基于Matlab/Simulink軟件的滑模控制仿真實驗

趙海濱, 顏世玉, 劉 沖, 陸志國, 于清文

(東北大學 機械工程與自動化學院, 遼寧 沈陽 110819)

滑模控制是利用控制作用的不連續(xù)性,使系統(tǒng)在兩個控制之間切換,在本質(zhì)上是一類特殊的非線性控制[1-2]。滑模控制對模型誤差和外部干擾信號具有很強的魯棒性,并具有響應(yīng)速度快和容易實現(xiàn)等優(yōu)點,尤其是對非線性系統(tǒng)的控制具有良好的控制效果。滑模控制方法因具有優(yōu)良特性而受到越來越多的重視,并廣泛用于機器人控制[3-4]、四旋翼飛行器控制[5]和電機控制[6-7]等控制系統(tǒng)。在滑模控制的應(yīng)用中,抖振現(xiàn)象是最主要的問題[8],目前已經(jīng)提出了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[9]和模糊控制[10]等方法來削弱抖振。

本文以二階非線性系統(tǒng)為研究對象,設(shè)計滑模面和滑模控制器,分別進行系統(tǒng)的平衡控制和軌跡跟蹤控制。在滑模控制器的設(shè)計中,采用指數(shù)趨近律,并利用Lyapunov理論對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行證明。為了抑制抖振現(xiàn)象,在控制器中采用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)。采用Matlab/Simulink軟件建立了滑模控制仿真實驗系統(tǒng),對提出的方法進行了仿真驗證。仿真結(jié)果表明,滑模控制器具有良好的性能。該仿真實驗系統(tǒng)將滑模控制理論和具體編程相結(jié)合,不僅有助于學生對基本理論的理解,而且可以讓學生了解滑模控制的實際應(yīng)用。

1 二階非線性系統(tǒng)

對于二階非線性系統(tǒng)

(1)

其中x=[x1,x2]T為系統(tǒng)的狀態(tài)變量;f(x)和g(x)為已知連續(xù)非線性函數(shù),且g(x)≠0;u為控制輸入;d(t)為外部干擾,且|d(t)|≤D,D>0。

本文采用的二階非線性系統(tǒng)為

(2)

其中f(x)=-16x2,g(x)=125,外部干擾信號為d(t)=0.2sin(20t)。

2 平衡控制

對于非線性系統(tǒng)(1)進行平衡控制(或鎮(zhèn)定控制)時,設(shè)計滑模面為

s1=x2+cx1

(3)

其中參數(shù)c>0。采用基于上界的滑模控制時,滑模控制器設(shè)計為

(4)

其中參數(shù)η≥D。當干擾信號較大時,需要較大的切換增益η,會產(chǎn)生較大的抖振。

采用滑模控制器時,通常采用的指數(shù)趨近律為

(5)

采用指數(shù)趨近律時,進行平衡控制的滑模控制器設(shè)計為

(6)

利用Lyapunov對式(6)的控制器進行穩(wěn)定性證明。

取Lyapunov函數(shù)為

(7)

式(7)對時間進行求導,并將式(6)代入后可得

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理,式(6)的滑模控制器能夠使二階非線性系統(tǒng)穩(wěn)定。

3 軌跡跟蹤控制

對非線性系統(tǒng)(1)進行軌跡跟蹤控制時,理想的位置為θd,則誤差為e=θd-x1。滑模面設(shè)計為

(8)

其中參數(shù)c>0。采用基于上界的滑模控制時,滑模控制器設(shè)計為

(9)

其中參數(shù)η≥D。當干擾信號較大時,需要較大的切換增益η,會產(chǎn)生較大的抖振。當采用指數(shù)趨近律時,軌跡跟蹤控制的滑模控制器設(shè)計為

(10)

以下對該控制器的穩(wěn)定性進行證明。

取Lyapunov函數(shù)為

(11)

式(11)對時間求導后,將式(10)代入后可得

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理,式(10)的滑模控制器能夠使二階非線性系統(tǒng)穩(wěn)定。

為了削弱抖振,在控制器中采用飽和函數(shù)sat(s)代替符號函數(shù)sgn(s),飽和函數(shù)的表達式為

(12)

其中參數(shù)δ>0,稱為邊界層。在邊界層之外采用切換控制,在邊界層內(nèi)采用線性化反饋控制。

用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)后,平衡控制的滑模控制器為

(13)

用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)后,軌跡跟蹤控制的滑模控制器為

(14)

