考慮多參數變化的POGO振動穩定性分析

周星光，孫 冰

(北京航空航天大學宇航學院，北京100083)

1 引言

POGO 振動是指液體火箭結構系統與推進系統相互耦合而產生的縱向不穩定振動，在低頻振動中占有不可忽視的地位[1]。 在POGO 振動開始到增大再減小的過程中，可能產生較大的振動量級，會對航天器和宇航員的安全產生嚴重影響，歷史上大量級的POGO 振動曾多次導致發動機提前關機[2-3]。

迄今已有大量POGO 振動穩定性分析，但其中大多數都是針對單組元模型和不考慮捆綁的雙組元模型，如Kernilis[4]、Simon[5]使用單組元模型，唐冶[6]、楊明[7]、嚴海[8]等則使用雙組元模型。 只有唐冶[6]提及POGO 振動系統的穩定性概率，并進行了打靶分析，但僅是得出了模型的穩定性概率，并沒有對穩定性概率進行深入分析。

本文以我國某型液體捆綁火箭推進系統與結構系統振動的耦合穩定性為例，運用正交試驗法，選取助推器氧路的燃料阻尼、氧化劑密度、泵動態增益、蓄壓器PV 值、直管長度、直管橫截面積、泵阻力系數、泵慣性系數、蓄壓器的壓力和結構系統的結構頻率，研究這些參數共同變化對系統阻尼比和POGO 振動系統穩定性的影響。

2 捆綁火箭模型

參考文獻[9]中的各部件的動力學方程以及芯級和助推段之間的耦合關系，在AMESim 建模軟件的二次開發平臺AMESet，建立了捆綁火箭的貯箱、波紋管、直管、蓄壓器、波紋管、泵、推力室等推進系統部件模塊和結構系統模塊。 在此基礎上，引入貯箱、波紋管、直管、泵和推力室的縱向振動速度和加速度信號反饋，搭建液體捆綁火箭POGO 振動模型如圖1 所示。

圖1 液體捆綁火箭POGO 振動模型Fig.1 POGO vibration model of strap-on liquid rocket

為了驗證模型的正確性，利用建立好的各部件模塊，搭建了文獻[10]中的單路耦合模型，如圖2 所示。 將文獻[10]中的數據帶入，對系統的固有頻率結和系統阻尼比進行比較，如圖3、圖4所示。 通過圖3 與圖4 的比較可以發現，固有頻率與系統阻尼比的偏差很小，可見所建立的各部件模塊是正確的。 這也說明了用各部件模塊搭建的捆綁火箭的模型是正確的。

圖2 單路耦合系統Fig.2 Single path coupling system

圖3 固有頻率結果比較Fig.3 Comparison of natural frequencies

圖4 系統阻尼比結果比較Fig.4 Comparison of system damping ratios

3 系統阻尼比正交試驗

POGO 振動往往發生在一級飛行時間內，確定模型在一級飛行時間內是否發生了POGO 振動，對模型進行頻域仿真，其系統阻尼比隨時間的變化，如圖5 所示。

圖5 系統阻尼比變化圖Fig.5 Changes of system damping ratio

從圖5 中可以發現，系統阻尼比在10 s 時有所下降，但是系統阻尼比在0～120 s 內全部為正值。 這說明火箭的縱向振動在0～120 s 內是穩定的。

影響液體火箭POGO 振動系統阻尼比的主要參數有助推器的燃料阻尼、氧化劑密度，助推器氧路的泵動態增益、蓄壓器PV 值、直管長度、直管橫截面積、泵阻力系數、泵慣性系數、蓄壓器的壓力和結構系統的結構頻率[11]，為了進一步篩選出對系統阻尼比影響較大的參數，這10 個參數，每個參數設定9 種變化水平，改變量分別為-20%、-15%、-10%、-5%、0、5%、10%、15%、20%。 以120 s 時的系統阻尼比為目標值，通過正交表L81(910)[12]進行分析。

為排除對系統阻尼比影響相對較小的參數，分析各參數對系統阻尼比影響的主次順序，需對正交試驗模擬結果作極差分析，表3 即為極差分析表。 Knm表示n 參數m 水平所對應的系統阻尼比之和。 knm為Knm的平均值(knm＝Knm/9)。 R 表示參數的極差( R ＝knmmax- knmmin)，差值越大，反映該因素的水平變化對試驗指標的影響越大，該因素越重要。 由極差大小可以判斷試驗因素對試驗指標影響的主次順序。 定義-20%、-15%、-10%、-5%、0、5%、10%、15%、20%的參數變化對應K1～K9，可得對應的系統阻尼比如表1。 在這90 個試驗結果中，系統在120 s 已經失穩占很大一部分，即很多系統阻尼比由原始的正值變為負值，故Knm為負值。

表1 系統阻尼比的極差分析Table 1 Range analysis of system damping ratio

隨著這10 個參數的水平變化，系統阻尼比在每個參數水平的變化范圍內都有一個最大值。 對比表1 中的R 值，可以發現RH＞RB＞RJ＞RF＞RA＞RG＞RC＞RI＞RD＞RE，按對系統阻尼比的影響程度由大到小為助推器氧路的蓄壓器壓力、氧化劑密度、結構系統的結構頻率、助推器氧路的泵阻力系數、燃料阻尼、泵慣性系數、直管長度、蓄壓器PV值、管路橫截面積、泵動態增益。 其中RH、RB、RJ最大且值相近，說明助推器氧路的蓄壓器壓力、氧化劑密度和結構系統的結構頻率對系統阻尼比的影響程度相近；RF、RA、RG、RC相近，說明助推器氧路的泵阻力系數、燃料阻尼、泵慣性系數、直管長度對系統阻尼比的影響程度相近；RD、RE相近，說明助推器氧路的管路橫截面積、泵動態增益對系統阻尼比的影響程度相近。 RD與RE最小，說明助推器氧路的管路橫截面積、泵動態增益相對其他參數對系統阻尼比的影響較小。

