廣義S變換時頻分析在廣域電磁法數(shù)據(jù)處理中的應用

吳 桐， 李帝銓， 索光運， 房 瑞

(中南大學 地球科學與信息物理學院，長沙 410083)

0 引言

電磁法作為地質勘探當中重要的手段，在實際應用中不可避免地會受到各式各樣的干擾而無法獲得理想的有效信息，特別是在干擾強的地區(qū)無法區(qū)分噪聲和有效信號[1-3]。因此，在噪聲條件下提取有效信號顯得尤為重要。電磁信號處理的過程中，主要基于傅里葉變換獲得信號的頻譜進行信號的分析。由于傅里葉變換是所有頻率成分在總時間上的集成，獲得的頻譜響應很容易受到噪聲的影響，僅采用傅里葉變換難以獲取真實有效的信息。為了提高有效信號的挖掘能力，在時間尺度進行時間-頻率的分析就很有必要[4-7]。

時頻分析主要描述信號的頻譜隨時間的變化，理想情況下，時頻分析可提供每個時間點下精確的頻譜信息，基于此國內、外學者進行了大量的研究，提出了多種時頻分析方法。S變換是由Stockwell[8]提出來的時頻分析方法，結合了短時傅里葉變換和小波變換，它既含有快速傅里葉變換的相位信息，同時又保留了小波變換的多尺度分辨能力，是兩者的延伸和推廣。在實際應用當中，S變換對時頻分析的分辨率調節(jié)力度不夠，能量聚集性不足，許多的學者又對S變換進行了研究，提出了不同的廣義S變換。周竹生等[10]將可調因子引入S變換，Djurovic＇ 等[11]提出了最優(yōu)化S變換；Pinnegar等[12]提出了可調節(jié)時-頻分辨率的改進S變換；陳學華等[9]改進了S變換；Robert Pinnegar[12]提出了兩種頻率函數(shù)來控制變換窗口的廣義S變換。筆者采用離散信號可分辨最高頻率Fmax為線性因子，基于可變因子廣義S變換的思想，提出基于廣義S變換的廣域電磁信號處理流程，并把此方法應用到廣域電磁信號處理中。

1 廣義S變換

1.1 S變換

S變換是Stockwell提出來的方法，是一種時頻譜局部化的方法，類似于短時傅里葉變換，信號h(t)的S變換定義為式(1)。

(1)

其中：τ為時間(s)；f為頻率(Hz)；i為虛數(shù)單位。

S變換能寫成h(t)的傅里葉變換H(f)的形式：

f≠0

(2)

其一維的連續(xù)逆變換為：

(3)

式(1)中S變換的高斯窗寬度與頻率成反比關系,其時頻分辨率是根據(jù)時頻的變換而相應變化，高頻時，信號變化劇烈，時域窗函數(shù)相應的縮??；低頻時，信號變化緩慢，時域窗函數(shù)相應的擴展，以提高頻率分辨率。因此，S變換有著類似小波變尺度的能力。式(2)表明S變換可以借助傅里葉變換形式提高自身計算效率。式(3)表明S變換有相應的逆變換，能進行時頻相互轉換，有較高的實用性。

1.2 廣義S變換(GST)

理想的時頻-分析表達(Ideal time-frequency representation，ITFR)指頻譜特性隨時間變化，其提供瞬時時間點上信號所有頻率的信息，不與相鄰時刻或者相鄰頻率信息的交叉，即其無論在在時間域還是頻率域都有高分辨能力[13-15]。

時頻-分析盡可能地接近于理想時間-頻率的表達，獲得高分辨率的時變頻譜。由于S變換的窗函數(shù)是高斯窗，其隨頻率變化的靈活性不足，能量的聚集性不高，對時頻分析的分辨率調節(jié)力度不夠(如圖1(e)、圖1(f)所示)且很難達到理想的時頻-分析表達的形式，所以眾多學者提出了各式的廣義S變換來提高其分辨能力。周竹生等對S變換做了改進增加可調因子令：

(4)

圖2 含噪廣義S變換時頻-分析Fig.2 Waveforms of signal and results of general S-transform with noise(a)理論信號；(b)理論信號中加入三角波、方波噪聲和-20 dB的高斯白噪聲；(c)含噪信號傅里葉變換振幅譜；(d)含噪信號廣義s變換時-頻分析譜

參數(shù)σf能比較靈活的控制高斯窗口，σf有多種函數(shù)形式，如σf(f)=k/f+b、σf(f)=(k/f+b)2，k、b為常數(shù)。姬戰(zhàn)懷[16]等聯(lián)系了離散信號處理的過程，根據(jù)奈奎斯定理加入了離散信號最高頻率Fmax，把Fmax加入到σf形式中去，形成：

