碰撞過程“熵”的變化探究

孟祥鵬

摘 要： 物理學中有諸多簡單而完美的公式，都深刻準確地體現自然科學規律。動量守恒定律、能量守恒定律以及熱力學系統中的熵的概念就是很好的例子。基于思考在動力學系統是否有熵的概念，關注一個典型的碰撞過程，構造了動力學中的“熵”的概念。在此基礎上，進一步討論了不同恢復系數時，碰撞過程中熵的變化情況，得出系統熵時增加的結論，并將這個結論拓展至其他的實例中。

關鍵詞： 碰撞;熵;恢復系數;動量守恒;能量損失

中圖分類號： TB????? 文獻標識碼： A????? doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.13.095

眾所周知，碰撞中的動量與能量守恒。動量是質量與速度的乘積。而能量則是本文的要點，在碰撞過程中能量是一定守恒的，但機械能只有在恢復系數為零且無摩擦力作用時才守恒。這便構成了熵變的條件。

熵在一個孤立的系統中毫無疑問是增加的。在碰撞中，機械能的損失量可為熱能、勢能、聲能、光能等。而在眾多能量中熱能是一種無序的能量，所以可用熵來描述。

在明確了這些概念的前提下，本文接下來將會從能量、動量和熵三個角度入手，討論在不同恢復系數下兩個物體發生碰撞的過程中，兩個物體所組成的系統動量、能量與熵的變化情況。

1 對動量守恒、能量守恒、熵的增加的介紹

1.1 碰撞過程中的動量及動量守恒

動量（Momentum），也稱為線性動量，是物體質量乘以速度積。動量守恒定律（Law of conservation of momentum）是指一個特定系統不受外力或外力之和為零，則系統總動量不變的結論。這便是動量守恒定律。

因此，可以列出的動量守恒定律表達式為：

mv1+mv2=mv，1+mv，2 （1）

v1和v2都是發生作用前同時的瞬時速度，v1和v2都是發生作用后同時的瞬時速度。由這兩個碰撞物體組成的系統可以看作為一個孤立的系統。動量和能量是守恒的。

恢復系數是反映物體在碰撞過程中變形恢復能力的一個參數。其定義為碰撞過程的前后兩物體接觸點的相對分離速度與相對接近速度之比。這個定義既適用于正向碰撞，亦適用于兩個物體的斜向碰撞。恢復系數可以用表達式來表示為：

e= v，2-v1 v，1-v2? （2）

恢復系數e的取值范圍為：0到1之間。根據e值的大小，碰撞可以具體地分為三類：

（1）非完全彈性碰撞（0

（2）完全彈性碰撞（e=1）：碰撞后，物體完全恢復到原來的形狀，沒有任何的能量損失。

（3）完全非彈性碰撞（e=0）：碰撞中的物體的變形無法恢復，其相對動能完全喪失。碰撞后，兩個物體不分離地在一起運動。

1.2 碰撞過程中能量守恒和能量損失

在宏觀物體碰撞中，理想狀態完全彈性碰撞是不可能存在的。根據熱力學第二定律，去碰撞另一個物體的能量必須比被碰撞物體的能量高，這樣便形成了能量差。具有初速度的物體1向靜止的物體2碰撞，系統的機械能的損失可用如下公式計算：

ΔE= 1 2 m1v20- 1 2 m1v21- 1 2 m2v22 （3）

式中：m為物體的質量，v0為碰撞前物體1的初始速度，v1和v2分別為碰撞后的物體1和物體2的速度。

由此可看出機械能的損失導致系統內放熱，碰撞中的熵也隨之會增加。便可從熱力學的角度來解釋碰撞中的一系列現象，其更可拓展為另外一些動量守恒模型中去，以得到一個普遍的結論。在這里，本文提出一個猜想：碰撞的兩個物體所組成的系統是一個混亂程度不斷加大的孤立系統。

1.3 熱力學中學中熵和熵的增加

動量在碰撞中是守恒的，能量既不會由無至有，也不會從有至無。所以我們要在碰撞中使用能量守恒，把能量損失看作是熱傳遞。

熵是熱力學中用來表示物質狀態的參數之一，用符號S表示，它的物理意義是度量系統混亂的程度。1865年，克勞修斯將新發現的狀態函數命名為熵，用其增量表達熵為：

ΔS= ΔQ T? （4）

熵是解釋物質狀態的一個參數，熵變的規律：在一個孤立的系統，系統總是自發地使混亂度不斷增加。進而使熵不斷增加，這便是熵增原理。摩擦使部分機械能不可逆地轉化為熱，增加了熵。

2 構建碰撞過程中“熵”的概念

在熵中已知熵變的表達式（4），在碰撞這一物理過程中，我們要找出一個物理量來表示熱能變化量和溫度，根據類比得出熱能變化量可以用機械能損失來表示，而溫度可用動量表示，其表達式為：

mv1-mv末 + mv2-mv末? 2? （5）

來類比（4）式中的T。對這一個物理量我們要用一個希臘字母來表示。則碰撞中的熵可以用這個表達式來表示：

ΔSk= ΔEk φ? （6）

帶入化簡之后，得：

ΔSk= 2v2末-v21-v22 v1-v2? （7）

使用上式時，還需注意兩件事：（1）該式僅僅限于兩個物體完全非彈性碰撞和非完全彈性碰撞中。（2）當兩個物體初速度相同時，為最終態（因為并不會發生碰撞過程，熵無窮大）。當兩個物體初速度為零時，可看出上述式子分母為零，相當于最終狀態。當兩個物體速度相差過大的時候，會導致熵變趨近于零，說明整個系統的碰撞過程會比較持久，熵會緩慢增加，而且根據（7）式可以預知，熵增的速度會越來越快，因為分母會越來越小，分子變化不顯著。兩個速度相差過大的時候，會導致熵變趨近于零。