4 系統穩定性正交試驗

由多因素對系統阻尼比的影響的分析結果可知，助推器氧路的管路橫截面積、泵動態增益相對其他參數對系統阻尼比的提高較小，而且在工程實際中助推器的燃料阻尼、氧化劑密度，助推器氧路的直管長度、結構系統的結構頻率很難改變，故選取助推器氧路的蓄壓器PV 值、泵阻力系數、泵慣性系數、蓄壓器壓力這4 個對系統阻尼比的提高相對較大而且在工程上容易改變的參數，探究多參數變化對POGO 振動系統穩定性的影響。

POGO 振動系統的穩定性指的是飛行試驗中POGO 振動未發生的概率。 在進行POGO 振動系統的穩定性分析時，對每一次模擬飛行，若0～120 s內系統阻尼比沒有出現負值，則系統穩定，說明POGO 振動沒有發生，否則系統失穩，發生了POGO 振動。 依據文獻[6]中的液體火箭POGO 振動系統穩定性條件，可以得到：任意時刻，如果系統阻尼比為正，則POGO 振動系統穩定，如果系統阻尼比為負，則POGO 振動系統不穩定。

考慮到工程中改進方案時，參數的改變量應該在5%以內，對參數的改變量應該較小，所以這4 個參數，每個參數有5 種變化水平，改變量分別為-5%、-2%、0、2%、5%。 以POGO 振動系統的穩定性概率為目標值，通過正交表L16(45)[12]進行分析。

選取參數使其服從正態分布，偏差為均值的3%，進行POGO 振動系統的魯棒性分析。 應用蒙特卡洛法，產生各參數的抽樣值。 所有參數的一次組合，就代表一次模擬飛行試驗，設組合數為x，將這些組合數代入POGO 振動模型中，進行數值模擬，就代表預測液體捆綁火箭x 次模擬飛行試驗是否可能發生POGO 振動，即可計算出穩定頻數。

正交表L16(45)要進行16 次試驗，在每次試驗中，給定模擬飛行試驗次數為1000，計算可以得到該次試驗POGO 振動系統的穩定性。

為尋找理論最優方案，分析各參數對提高系統穩定性的主次順序，需對正交試驗模擬結果作極差分析，結果見表2。，其中的K1～K5對應的參數均值的變化水平分別為-5%、-2%、0、2%、5%。

表2 系統穩定性的極差分析Table 2 Range analysis of system stability

對比表2 中的R 值，可以發現RT＞RP＞RS＞RU，所以這4 個參數對POGO 振動系統穩定性的影響程度由大到小分別為蓄壓器壓力，泵阻力系數，泵慣性系數，蓄壓器PV 值。 其中RP與RS的數值相近，說明泵阻力系數與泵慣性系數對POGO 振動系統穩定性的影響程度相近。

隨著這4 個參數的水平變化，系統的穩定性在每個參數水平的變化范圍內都有一個最大值。目標值(系統的穩定性)越高越好，所以每個參數取的變化水平為最大的knm值對應的那個水平。從表4 中得出，系統的穩定性分別在kP5、kS2、kT2和kU4處取得最大值。 由此可以得出，在偏差為均值的3%時，助推器氧路的蓄壓器PV 值增大2%、泵阻力系數增大5%、泵慣性系數減小2%、蓄壓器壓力減小2%為最優方案。

將這4 個參數的均值按照上述修改后，選取參數使其服從正態分布，偏差為均值的3%，進行POGO 振動系統的穩定性分析。 應用蒙特卡洛法，產生各參數的抽樣值。 給定模擬飛行試驗次數為1000，進行液體捆綁火箭1000 次模擬飛行試驗，最終得到液體捆綁火箭POGO 系統的穩定性概率為99.7%，而同樣條件下，修改之前的POGO 振動系統的穩定性概率為92.4%，系統的穩定性提升了7.3%。

為了進一步說明最優方案的優越性，將這4個參數的均值按照上述修改后，選取參數使其服從正態分布，偏差分別取均值的5%和7%，進行POGO 振動系統的魯棒性分析，最終得到液體捆綁火箭POGO 系統的穩定性概率分別為99.4%和99.2%。 隨著偏差的增大，液體捆綁火箭POGO系統的穩定性概率逐漸降低，但是POGO 系統穩定性概率仍然比未修改前POGO 系統的穩定性概率高。

5 結論

1)在120 s 時，捆綁火箭助推器參數按對系統阻尼比的影響程度由大到小為助推器氧路的蓄壓器壓力、氧化劑密度、結構系統的結構頻率、助推器氧路的泵阻力系數、燃料阻尼、泵慣性系數、直管長度、蓄壓器PV 值、管路橫截面積、泵動態增益。

2)捆綁火箭助推器參數按對POGO 振動系統穩定性的影響程度由大到小分別為蓄壓器壓力、泵阻力系數、泵慣性系數、蓄壓器PV 值。

3)助推器氧路的蓄壓器PV 值增大2%、泵阻力系數增大5%、泵慣性系數減小2%、蓄壓器壓力減小2%為最優方案，系統穩定性概率為99.7%，提高了7.3%。

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