σf(f)=α+βf/Fmax

(5)

式中，α和β為正實常數(shù)。其對比了多種廣義S變換的效果，這種形式的常規(guī)廣義S變換聚集效果較好，在時頻-分析調節(jié)上有更大的靈活性，恰當?shù)卣{節(jié)參數(shù)可以獲得比較好的時頻-分析的效果[17-21]。經過多次調節(jié)分析，信號提取方法常數(shù)參數(shù)都取α=0.4、β=4，表達式為式(6)。

(6)

2 仿真實驗

人工源電磁法信號在無干擾的條件下，所獲得的信號具有長周期、幅值穩(wěn)定的特點[21]。但是實際測量的信號會受到各式各樣的干擾，使得我們不能準確地獲得有效信息。因此分析噪聲的時頻特性并采用合適的處理方法有助于提高數(shù)據(jù)質量。筆者采用廣義S變換對廣域電磁方法在干擾條件下的數(shù)據(jù)進行仿真實驗，干擾源為電磁信號當中常見的方波、三角波、高斯白噪聲[1-2]。

法律應當合理區(qū)分雙方行為的市場范圍，充分發(fā)揮他們在不同市場領域中的信息處理優(yōu)勢。實際上，宏觀市場的調控、服務一直是我國政府的職責，只是在民間融資市場監(jiān)管方面不明確。法律可明確把宏觀市場作為監(jiān)管者的行動領域，其主要職責是利用組織化、專業(yè)化能力優(yōu)勢，為民間融資主體提供宏觀上的信息服務和引導，教育融資者在了解市場風險基礎上自主決策，自擔風險，理性行動；健全信用信息記錄，建立信息共享平臺，降低融資主體信息獲取成本等。同時，法律應賦予監(jiān)管者可以強制要求融資主體披露信息的權力、實行登記備案管理掌握市場動態(tài)的權力以及其他信息收集的權力。微觀上主要是融資主體的活動空間，其在法律范圍內自由行動。

定義4 Hz和8 Hz的余弦信號作為理論信號：

(7)

該信號的采樣率為256 Hz，采樣點數(shù)N為2 560。方波和充放電是電磁法時間序列數(shù)據(jù)比較常見的噪聲，從圖2(c)分析噪聲主要集中于低頻部分，從圖2 (d)能分析出4 Hz長周期的信號一直存在，短周期信號8 Hz余弦信號在4 s到8 s存在，能確定噪聲主要在2 s、4 s、6 s呈現(xiàn)一個干擾區(qū)域，而高斯白噪聲則存在于所有的頻點上。因此，通過分析時頻譜避免干擾噪聲區(qū)域來提取有效信號，對實際廣域電磁方法比傅里葉變換更有優(yōu)勢。

3 廣義S變換數(shù)據(jù)分析處理流程

廣域電磁勘探中，發(fā)送信號為2n序列偽隨機的信號[21-23]，其能量分布在以2為底的指數(shù)的主頻信號上，且頻率在對數(shù)坐標上均勻分布，這種良好的能量分布特性對于頻率域電磁勘探非常適合，且能通過高強度、多周期采集壓制的方式獲得高信噪比的信號。針對廣域電磁數(shù)據(jù)的特點，筆者設計了廣義S變換在廣域電磁數(shù)據(jù)處理的流程：

1)輸入時間域數(shù)據(jù)，進行基本的傅里葉變換進行頻譜分析。

2)根據(jù)傅里葉變換譜，選擇對應不同頻段要求的合適的廣義S變換因子。

3)對數(shù)據(jù)進行廣義S變換，劃定噪聲區(qū)域，進行主頻頻點的時頻-分析。

4)對時頻分析數(shù)據(jù)進行分析，選取動態(tài)閾值，選擇數(shù)據(jù)穩(wěn)定區(qū)間。波動較大數(shù)據(jù)進行濾波處理，以保留有效信號。

圖3 某工區(qū)的視電阻率測深曲線圖Fig.3 Resistivity sounding curves

圖4 高信噪比實測資料的廣義S變換分析Fig.4 Analysis of the measured data of the generalized S transform(a)2頻組信號1 Hz～64 Hz的S變換譜；(b)由上至下為4 Hz、2 Hz、1 Hz、32 Hz、64 Hz的幅值-時間圖；(c)3頻組信號0.75 Hz～48 Hz的S變換譜；(d)由上至下為3 Hz、1.5 Hz、0.75 Hz、48 Hz的信號幅值-時間圖

