排列組合中幾個情景化的問題

唐寧善

【摘? ?要】排列組合中情景化問題：一、加法原理與乘法原理;二、排列問題;三、組合問題;四、綜合問題。

【關鍵詞】高中數學;情景化;排列組合

時下，課堂改革正在如火如荼地進行。在任何學習中，興趣都是最好的老師，如何激發學生的學習興趣和熱情始終是教學的永恒主題和最重要部分。在高中數學教學中，將問題情景化是激發學生學習興趣的有效途徑，同時能夠培養學生應用數學知識解決實際問題的意識和能力，還可滲透其他學科及生活、工作中的有關知識，培養學生的綜合的質，這與高中數學核心素養的要求也是一致的。

下面主要談談高中數學選修2-3中“排列與組合”中幾個情景化的問題：

一、加法原理與乘法原理

例1：現在，有固定電話的家庭越來越少，大家了解它的編碼規則嗎？它的號碼是由0、1、2、……、9十個數字組成，其中首位不能為0（可問學生為什么）。我們順德的固定電話號碼原來是7位的，問原來可有多少個電話號碼？后來升到8位，問升位以后共增加了多少個號碼？

略解：原來可有9×10×10×10×10×10×10=9000000個電話號碼;升位后有9×10×10×10×10×10×10×10=90000000，共增加了90000000-9000000=81000000個電話號碼。

上例通過情景化，可使學生了解電話號碼的編碼方法;知道為什么要升位;讓學生感受到祖國日新月異的變化和時代前進的步伐，從而增加其使命感，激發起學生對學習的熱情。

例2：順德的汽車車牌是“粵Xxxxxx”，原來5位號碼中只有第一位是英文字母，其余4位是數字，問一共可有多少個車牌號？隨著汽車用戶的日益增加，為了增加號碼，5位號碼中，第二位、第三位也用英文字母表示（只有一個英文字母），其余4位都是數字，問一共可增加多少車牌號？

略解：原來可有26×10×10×10×10=260000個車牌號;后來共增加了10×26×10×10×10+10×10×26×10×10=520000個車牌號碼。

例2屬于“可重復排列問題”，同時又是先分類后分步的綜合題，難度比較大，但由于結合了現實生活，學生可以根據實際操作加以解決，同時又能激發學生學習的興趣，也可培養學生應用所學知識解決實際問題的能力。

再問：現在順德的汽車號碼是怎樣編號的？共有多少號碼？（注：順德汽車編碼規則：前兩位為大寫英文字母，后三位為數字，共有26×26×10×10×10=676000個號碼，這是比原來增加的！）

目的：讓學生更多了解生活生產的實際，感受知識的力量。

二、排列問題

例3：“烽火連三月，家書抵萬金”，我國古代用烽火臺傳遞信號，在烽火臺上燃起馬糞或狼糞，表示有敵人來犯。而在西方沿海國家，常用旗子表示各種信號。思考下面問題：某信號兵用紅、黃、藍三面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以掛一面或多面，并且不同順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？

略解：P+P+P=15種。

例4：在運動會中（如校運動會），常會碰到這樣的問題：有6名同學報名參加4×100米接力賽，下列情形中，體育委員可以怎樣“排兵布陣”：1.6名同學實力相當，都可以跑任意一棒;2.甲同學爆發力較好，必須“打前鋒”，乙同學速度快、心理素質好，必須“殿后”;3.甲、乙兩同學必須“打前鋒”或“殿后”。

略解：1.P=360; 2.P=12; 3.PP=24。

例3涉及語文和歷史知識，能激起學生（特別是這兩門學科較好的學生的）學習興趣;而例4是“有條件限制的排列問題”，學生往往不知怎樣入手，但通過情景化，學生比較容易想到怎樣完成整件事情，從而得出處理此類問題的思路“先處理特殊位置或特殊元素”，而且讓題目帶上了一定的“情感色彩”，更能讓學生興趣盎然、躍躍欲試。

三、組合問題

例5：剛剛開幕的俄羅斯足球世界杯（第21屆），比賽是按照下面的辦法進行的：先將32支球隊分成8個小組進行單循環比賽，每小組前兩名出線，決出16強;再將16支球隊進行淘汰賽決出8強，然后同樣采用淘汰賽決出4強、決出2強、決出冠亞軍;同時3、4名要進行一場確定名次的比賽。問一共要進行多少場比賽？

略解：8C+8+4+2+1+1=64。

例5與時事（熱點）密切相關，又是實際中會碰到的問題，學生（特別是男學生）當然非常感興趣。

四、綜合問題

例6：我們班將進行班干換屆選舉，要求6名班干中至少有2名女生且至少有3名男生，問一共有多少種選法？

略解：假定本班有50人，男生30人，女生20人，則有CCP+CCP種選法。

上例是一類比較復雜的排列組合的題目，涉及到“至少”“至多”和“先組合后排列”以及“分類、分步”的問題，學生很難理清思路，而將其放到一個比較具體的事件中，只要讓學生從實際操作中去思考，不難得出思路，老師再從中引導學生小結，以后再碰到類似的問題學生就懂得怎樣解決。

例7：將陳光旭、蔣天樂、梁煒壕、李康4位同學平均分成2組，共有多少種分法？再加上李妮和王麗麗2位同學共6人平均分成2組呢？6人平均分成3組呢？

略解：（1） （2） （3）

上例是平均分組問題，學生理解起來有一定難度，教學時可讓學生實際分一分，由于數字不是很大，學生應能找出分法的種數和計算的方法，以后印象也會比較深刻，有利于后面的學習。

筆者認為，如果可以，應將問題情景化盡可能地應用于數學教學，特別是引入課的教學中，這樣既可以激發學生的興趣，也可讓學生認識數學源于生活，也高于生活。各章節都有一些范例，只要教師勤于思考和積累，定能找到并合理運用，上面所舉例子只愿拋磚引玉。當然，并不是每一節課都要情景化，畢竟數學本身的內容才是最重要的，因材施教就好。