最小二乘擬合的MEMS加速度計(jì)簡(jiǎn)易標(biāo)定方法

王學(xué)瀚

（溫州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電氣電子工程系，浙江 溫州 325035）

0 引 言

微機(jī)電系統(tǒng)（Micro Electro Mechanical Systems，簡(jiǎn)稱MEMS）傳感器和嵌入式處理器的快速發(fā)展，促進(jìn)了低成本航姿參考系統(tǒng)（Attitude and Heading Reference System，簡(jiǎn)稱AHRS）的可能性[1-3]。AHRS使用多種傳感器通過(guò)相應(yīng)數(shù)據(jù)融合算法進(jìn)行工作，加速度計(jì)作為其主要傳感器之一起穩(wěn)定姿態(tài)的作用，其測(cè)量精度直接影響AHRS整體性能。受MEMS制造工藝和工藝員等因素的影響，MEMS加速度計(jì)輸出受多項(xiàng)誤差源影響[4-5]。加速度計(jì)在使用之前，有必要建立相應(yīng)確定性誤差模型對(duì)輸出進(jìn)行有效標(biāo)定補(bǔ)償，其本質(zhì)是建立輸入輸出模型并計(jì)算出該模型中的系數(shù)矩陣。文獻(xiàn)[6-8] 借助高精度轉(zhuǎn)臺(tái)和復(fù)雜標(biāo)定路徑分別設(shè)置6位置、12位置和24位置標(biāo)定法，通過(guò)比較MEMS加速度計(jì)各軸輸出值與當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣戎担?jì)算出加速度計(jì)確定性誤差補(bǔ)償參數(shù)。分立式標(biāo)定方法有良好的標(biāo)定結(jié)果，但因需要借助外界專業(yè)設(shè)備而局限于實(shí)驗(yàn)室環(huán)境，無(wú)法滿足現(xiàn)場(chǎng)標(biāo)定需求。為此，文獻(xiàn)[9-10] 提出簡(jiǎn)易標(biāo)定方法，無(wú)需借助外界設(shè)備，利用偽觀測(cè)信息建立Kalman濾波方程，動(dòng)態(tài)估計(jì)出加速度計(jì)零偏和標(biāo)度因數(shù)。然而，該方法具有針對(duì)性、復(fù)雜性的參數(shù)調(diào)整，使得該方法難以實(shí)現(xiàn)傳感器的普適性，進(jìn)而偽觀測(cè)信息方法要求MEMS加速度計(jì)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中外部加速度和位置變化近似為“0”，難以在實(shí)際場(chǎng)景中得到嚴(yán)格保證。本文依據(jù)MEMS加速度計(jì)輸出模型，提出一種無(wú)需借助任何外界設(shè)備、無(wú)需參數(shù)設(shè)置、具有普適性的標(biāo)定方法，要求加速度計(jì)繞原地有效旋轉(zhuǎn)，采集多余加速度信息，并通過(guò)最小二乘法求解出相應(yīng)的系數(shù)矩陣，實(shí)現(xiàn)加速度計(jì)標(biāo)定補(bǔ)償系數(shù)矩陣的求取。

1 加速度計(jì)輸出分析

MEMS加速度計(jì)性能的指標(biāo)與其誤差源存在一定關(guān)系。為更好地完成加速度計(jì)確定性誤差標(biāo)定與補(bǔ)償，考慮影響MEMS傳感器性能的三項(xiàng)主要誤差源，即零偏誤差、標(biāo)度因數(shù)誤差和非正交誤差[11]。零偏誤差是指當(dāng)輸入數(shù)值為“0”情況下MEMS加速度計(jì)輸出值，零偏誤差每次啟動(dòng)都不相同，時(shí)間間隔越長(zhǎng)變化越大，可通過(guò)傳感器使用手冊(cè)中零偏穩(wěn)定性、零偏重復(fù)性等反映。標(biāo)度因數(shù)誤差是實(shí)際值與標(biāo)定數(shù)值之間的差值，反映為MEMS加速度計(jì)輸出值與輸入值之間的比例系數(shù)，通常影響因素主要包含標(biāo)度因數(shù)不對(duì)稱性、標(biāo)度因數(shù)非線性度等。非正交誤差由于制造工藝等因素影響，MEMS加速度計(jì)真實(shí)輸入軸與理想三軸之間不完全重合，存在小角度偏差。這些誤差源系數(shù)隨著MEMS加速度計(jì)的使用次數(shù)的增加或存放時(shí)間的推移而變化，因而通常需要將MEMS加速度計(jì)進(jìn)行半年或三個(gè)月一次的定期標(biāo)校，以確定其補(bǔ)償系數(shù)或在MEMS加速度計(jì)每次使用之前進(jìn)行標(biāo)定。綜合考慮加速度計(jì)各項(xiàng)誤差，建立真實(shí)加速度Ae和量測(cè)值A(chǔ)m之間的誤差模型關(guān)系，即：

其中，K= diag (KxKyKz)，表示標(biāo)度因數(shù)誤差引起的比例系數(shù)表示非正交誤差帶來(lái)的影響；ρ,φ,λ表示小角度對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)的近似值；o=[oxoyoz]T，表示零位誤差帶來(lái)的影響。則MEMS加速度計(jì)真實(shí)值A(chǔ)e為：