圖5 廣義S變換與廣域電磁法原處理效果對比Fig.5 The effect of generalized S transform is compared with the original processing method(a)信號48 Hz選取有效區(qū)間示意圖；(b)通過數(shù)據(jù)矯正后廣義S變換和原處理手段的電場曲線圖

4 實測資料的處理效果與分析

4.1 高信噪比廣域電磁數(shù)據(jù)處理

利用廣義S變換數(shù)據(jù)分析處理流程,對實測的高信噪比的廣域電磁數(shù)據(jù)進行處理和分析。選取的是廣域電磁法某工區(qū)的高信噪比的實際測量點，工區(qū)的廣域視電阻率測深曲線如圖3所示，測深曲線光滑，與相鄰測點具有良好的一致性，數(shù)據(jù)質量可靠。本文選取的是第8個測點的數(shù)據(jù)作為分析。

廣域電磁數(shù)據(jù)發(fā)送的信號有6個頻組(0頻組～5頻組)，一個頻組包含多個頻率信息。本文選取其中2頻組和3頻組(其中主要分析頻率為0.75 Hz～64 Hz)作分析，處理的信號為電場信號，廣義S變換時頻分析結果如圖4。實測的數(shù)據(jù)通過廣域電磁法數(shù)據(jù)分析處理流程，進行數(shù)據(jù)處理得到的效果如圖5所示。

圖6 實測資料干擾較大的廣義S變換處與廣域電磁法原處理效果對比Fig.6 Comparison of generalized S transform and original effect(a)2頻組廣義S變換譜；(b)(a)中信號幅值-時間圖；(c)3頻組廣義S變換譜；(d)(c)中信號幅值-時間圖；(e)原處理手段和廣義S變換處理電場曲線

由圖5(a)可見，在噪聲干擾下，大部分時間區(qū)域幅值數(shù)據(jù)發(fā)生了波動。按流程劃定噪聲點選取合適時間段進行處理，能有效提高數(shù)據(jù)的質量(圖5(a)中虛線框)。圖5(b)為高信噪比數(shù)據(jù)經過廣義S變換和基于傅里葉變換的原處理手段的效果對比。圖5(b)顯示廣義S變換方法處理的結果同原處理手段的結果相比一致性高，證實了本方法的正確性。對比結果還表明，廣義S變換時頻-分析能反映幅值在時間上的變化情況，能避開噪聲干擾區(qū)域、提高數(shù)據(jù)質量。

4.2 強干擾廣域電磁數(shù)據(jù)處理

圖6為某工區(qū)的較強干擾的廣域電磁法的數(shù)據(jù)，主要分析了其180 s的電場數(shù)據(jù)，提取出對應主頻頻率的電場信息(0.75 Hz到8 192 Hz)。由圖6(a)、圖6(c)可知，以50 Hz工頻干擾為中心的區(qū)域噪聲對數(shù)據(jù)影響比較大，圖6(b)、圖6(d)中明顯看出，目的主頻信號在對應干擾區(qū)波動比較大，所以在處理數(shù)據(jù)時要盡量避免選取這些區(qū)域的數(shù)據(jù)。

電場數(shù)據(jù)經過本文提出的處理流程而獲得圖6(e)的電場曲線圖。對比圖6中兩方法的效果能看出廣義S變換獲得的電場數(shù)據(jù)曲線更平滑、更穩(wěn)定，得到的效果更好。證明了在干擾較強地區(qū)，選取有效的處理信號區(qū)間是十分重要的。廣義S變換這種劃定噪聲區(qū)間提高數(shù)據(jù)質量的方法，應用到實際資料處理當中是很適合的。

5 結論與討論

1)廣義S變換不僅可以提供更多的頻譜系數(shù)，還能形象呈現(xiàn)廣域電磁主頻率點幅值實時變化信息。

2)針對廣域電磁時間數(shù)據(jù)，廣義S變換可以圈定噪聲在時頻面上的分布特征，避開干擾區(qū)域為獲得有效信息提供依據(jù)。

3)根據(jù)本文數(shù)據(jù)分析流程，實際處理后的數(shù)據(jù)效果更好，穩(wěn)定性佳。

盡管廣義S變化被眾多的學者進行討論分析，應用到實際中去，但本身并不能達到理想時頻-表達ITFR的這種形式。因此，通過別的方式增加廣義S變換能量聚集能力逼近ITFR有待進一步的研究。