弦支穹頂結(jié)構(gòu)的風速時程模擬研究

孟超，林智強，李鐮呈

（1.廣東省重工建筑設(shè)計院有限公司，廣東 廣州 510663；2.武漢市建設(shè)工程安全監(jiān)督站，湖北 武漢 430015）

0 前言

日本政法大學教授川口衛(wèi)（M.Kawaguchi）在1993年提出了由單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)和穹頂組成的一種新型的混合空間結(jié)構(gòu)形式——弦支穹頂結(jié)構(gòu)（Suspend-dome）。典型的弦支穹頂結(jié)構(gòu)由一個單層網(wǎng)殼和下端的撐桿、索組成。

對結(jié)構(gòu)進行風振響應(yīng)的時程分析必須首先得到風速時程曲線，并且要求模擬風盡可能的接近或滿足自然風的特性。目前，風振研究的主流方法是用計算機來模擬風速時程曲線。主要方法有線性濾波法（AR模型）和諧波疊加法（WAWS法）。本文引入信號處理中的抽取時間快速傅立葉變換，編制MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)了脈動風速的模擬。

1 脈動風特性

脈動風的風向和風速都是隨著時間和空間變化的，具有明顯的紊亂性和隨機性，脈動風引起結(jié)構(gòu)的振動。

1.1 脈動風速功率譜

在風工程中最廣泛使用的Davenport風速譜：

式中：SV（f）——順風向風速譜；ω——頻率；（10）——標準高度為10m處的平均風速值；k——地面粗糙程度相關(guān)的系數(shù)。

1.2 脈動風的空間相關(guān)性

脈動風具有空間相關(guān)性。當結(jié)構(gòu)上一點的風壓達到最大值時，在一定的范圍內(nèi)離該點越遠處的風荷載同時達到最大值的可能性就越小。R（ijt）為風速在時刻的互相關(guān)函數(shù)：

式中：Si（jω）為空間兩點i、j的風速互譜功率譜密度。當i=j時Rij為風速在時刻的自相關(guān)函數(shù)。

2 風速時程計算機數(shù)值模擬方法

對于脈動風速時程，目前風荷載數(shù)值模擬方法主要大致分為兩類：一類是基于三角級數(shù)求和的諧波合成法，當維數(shù)較大時，此種方法非常耗時，但精度比較高；另一類是線性濾波法，如自回歸（AR）法、滑動平均（MA）法等，這種方法計算量相對較少，但精度較差。

2.1 諧波合成法

諧波合成法本質(zhì)上就是用離散化的譜來逼近目標隨機過程的一種數(shù)值模擬方法。風速的脈動部分可看作是具有零均值的高斯平穩(wěn)隨機過程，對具有不同坐標的各點，其風速u（jt）（j=1，2，3,…,n）的譜密度函數(shù)矩陣為：

式中，Sj（jω）為自譜功率譜密度函數(shù)，Sjk（ω）（j≠k）為互譜功率譜密度函數(shù)。根據(jù)Shinozuka理論，功率譜密度矩陣分解后，隨機過程u（jt）的樣本可以由下式來模擬：

式中：Hjk（ωl）——以復(fù)數(shù)形式Sjk（ωl）為元素的互譜密度矩陣Cholesky分解得到；N——風譜頻率域內(nèi)數(shù)據(jù)采集數(shù)目；Δω——頻率增量，為截止的頻率；φkl——[0，2π]上均勻分布的相互獨立的隨機相位角；。

式中δωl為避免風速時程周期化所引入的隨機頻率，所選取的截止的頻率ωu必須足夠大到能使得功率譜密度矩陣中各元素項均趨于零。

對式（4）的等式右邊進行數(shù)學分析，利用按時間離散的快速傅立葉變換（DIT-FFT）建立中間函數(shù)則可以極大地減少脈動風速時程模擬的計算量。

2.2 時間離散快速傅立葉變換（DFT）對諧波合成法的優(yōu)化算法

可以把有限長的時間序列區(qū)間看作周期序列所在的主值區(qū)間，通過離散傅立葉變換計算該周期序列的一個周期。記，則變換對：

通過考察Wn，發(fā)現(xiàn)Wn具有對稱性、周期性等性質(zhì)，有很多元素是一樣的，利用這些性質(zhì)，計算時對元素進行適當?shù)淖儞Q組合可以極大地提高計算效率。

