+ah÷2

=(a+b)h÷2

針對圖2，圖3這兩個梯形，可以如法炮制。

圖2

圖3

以梯形面積公式為母本，根據平行四邊形的上下底相等的特殊性，推導其面積為(a+a)×h÷2=ah。

對于三角形的面積公式，也可以通過梯形面積轉化而來。如圖4，梯形ABCD中，上底長為a，下底長為b，高為h。

圖4

設B點為動點，沿上底向左移動，行至A點后停止運動，此時梯形上底縮短至一個點，長度變為0。梯形同時變形為三角形，代入公式有：S三角形=（0+b）×h÷2=bh÷2。

不同的思路，會產生不同的分類標準。所謂轉化思想，其實就是轉換一種思路，最終達到同樣的目標。本文僅從四邊形分類與面積重新推導來闡述，紕漏之處還請專家同行批評指正。