利用信息技術由簡到難解決問題
——《一次函數圖像下三角形的面積》課堂實例

江蘇省蘇州高新區第五初級中學校 陸 一

一、教材分析

本節課內容為一次函數的專題復習課，一次函數圖像下的三角形面積是一個常考內容。本節課從坐標三角形入手，利用幾何畫板動態地努力探索：①一條直線與兩坐標軸圍成的三角形；②兩條直線與一條坐標軸圍成的三角形；③三條直線圍成的三角形的面積的一般求法（以下分別稱第一類三角形、第二類三角形、第三類三角形）。在方法的探索過程中，努力滲透數形結合思想、分類討論思想、轉化（歸納）思想、類比思想以及方法優化的思想。

二、教學目標

知識技能：通過本節課的學習，學會求一次函數圖像下三角形的面積。

數學思考在方法的探索過程中，滲透數形結合思想、分類討論思想、轉化（歸納）思想、類比思想以及方法優化的思想，提高學生分析問題和解決問題的能力。

解決問題：體會解決一次函數圖像下三角形的面積的關鍵是求“關鍵點”的坐標，培養學生在解決問題時抓住問題主要矛盾的意識。

情感態度：在利用幾何畫板解決問題的過程中，學生主動參與，由簡單到復雜地解決問題，積累成功的經驗，體驗成功的快樂，激發學生的學習興趣。

三、教學過程

環節1 復習回顧

如圖1，在△ABC中，我們已知哪些條件，可以求△ABC的面積？

圖1

設計意圖：通過簡單的復習，使學生參與到課堂中。回憶一般求三角形面積的關鍵——三角形的底和高，復習三角形的面積公式：S三角形=×底×高。

環節2 一條直線與兩條坐標軸圍成的三角形

在平面直角坐標系中，我們也常常會遇到求三角形面積的問題，如圖2的平面直角坐標系中，只要添一條與坐標軸不平行的直線，就能構成一個三角形。讓學生來添加直線：學生添加任意一條與坐標軸不平行的直線。在實際教學過程中，學生添加直線y=2x-4，與x軸、y軸分別交于點A、點B，如圖3，求△OAB的面積。

分析：這個三角形是一條直線與兩條坐標軸圍成的三角形，為直角三角形。求解直角三角形的面積只要求得直角三角形的兩條直角邊的長，如何求兩條直角邊的長，則要求A，B兩點的坐標：A（2,0），B（0，-4）。請學生規范求解直線y=2x-4與兩坐標軸圍成的三角形的面積，展示自己的解答過程。

圖2

圖3

設計意圖：在這個環節中，利用幾何畫板添加直線y=2x-4，學生感受從無到有的動態過程。學生自己選擇添加直線，增加學生對課堂的參與度，激發學生學習的積極性。本節課為一次函數的復習課，學生已經掌握了“一次函數圖像是一條直線”這一基本性質以及直線與直線交點坐標的求法。添加直線的問題請基礎較為薄弱的學生來作答，并且第一類三角形為直角三角形，面積簡單易求，照顧各個知識層面的學生，有利于實現每一個學生的發展。

環節3 兩條直線與一條坐標軸圍成的三角形

在圖3的基礎上再添加一條直線，會出現怎樣的三角形呢？在實際教學過程中，學生添加直線y=-x+2，如圖4。問題1：此時圖中有幾個三角形？問題2：這些三角形的面積各是多少呢？

分析：直線y=-x+2與直線y=2x-4交于點A(2，0)，直線y=-x+2交y軸于點C(0，2)，此時圖中共有三個三角形，分別為△OCA、△OAB、△ABC。對于△OCA與△OAB是第一類三角形，學生能很容易地求出。對于△ABC，首先分析△ABC的特點：是由兩條直線與一條坐標軸圍成的一般三角形。在課堂討論以及總結中，兩種方法可以求△ABC的面積：

間接法：S△ABC=S△OCA+S△OAB；

直接法：求△ABC的底和高，然后再利用三角形的面積公式S三角形=×底×高，求△ABC的面積。那么以△ABC的哪一邊為底呢？高又是哪一條線段呢？學生根據以往的學習經驗，選擇BC為底，則OA為高。如何求BC、OA的長？只需要分別已知點A，B，C的坐標，A(2，0)，B（0，-4），C(0，2)，所以BC=6，OA=2，所以