4 Matlab仿真實驗

Matlab/Simulink軟件具有強大的圖形功能和數(shù)學運算能力,而且對問題的描述和求解符合人們的思維習慣和數(shù)學表達習慣,已經(jīng)廣泛應(yīng)用于動態(tài)系統(tǒng)仿真[11-12]。Simulink是Matlab軟件最重要的組件之一,提供了一個動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和綜合分析的集成環(huán)境[13]。對于使用普通模塊不易搭建的復雜控制系統(tǒng),可以利用Matlab語言編寫M-Function或S-Function文件,通過用戶自定義函數(shù)模塊(user-defined functions)嵌入Simulink中[14]。M-Function文件采用Matlab語言編寫,程序代碼比較短,且容易實現(xiàn)。因此,本文采用M-Function實現(xiàn)二階非線性系統(tǒng)的滑模控制。

利用Matlab/Simulink軟件建立的滑模控制仿真實驗系統(tǒng)如圖1所示。該仿真系統(tǒng)采用變步長的ode45算法,最大步長為0.1 ms,仿真時間為5 s。在圖1中,System模塊為根據(jù)式(2)建立的二階非線性系統(tǒng)模型。SMC1為平衡控制模塊,SMC2為軌跡跟蹤控制模塊。通過手動開關(guān)Manual Switch選擇對二階非線性系統(tǒng)進行平衡控制或軌跡跟蹤控制。

圖1 滑模控制仿真實驗系統(tǒng)

在圖1中,積分模塊的初始值用于設(shè)置狀態(tài)變量的初始值。狀態(tài)變量的初始值為x1(0)=0.2,x2(0)=0.2。仿真結(jié)果通過To Workspace模塊保存到Matlab軟件的工作空間中。

為了削弱抖振,采用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)。在進行滑模控制器的設(shè)計時,飽和函數(shù)的邊界層取δ=0.001。

4.1 平衡控制實驗

該二階非線性系統(tǒng)采用式(13)的滑模控制器進行平衡控制。控制器的參數(shù)選擇為c=3,D=0.2,k=3,ε=0.2。在圖1中,采用Matlab語言編寫的SMC1模塊內(nèi)的程序如下：

function u1 = fcn(x1, x2)

fx=-16*x2; gx=125;

c=3; k=3; D=0.2; epsilon=0.2;

s1=x2+c*x1;

delta=0.001; d=abs(s1/delta);

if d<=1

sat=s1/delta;

else

sat=sign(s1/delta);

end

u1=-(fx+c*x2+k*s1+(D+epsilon)*sat)/gx;

對系統(tǒng)進行平衡控制時,狀態(tài)變量x1和x2的響應(yīng)如圖2所示,控制輸入u1如圖3所示。狀態(tài)變量x1和x2的收斂速度比較快,在約3 s時已經(jīng)接近0。由于采用飽和函數(shù)代替符號函數(shù),控制輸入u1比較平滑,沒有出現(xiàn)抖振現(xiàn)象。

圖2 平衡控制時狀態(tài)x1和x2的響應(yīng)

圖3 平衡控制時控制輸入u1

4.2 軌跡跟蹤控制實驗

對于該二階非線性系統(tǒng),采用式(14)的滑模控制器進行軌跡跟蹤控制。參數(shù)選擇為c=3,k=3,D=0.2,ε=0.2。在進行軌跡跟蹤控制時,期望的軌跡為

在圖1中,SMC2模塊進行軌跡跟蹤控制,采用Matlab語言編寫的程序如下：

function u2 = fcn(x1, x2, thd, dthd, ddthd)

fx=-16*x2; gx=125;

c=3; k=3; D=0.2; epsilon=0.2;

s2=(dthd-x2)+c*(thd-x1);

delta=0.001; d=abs(s2/delta);

if d<=1

sat=s2/delta;

else

sat=sign(s2/delta);

end

n=k*s2+(D+epsilon)*sat;

u2=(-fx+ddthd+c*(dthd-x2)+n)/gx;

圖4 軌跡跟蹤控制時狀態(tài)x1的響應(yīng)

圖5 軌跡跟蹤控制時狀態(tài)x2的響應(yīng)

軌跡跟蹤控制時,控制輸入u2如圖6所示。由于采用飽和函數(shù)代替符號函數(shù),控制輸入u2比較平滑,沒有出現(xiàn)抖振現(xiàn)象。

圖6 軌跡跟蹤控制時控制輸入u2

5 結(jié)論

本文研究了二階非線性系統(tǒng)的滑模控制問題。在滑模控制器的設(shè)計中,選擇不同的滑模面,分別進行了平衡控制和軌跡跟蹤控制,并采用Lypaunov理論對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了證明。在滑模控制器中采用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)以削弱抖振現(xiàn)象。該仿真實驗系統(tǒng)將滑模控制的理論學習和編程實現(xiàn)相結(jié)合,有助于學生對滑模控制理論和實際應(yīng)用的理解。以該仿真實驗系統(tǒng)為平臺,學生可以對控制算法進行改進或自行編寫算法,然后進行動態(tài)仿真實驗。