設(shè)N=2β，β為正整數(shù)。可以看出運算由偶數(shù)部分和奇數(shù)部分構(gòu)成，利用Wn的性質(zhì)：

由 Wn的周期性可知，G（n）和 H（n）又以 N/2為周期，按此分組，可將N點DFT計算分解為兩個點DFT計算。同理，點 DFT的 G（n）和 H（n）又可分別分解為兩個點DFT計算，繼續(xù)分解下去，可以得到，…，2點DFT。此方法為按時間離散的快速傅里葉算法（DFT），這種方法將時間序列在時域范圍內(nèi)分為奇偶組，用DFT方法進行風速時程模擬，極大提高了計算速度。

根據(jù)DFT優(yōu)化算法，取M=2π（/ΔωΔt），可將諧波合成法式（4）寫成如下形式：

觀察可知，G（jpΔt）是B（jlΔω）的逆傅立葉變換，式（7）可用DFT算法計算。

3 采用時間離散快速傅立葉變換（DFT）算法優(yōu)化及算例分析

風荷載的計算機模擬的眾多方法各有其優(yōu)缺點。對于大跨度空間結(jié)構(gòu)特別是弦支穹頂結(jié)構(gòu)，本文利用計算機模擬風速時程曲線對弦支穹頂結(jié)構(gòu)直接進行風振時程分析。

對一空間模型屋蓋利用DFT改進的諧波合成法作脈動風速時程模擬，用MATLAB軟件編寫多個相關(guān)脈動風速時程模擬程序。水平風速譜采用Davenport譜。

設(shè)有一按凱威特型劃分的單層網(wǎng)殼，跨度20m，網(wǎng)殼屋面分格如圖1所示。選取7個點做風速時程模擬，脈動風速譜采用Davenport譜，地貌類型C類，標準高度處平均風速，地面粗糙程度系數(shù)為0.22，疊加時間步長0.1s，截止頻率1Hz。

圖1 單層網(wǎng)殼網(wǎng)格布置及節(jié)點示意

圖2 點4水平風速時程曲線

圖3 點7水平風速時程曲線

計算機模擬得到點4、7的水平風速時程曲線如圖2至圖3。圖4是不同節(jié)點的模擬的水平風速譜和Davenport譜的比較，模擬風速時程的功率譜在走勢和極值等方面與Davenport功率譜十分相近，因此通過DFT算法優(yōu)化的諧波合成法可以有效地模擬脈動風速時程。圖5為1節(jié)點和2、3、4、5、6以及7節(jié)點的風速互相關(guān)函數(shù)，互相關(guān)函數(shù)的最大值反映了不同距離點的相關(guān)性強弱，從圖中可知，距離較近的點的互相關(guān)性明顯強于距離遠的點，符合風速的空間相關(guān)特性。

在計算速度上，采用DFT算法優(yōu)化的諧波合成法計算效率明顯提高，模擬譜也比較符合目標譜。本文采用MATLAB程序語言編制程序，在計算過程中將循環(huán)轉(zhuǎn)換為向量運算可以提高計算效率。

4 結(jié)論

圖4 點1、2、4、7水平脈動風模擬功率譜與目標譜比較

圖5 點1和其余各點的水平脈動風互相關(guān)函數(shù)

本文在風荷載模擬研究文獻的基礎(chǔ)上，對風荷載計算機模擬的理論問題進行了系統(tǒng)分析，確定了風荷載計算機模擬的方法。選取了精度較好的諧波合成法，并用DFT算法優(yōu)化的諧波合成法進行風速時程模擬，最后對一網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)模型取7個點進行了模擬計算，通過算例分析，得到了有效的結(jié)果。