圖4

圖5

配套練習：如圖5，將直線y=-x+2向下平移3個單位，分別與x軸，y軸交于D,E兩點，與直線y=2x-4交于點F。此時圖5中有幾個三角形，它們的面積分別是多少？

分析：隨著直線的運動，圖5中第二類三角形變得更為一般，但是要求三角形的面積仍然要求“關鍵點”的坐標。學生討論圖5中有幾個三角形時，在前面對三角形類型的鋪墊，較容易地通過三角形的類別來進行統計三角形的個數。通過觀察、學生更愿意用直接法來求解。

設計意圖：通過在圖3中再添一條直線，形成第二類三角形，在這個動態的過程中，學生巧妙地添加了一條與第一條直線在x軸上有公用交點的直線，有利于學生對一次函數相關概念的復習回顧，這是“直接給出一條直線”沒有辦法達到的。在利用幾何畫板動態添加直線的過程中，學生對于三角形的變化更加直觀清晰，有利于學生對求解三角形面積方法的探索與總結。在配套練習當中，“有幾個三角形”，學生很好地掌握分類討論的思想，求解第二類三角形面積的時候，體現方法優化的思想。

環節4 三條直線圍成的三角形

1.其中一邊與坐標軸平行

在圖5的基礎上，添加一條過（4,0）平行于y軸的直線，與直線y=2x-4、直線y=-x-1分別交于點G、點H，如圖6。圖6中除了第一類、第二類三角形，還有沒有其他類型的三角形？如果有，這個三角形的面積如何求？

分析：△GHF是不屬于第一、二兩類的第三類三角形，它是由三條直線圍成的三角形，并且有一條直線（一條邊）平行于y軸。求△GHF的面積，學生與第二類三角形進行類比。用直接法來求解，選擇平行于y軸的邊GH為底，過點F作GH邊的高FP，如圖7，求GH以及FP的長，關鍵求F、G、H三點的坐標（過程略），F（1，-2）、G（4，-5）、H（4，4），所以GH=9，FP=3，所以

圖6

圖7

設計意圖：從兩條直線與一條坐標軸圍成的三角形過渡到三條直線圍成的三角形，如果這個三角形的三邊均不具有特殊性，那么學生建立起方法上的聯系就比較困難。所以選擇添加一條與y軸平行的直線，不至于與第二類三角形脫節，有利于學生進行方法上的類比遷移。

2.三邊都不平行于坐標軸

在圖5的基礎上，請學生添加一條不平行于坐標軸的一條直線，實現從4.1的特殊到一般的轉化。實際教學過程中，學生添加了直線y=-4x+11，與直線y=2x-4、直線y=-x-1分別交于點M、點H，如圖8。圖中有幾個三角形？它們的面積分別是多少？

分析：這個三角形是由三條直線圍成的三角形，是一般的三角形。圖中有幾個三角形，通過分類談論的方法很容易找出來。對于求△MFH的面積，在之前的學習過程中，學生已經掌握用“割補法”求三角形的面積。通過以上探究，學生自由討論，得到如下的方法：

圖8

（1）過M點作一條平行于y軸的直線，將△MFH割成兩個4.1中的三角形，通過求“關鍵點”的坐標，利用公式求三角形的面積。

（2）過F點作平行于x軸的直線。

（3）過H點作一條平行于y軸的直線。

（4）分別過M點作一條平行于x軸的直線，過F點作平行于y軸的直線，過H點作一條平行于y軸的直線和一條平行于x軸的直線，補成矩形。

設計意圖：通過直線添加以及變化，從特殊簡單的三角形到一般復雜的三角形，這一第三類三角形以前面的三角形面積求解方法為基礎，通過“割”或“補”的方法進行轉化，并在一題多解中，滲透方法優化的思想。

四、教學感悟

在本節課的教學過程中，通過幾何畫板，動態的實現平面直角坐標系中三角形的從無到有，從簡單到復雜，即從特殊到一般的過程，照顧各個知識層面的學生，有利于實現每一個學生的發展。學生自己添加直線，大大提高了學生對于課堂的參與度以及學習的主動性。

就本節課的知識內容而言，在第一、第二兩類三角形面積求法的探索中，凸顯兩類特殊點（直線與坐標軸的交點以及兩直線的交點）的作用，在解決問題的過程中，積累成功的經驗，并把這些成功的活動經驗遷移到后續問題的解決中。在方法的探索過程中，努力滲透數形結合思想、分類討論思想、轉化（歸納）思想、類比思想以及方法優化的思想。對于第三類三角形面積的求法，這里做一些探索和積累，為九年級二次函數背景下三角形面積最值的解決埋下伏筆，打下一定的基礎。