基于多物理場的圖像處理中的點擴散函數*

（青島理工大學理學院 青島 266520）

1 引言

圖像在采集和處理過程中，由于成像方法和設備條件的限制不可避免地要受到不同程度的污染。圖像中的邊緣、細節特征等重要信息常湮沒于噪聲信號中，給圖像的后處理帶來很大的影響，因此提高圖像質量是圖像處理中最重要的目標。

近年來偏微分方程（Partial Differential Equations，PDEs）［1～3］理論已經成為一種有效的圖像處理技術，基于PDEs的圖像濾波方法直接利用圖像的局部特征，在空域設計相應的濾波方程，以達到去噪的效果。最為經典的是由Perona-Malik［4］提出的各向異性擴散模型（P-M模型），該模型利用圖像的梯度模值控制擴散函數，但是去噪后的圖像往往在本該光滑的區域產生階梯效應，且紋理等細節信息會丟失。1992年，F.Catte et al.［5］針對 P-M模型的不足提出了正則化的P-M模型，理論上證明了它的適定性問題。1992 年，Rudin-Osher-Fatemi［6］將全變分引入圖像處理中，提出基于變分的PDEs模型——TV模型，其主要思想是根據圖像處理的要求建立能量泛函和約束條件，并將求泛函極值的問題轉化為求解偏微分方程。1996 年，Weickert［7］提出各向異性的張量擴散模型，該模型利用每一像素的梯度信息來構造散布矩陣，獲得更豐富的圖像局部結構信息，利用這些局部結構來控制擴散過程，以實現更好的圖像濾波。由于梯度運算對高頻噪聲比較敏感，使得噪聲方差放大，因此為了保證擴散方程的適定性，需要先對含有噪聲的圖像進行Gaussian預濾波。然而經過Gaussian光滑后，圖像較弱的邊緣在一定程度上也得到了模糊，紋理信息也被破壞。2002 年，Gilboa et al.［8］提出了基于正倒向擴散（Forward-Backward Diffusion）的自適應去噪模型。2013年，Xiaoping Ji［9］基于P-M模型提出了一種新的非線性混合擴散模型并證明了解的存在唯一性。2014年，V.B.Surya Prasath et al.［10］基于圖像恢復提出了耦合PDEs模型并證明了解的適定性問題；2016年，Y.Zhu et al.［11］提出了C-模型和P-M模型的凸性相耦合的非線性擴散模型并證明了其弱解的存在性。2016 年，S.Tebini et al.［12］提出了一種新的數學各向異性擴散函數，克服了傳統方法的缺點。這些模型的重點是如何利用圖像的特征信息構造擴散系數，從而去除噪聲，增強邊緣。

為了避免由于梯度模值和Gaussian預濾波造成的問題，提出一種新的擴散思想。該方法的核心是用圖像的物理性質代替圖像的幾何性質。圖像作為多孔介質材料，圖像的灰度值作為多孔介質的滲透率。將達西滲流方程與非線性擴散方程耦合，建立一種新的多物理場耦合模型（MPM模型）。該模型主要建立在P-M模型的基礎上。

2 傳統的各向異性擴散模型

2.1 P-M模型

1990年，Perona-Malik（P-M）提出了各向異性非線性擴散方程：

其中，| ?u|表示梯度模值，u0(x)表示原始圖像，擴散函數g(s)是一個光滑的非增函數。

P-M模型中定義了兩個g(s)函數形式：K表示閾值，g(s)滿足以下條件：

1）g(s)是以| ?u|為自變量的單調遞減函數。在圖像的平坦區域，擴散函數能自動增大，這樣就可以使平坦區域中較小的噪聲被平滑；在圖像的邊緣附近，擴散函數能自動減小，那么邊緣則可幾乎不受影響。

2）當|s|→∞時，g(s)→0。擴散系數減小，邊緣得到保持。

3）當 |s|→0時，g(s)→1。P-M模型類似于熱傳導方程，能更好地去除噪聲。

P-M模型（以及它的正則化形式［5］）是利用圖像的幾何特征引導擴散過程，但是圖像的局部結構信息并不僅僅表現為圖像的梯度。因此，P-M模型存在著以下的缺陷和局限性：

1）在噪聲處，圖像的梯度可能非常大，此時平滑系數較小，噪聲點被保留下來；

2）P-M是病態模型，不穩定。

2016年，S.Tebini et al.［12］提出了一種新的各向異性擴散函數：

其中，g(s)是以| ?u|為自變量的減函數，K表示閾值。該模型在形式上和P-M模型類似，優點在于收斂速度快，能夠減少去噪時間，保證圖像的細節和邊緣信息不被破壞。