本文接下來使用了一個事例來具體分析并論述在不同恢復系數下碰撞中的熵的變化。需要注意的是，本文考慮系統內部摩擦和熱釋放，不考慮空氣阻力。摩擦力做功全部轉化為熱能。

3 具體實例分析及拓展

3.1 豎面雙球擺

在一個豎直平面內，用兩根繩系住兩個質量相等的球。如圖1，將一個球抬到高度為h1的地方，將1球下落到2球高度，發生相互碰撞。當他們互相經過的時候，兩個物體必須有分子與分子碰撞。這便是碰撞過程生熱的原因。

3.1.1 完全彈性碰撞

兩物體發生完全彈性碰撞時，兩個物體交換速度。但由于分子間摩擦力的作用，兩個物體每次以一個極小值改變各自的速度。最后導致了兩個物體速度都為零。在這里，我們假設物體發生再次碰撞前速度的方向發生改變但大小不變，且假設這個過程沒有能量損失。經計算可列如下式子：

ΔEk=∫Ek0dEk= 1 2 mv2-0=mgh1 （8）

亦可知=m 2gh1 由此可求出在完全彈性碰撞時的熵變為：

ΔSk=? gh1 2?? （9）

則由上式可知在完全彈性碰撞中的熵變是一個正值，進而可知在完全彈性碰撞中熵是增大的。

3.1.2 完全非彈性

本文研究非完全碰撞的一次碰撞的前后物體的熵變。當兩個物體發生完全非彈性碰撞時，可列表達式如下：

mv=2mv，v，=? 2gh1? 2?? （10）

故可列機械能變化量為：

ΔEk= 1 2 mv2- 1 2 2mv，2= 1 2 mgh1? （11）

故可列出熵的表達式是：

ΔS= ΔEk φ =? 2gh1? 4?? （12）

由于φ在此表達式中為一個常量故不再贅述。由此可看出，熵變在完全非彈性碰撞中也是一個正值?？煽闯鲮卦谕耆菑椥耘鲎仓幸彩窃黾拥?。

3.1.3 非完全碰撞

在非完全碰撞中兩個物體會不完全的損失機械能。此時在非完全彈性碰撞中必須引入恢復系數這個物理量才能描述一個非完全彈性碰撞的過程。已知非完全碰撞時，恢復系數介于0到1之間。所以必須自行規定一個合適的恢復系數來對應非完全碰撞的表達式。首先要知道恢復系數的表達式（2）。

恢復系數為零時，分數上面為零則為交換速度，符合完全彈性碰撞的表達式。當恢復系數為1時，則分數上下為變化量，故可化簡為1，符合完全非彈性碰撞的表達式。由此可列出非完全彈性碰撞的機械能損失量表達式：（此時只研究一次碰撞過程）。

ΔEk= （1-e2）m1·m2 2m1+2m2 （v1-v2）2 （13）

進一步可求出熵變為

ΔSk= （1-e2）（v1-v2）2 2（v1+v2）? （14）

由上式可知，在非完全彈性碰撞中熵變是一個正值。可看出熵在非完全彈性碰撞中也是增加的。

3.2 “熵”增結論和拓展

可以看出熵變在碰撞中是一個恒正的值，熵在碰撞中是增加的。這個系統只會不斷無序下去。直到所有機械能都轉化為熱能。這可以讓人聯想到一種叫熱寂的假說，即宇宙的熵會不斷增加，直至全宇宙中只留有熱能。

依照熵的定義，宇宙大爆炸似乎有點瑕疵。宇宙可以看作一個孤立系統。其熵應不斷增大。但宇宙最初的狀態便是高溫狀態，為什么會向低溫狀態改變呢？本文設想的為宇宙最初的狀態只有很小的體積和很少的原子量。熱能因為原子量的極度匱乏而造成不了很高的熵，進而使得溫度減少。

4 結論

碰撞中的能量守恒和動量守恒是研究碰撞的重要手段。在碰撞中，機械能發生著不同形式的轉化。本文就機械能轉化為熱能為研究的基礎，從而進一步研究了碰撞過程中的能量守恒和能量轉換，獨樹一幟地構建了碰撞過程中“熵”的概念，并從不同的恢復系數來具體說明了碰撞中的熵變。本文的主要內容是構造碰撞過程中熵的概念。并根據傳統中“孤立系統的熵是增加的”的認知，本文對具體實例的熵增過程進行了分析和論述，證實所構造的概念是符合傳統認知的。本文還參考了熱寂的相關理論，對宇宙最初狀態的熵變做出假說。

參考文獻

[1] 康山林，王華英，熊紅彥.建立熵增加原理的一種簡便方法[J].河北建筑科技學院學報（自然科學版），2001，18（4）：81-83.

[2]王菊巍.淺析力學中動量守恒與角動量守恒[J].價值工程，2012，31（13）：246.

[3]羅清紅.從熵增中尋找開放的意義[J].中小學信息技術教育，2017，（11）：83.

[4]何維杰，劉利輝.熱寂說的提出及其影響[J].湖南大學學報（社會科學版），2008，22（5）：108-112.

[5]朱建廉.關于遵從熵增加原理必要前提的教材解讀[J].物理教師，2014，35（10）：29-30.