其中，B=(K×T)-1，表示因標(biāo)度因數(shù)誤差和非正交誤差耦合產(chǎn)生的混合系數(shù)；B表示一個(gè)上三角矩陣。

2 最小二乘擬合

手持MEMS加速度計(jì)在原地旋轉(zhuǎn)時(shí)，其線速度幾乎為零，理論上加速度計(jì)輸出值為當(dāng)?shù)氐闹亓κ噶吭趥鞲衅魅S的投影，滿足幅值為定值的約束不變。由文獻(xiàn)[12] 可知，原地旋轉(zhuǎn)的MEMS加速度計(jì)輸出軌跡是三維空間中的圓球面。但MEMS加速度計(jì)實(shí)際輸出會(huì)受到多項(xiàng)誤差源的影響，作用后的輸出軌跡產(chǎn)生形變，滿足橢球面約束。（3）式為（2）式加速度計(jì)真值的2-范數(shù)的平方，其推導(dǎo)過(guò)程為：

其中，符號(hào)“‖ ‖”為向量的2-范數(shù)，將其整理為二次型，簡(jiǎn)記為：

其中，rx,ry,rz為非正交誤差、標(biāo)度因數(shù)和重力約束幅值耦合后的系數(shù)，幾何意義上分別代表赤道半徑和極半徑。

由（4）式或（5）式可看出，受多項(xiàng)誤差影響的加速度計(jì)輸出滿足三維空間的橢球約束。理論上建立6組相互獨(dú)立的方程式可唯一確定其系數(shù)。顧及一般性，建立多組（≥6）方程組可通過(guò)最小二乘法求出最佳逼近系數(shù)。為此，以下分兩步進(jìn)行：

第一步，假定橢球體的赤道半徑和極半徑大致相等，即rx=ry=rz=r，這種假定在不考慮非正交誤差的影響下成立。將（5）式展開(kāi)，并簡(jiǎn)記為：

（6）式可表述為離散數(shù)據(jù)的最佳逼近問(wèn)題，按誤差平方和最小的原則求取系數(shù)，即：

法方程為：

結(jié)合（8）式，對(duì)于精度要求不高的MEMS加速度計(jì)應(yīng)用而言，可用橢球體最大半徑r代替赤道半徑和極半徑，即：

第二步，在考慮赤道半徑和極半徑不相等的條件下，將（5）式簡(jiǎn)記為：

同樣， （10）式也采用最小二乘法，按誤差平方和最小的原則求取系數(shù)，即：

法方程為：

設(shè)置采樣頻率，將MEMS加速度計(jì)繞原地旋轉(zhuǎn)，觀測(cè)多組（≥6）數(shù)據(jù)，得到基于最小二乘法逼近擬合的標(biāo)定系數(shù)，它具有計(jì)算量小、運(yùn)行速度快的特點(diǎn)。

3 實(shí) 驗(yàn)

3.1 分立式標(biāo)定實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證標(biāo)定方法的可行性和有效性，選用Xsens公司生產(chǎn)的MTi-G-710傳感器，分別開(kāi)展傳統(tǒng)分立式標(biāo)定實(shí)驗(yàn)和基于最小二乘法原地旋轉(zhuǎn)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)。傳統(tǒng)分立式標(biāo)定方法需要以三軸慣導(dǎo)試驗(yàn)轉(zhuǎn)臺(tái)為基礎(chǔ)，通過(guò)六位置實(shí)驗(yàn)完成對(duì)MTi-G-710誤差模型系數(shù)的確定。將MEMS傳感器的軸向與三軸轉(zhuǎn)臺(tái)的中心軸線垂直安裝，設(shè)置5min采樣時(shí)間及0.01s采樣間隔；啟動(dòng)三軸轉(zhuǎn)臺(tái)實(shí)現(xiàn)六位置轉(zhuǎn)換采樣，在某一位置采樣前需要將傳感器預(yù)熱2min，采樣后對(duì)儀器進(jìn)行斷電，待恢復(fù)至室溫轉(zhuǎn)換至下一位置，采集數(shù)據(jù)通過(guò)串口傳至PC端，基于MATLAB環(huán)境編寫(xiě)六位置標(biāo)定程序。加速度計(jì)靜態(tài)標(biāo)定六位置各軸指向如圖1所示。

圖1 加速度計(jì)靜態(tài)標(biāo)定六位置各軸指向

按上述實(shí)驗(yàn)方法，選用Xsens公司生產(chǎn)的MTi-G-710傳感器，開(kāi)展10次六位置標(biāo)定實(shí)驗(yàn)，分立式加速度計(jì)標(biāo)定結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 分立式加速度計(jì)標(biāo)定結(jié)果

3.2 旋轉(zhuǎn)式標(biāo)定實(shí)驗(yàn)