2.2 張量擴散模型

1996年，Weickert提出了各向異性擴散方程的濾波方法：

其中，D(Jρ)表示2×2擴散張量矩陣，它的元素是通過散布矩陣（scatter matrix）。

為了保證擴散方程的適定性，需要先對噪聲圖像進行Gaussian預濾波。然而經過局部光滑后，圖像較弱的邊緣也一定程度地得到了模糊，一些紋理信息也被破壞。

3 MPM模型

3.1 MPM的物理背景

滲流力學是研究流體在多孔介質中自由運動規律的科學，流體能夠在多孔介質中滲流是由于各種力的作用，滲透率是多孔介質的一個重要特性參數，表示多孔介質對流體的滲透能力，它是依賴于Darcy定律而被定義的。Darcy定律可看做多孔介質中略去慣性力的特殊情況下，穩態流動的運動方程。其具體形式可表示為

其中K為滲透系數，反映多孔介質特性的參數，表示允許流體通過的潛在能力。

滲流連續性方程［13］為

其中：為介質的滲流速度。

假定均質等溫不可壓縮流體在骨架不可壓縮含水層中的滲流：

則式（9）簡化為

為了避免因梯度和Gaussian預濾波造成的問題，我們希望擴散過程僅僅依賴于圖像本身。因此提出了以滲流場中的|v→|代替圖像的| ?u|來引導圖像濾波的非線性擴散過程。依據式（8）和式（11），建立滲流場中速度方程：

K(u)＞0為可選擇滲透函數，新的多物理場耦合模型（MPM）：

式13(a)、(e)和(f)為P-M模型的非線性擴散方程，式13(b)、(c)和(d)為達西滲流方程。Ω?Rn為有界區域，?Ω適→當光滑，n是Ω的單位外法向量，ρ為流體密度，v為滲流場流體速度，p為滲流場流體壓強，μ為粘性系數，K(u)＞0為可選擇滲透函數，β和Qm為已知有界光滑函數。在數學上，我們已經證明了MPM模型在Hilbert空間上弱解的存在唯一性。

3.2 MPM點擴散函數的的新提法

各向異性擴散是一種有效的平滑處理方法，其目的是去除噪聲同時保留圖像細節和邊緣信息。依據滲流速度場提出了一種新的自適應平滑擴散函數，其基本思想是：在速度值小的地方不擴散，在速度值大的地方擴散。

新的擴散函數形式如下：

g(s)是一個單調遞增的標量函數，s=||表示滲流場中速度模值的大小。在滲流速度較大的地方，益于平滑，能夠有效地去除噪聲；在滲流速度較小的地方，控制平滑，能夠有效地保持邊緣細節信息。

3.3 擴散函數的優點

定義通量函數：

與P-M模型相比，所提出的函數收斂速度快，通量函數變化快。

如圖1所示，MPM模型的通量函數變化較快。這證明了去噪過程的處理時間是非常迅速的。因此，保證了在擴散過程中對圖像邊緣和內容的保

MPM對應的通量函數為護。在圖2中，MPM模型的圖像邊緣的擴散系數很低，這保證了邊緣不會被破壞。截面部分充分展現了擴散系數的變化。

圖1 MPM、P-M、g3(s)的擴散函數和通量函數的對比

4 數值仿真和分析

本文給出并討論了該模型的一些數值例子，并與P-M模型進行了比較。峰值信噪比（peak-signal-noise-rate）和均方誤差（mean-square-error）用于評價去噪結果的質量。它們的定義是：

u0表示原始無噪聲圖像，u表示濾波后的圖像，圖像大小為M×N。PSNR值越大說明濾波效果越好。

邊緣保持指數越接近于1，表示濾波方法的邊緣保持效果越好。

圖2 P-M和MPM點擴散函數的二維視圖、三維視圖以及截面圖

圖3 P-M和MPM模型的去噪效果

圖4 不同模型的去噪結果

表1 兩種方法定量比較

圖3是兩種方法得到的結果，小山圖像。用高斯白噪聲加標準偏差，在上面的計算中，我們選擇了相同的時間（2s）。表1是兩種方法的定量比較。結果表明，與P-M模型相比，該方法具有更好的平滑和邊緣保持效果。另外我們的模型比P-M模型能更好地提高PSNR和EPI。

表2 兩個模型EPI值比較

圖4中可以看出MPM模型保持圖像邊緣的效率。在這種情況下，我們顯示原始圖像和過濾圖像之間的區別。表2顯示對去噪圖像的EPI值進行了比較，并與P-M模型進行了比較。該模型實現了比P-M更高的EPI，證明了該方案的有效性和較高的恢復質量。顯然，無論是對于圖像的視覺質量，還是對于復原圖像的定量評價，我們的方法仍然優于P-M模型。

5 結語

本文針對圖像處理所提出的多物理場耦合的模型，具有實際的物理背景。為了避免因梯度和Gaussian預濾波造成的問題，我們希望擴散過程僅僅依賴于圖像本身。本文基于滲流場提出了更有效的自適應去噪模型，擴散函數比傳統模型的收斂速度更快。而在圖像質量評判標準中，在峰值信噪比和邊緣保持指數相當的情況下，所用時間大大減少，能更好地去除噪聲并保持圖像細節和邊緣信息。