受三軸轉(zhuǎn)臺(tái)限制，分立式標(biāo)定方法只能在實(shí)驗(yàn)室開(kāi)展。在實(shí)際工程應(yīng)用中，考慮到實(shí)驗(yàn)人員現(xiàn)場(chǎng)標(biāo)定的實(shí)際需求，開(kāi)展原地旋轉(zhuǎn)式標(biāo)定實(shí)驗(yàn)。MTi-G-710傳感器設(shè)置相同的采樣間隔，通電預(yù)熱2min，然后開(kāi)始原位旋轉(zhuǎn)，繞傳感器三個(gè)敏感軸采集不同角度多組數(shù)據(jù)，傳感器旋轉(zhuǎn)時(shí)使數(shù)據(jù)盡可能多地分布在橢球面上。兩種手持傳感器旋轉(zhuǎn)方式如圖2所示。

圖2 兩種手持傳感器旋轉(zhuǎn)方式

采集的數(shù)據(jù)通過(guò)串口導(dǎo)入PC端，利用MATLAB編寫(xiě)最小二乘擬合的加速度計(jì)標(biāo)定程序。求出x軸、y軸、z軸零位誤差分別為0.011 76m/s2、0.014 7m/s2、0.018 6m/s2，求出橢球赤道半徑和極半徑分別為0.039、0.035 7、0.047。

3.3 靜態(tài)、動(dòng)態(tài)輸出驗(yàn)證

為進(jìn)一步說(shuō)明標(biāo)定方法的有效性，將3.2中最小二乘法得到的標(biāo)定系數(shù)分別對(duì)靜態(tài)、動(dòng)態(tài)加速度計(jì)輸出進(jìn)行補(bǔ)償。

將MTi-G-710傳感器靜止置于平面，統(tǒng)計(jì)標(biāo)定前后加速度計(jì)輸出頻數(shù)直方圖（見(jiàn)圖3）。由圖3可知，標(biāo)定前加速度計(jì)受多項(xiàng)誤差源影響，其輸出值離散分布于0.92～1.07g，標(biāo)定補(bǔ)償后加速度計(jì)輸出呈正態(tài)分布，均值為1g，驗(yàn)證了標(biāo)定方法計(jì)算的補(bǔ)償系數(shù)在靜態(tài)模式中有效。

圖3 標(biāo)定前后加速度計(jì)輸出頻數(shù)直方圖

將MTi-G-710傳感器開(kāi)啟航姿儀模式。選擇輸出已標(biāo)定的陀螺儀數(shù)據(jù)和未標(biāo)定的加速度計(jì)數(shù)據(jù)，將3.2中各項(xiàng)誤差改正系數(shù)補(bǔ)償加速度計(jì)輸出，依據(jù)文獻(xiàn)[14] 中擴(kuò)展Kalman姿態(tài)融合算法，建立自適應(yīng)的加速度計(jì)量測(cè)噪聲的協(xié)方差矩陣，更新姿態(tài)矩陣，開(kāi)展動(dòng)態(tài)AHRS實(shí)驗(yàn)，求取姿態(tài)信息。以商用軟件MT Manager4.7的解算結(jié)果為參考姿態(tài)，得到姿態(tài)解算相對(duì)誤差結(jié)果如圖4所示。由圖4可知，橫滾角誤差、俯仰角誤差及航向角誤差均在0°附近，且橫滾角平均誤差低于1.23°，俯仰角平均誤差低于1.31°，穩(wěn)定后（以50s為穩(wěn)定時(shí)間）水平角誤差低于1°；航向角平均誤差低于5.18°，穩(wěn)定后（以50s為穩(wěn)定時(shí)間）航向角平均誤差低于3°，滿足低成本純慣性AHRS解算精度要求，驗(yàn)證了加速度計(jì)標(biāo)定系數(shù)在動(dòng)態(tài)模式中有效。

圖4 姿態(tài)解算相對(duì)誤差

4 結(jié) 論

零偏誤差、標(biāo)度因數(shù)誤差和非正交誤差是影響MEMS傳感器性能的三項(xiàng)主要誤差源。本文提出將MEMS加速度計(jì)繞原地有效旋轉(zhuǎn)，基于最小二乘法得到加速度計(jì)確定性誤差補(bǔ)償系數(shù)的簡(jiǎn)易標(biāo)定方法。該標(biāo)定方法無(wú)需重復(fù)迭代計(jì)算，無(wú)需借助專業(yè)標(biāo)定設(shè)備，無(wú)需設(shè)置復(fù)雜參數(shù)，可在1min內(nèi)快速確定標(biāo)定補(bǔ)償系數(shù)。與傳統(tǒng)分立式標(biāo)定進(jìn)行實(shí)驗(yàn)比較，以驗(yàn)證零偏標(biāo)定的有效性，由于該標(biāo)定方法將非正交誤差、標(biāo)度因數(shù)及加速度計(jì)真值約束模值耦合而成，無(wú)法與經(jīng)典式結(jié)果比較。為驗(yàn)證該標(biāo)定方法補(bǔ)償系數(shù)的可行性和有效性，分別開(kāi)展靜態(tài)輸出和動(dòng)態(tài)AHRS實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明，該標(biāo)定方法可用于實(shí)際外場(chǎng)標(biāo)定場(chǎng)景。