一種基于Hohmann最優交會的尋的制導方法

陳長青，解永春，安思穎

(1.北京控制工程研究所，北京100094； 2.空間智能控制技術國防科技重點實驗室，北京100094)

1 引言

在交會對接過程中，如何利用盡可能少的燃料完成交會一直是國內外學者研究的熱點，而脈沖最優交會是其中的一個重要內容。 典型的最優脈沖交會有4 類[1]：基于脈沖校正理論的最優脈沖交會、Lambert 最優脈沖交會、利用數值方法求解的最優脈沖交會、以及基于鄰近圓軌道交會理論的最優脈沖交會。 20 世紀60 年代，Prussing[2-3]針對于鄰近圓軌道軌道面內的交會問題，選擇半徑為兩圓軌道平均軌道半徑的中間軌道建立參考坐標系，利用線性方程下最優交會時共軛方程和狀態方程的獨立性，分別對基向量和邊界值問題進行求解，完成了最優交會中脈沖時刻、脈沖方向和脈沖大小的求解，可以得到四脈沖、三脈沖、二脈沖等幾種最優交會類型，且這些類型在不同的初始條件和交會時間下有確定的分布。 80 年代后，Prussing、Carter 等[4-5]進一步發展了該理論，并應用到非平面鄰近圓交會、逃逸、路徑約束等交會上[6-8]。 從90 年代開始，國內學者在脈沖最優交會上也做了大量的工作，包含動力學[9]、三脈沖[10]等。 陳長青等[11]把鄰近圓軌道最優交會拓展到圓軌道到橢圓軌道最優脈沖交會上，得到最優交會模式的分布圖。

交會對接的尋的段要在燃料優化約束下適應并消除遠距離導引段采用絕對制導帶來的偏差[12]，同時采用測量精度更高的相對導航設計可在軌實施的制導律，目前國內外沒有相關文獻做詳細闡述。 本文從工程實際出發，提出一種基于Hohmann 最優交會的尋的制導方法，設計尋的段初始條件以及在軌實施的制導策略。

2 動力學方程

在尋的段，兩個航天器的距離比較近，且飛行軌道相對圓化，可以認為是鄰近圓軌道的交會問題。 采用式(1)所示基于圓柱坐標系的無量綱化后的方程描述相對運動[9]：

其中δr 為徑向相對位置，δθ描述跡向相對運動。ax、az分別為徑向和跡向施加的加速度。式(1)寫成狀態方程如式(2)：

在動力學方程(1)、(2)式的基礎上討論相對運動的初末狀態。 記狀態變量 x ＝如圖1，目標器在追蹤器前方，兩者的軌道高度差為δR，初始相位角差為β。則追蹤器的始狀態為x0＝[- 0.5δR 0 0 0.75δR]T，目標器的末端狀態即追蹤器希望的末端狀態 xF＝ [0.5δR β - 0.75δRtF0 - 0.75δR]T。 通過方程(1)和追蹤器的初末狀態，可以討論Hohmann 最優交會。

3 Hohmann 最優交會

3.1 無漂移段的Hohmann 最優交會

Hohmann 變軌針對圓軌道轉移，在過渡橢圓軌道半個軌道周期內，通過初末時刻沿切向方向的兩個脈沖完成軌道轉移。 當軌道機動前后兩個圓的軌道半徑比小于11.94 時，Hohmann 變軌是最優的轉移策略。 下面針對第2 節中的動力學方程和初末狀態討論Hohmann 最優交會的問題。

施加的兩個脈沖均為切向脈沖，則邊界值問題為式(3)[2]：

圖1 相對運動和參考軌道Fig.1 Relative motion and reference orbit

其中x0、xF分別為追蹤器的初末狀態，Φ 為式(2)的狀態轉移矩陣， B 為定常矩陣。 當x0＝ [- 0.5δR 0 0 0.75δR]T，xF＝[0.5δR β -0.75δRtF0 -0.75δR]T，交會時間α ＝π 時，可以得到： xF- ΦF0x0＝[δR β - 1.5δRπ 0 - 1.5δR]T，ΦFoBu1＝求解邊界值問題(3)可以得到滿足Hohmann 最優交會的脈沖大小ΔV1、ΔV2和初始相位角差βH如式(4)：

(4)式給出在動力學方程(1)下Hohmann 最優交會需要的脈沖大小以及追蹤器與目標器的初始相位差，只要滿足該條件，且交會時間為半個參考軌道的軌道周期，則可完成Hohmann 交會，燃料消耗最省且只與軌道高度有關，為0.5δR。

3.2 帶有漂移段的Hohmann 最優交會

3.1 節討論了不存在漂移段時的Hohmann 最優交會，其對初始相位差和交會時間都有很強的約束，實際任務中不容易滿足。 通過讓追蹤器先自由漂移一段或追蹤器到目標點后位置保持一段時間可放松對相位角和交會時間的約束，采用帶有漂移段的Hohmann 最優交會來實現，包括只帶初始漂移段、只帶末端漂移段、初末都存在漂移3種Hohmann 最優交會模式。

1)當只存在末端漂移時，即β ＝0.75πδR，交會時間tF＞π，在t1＝0、t2＝π 分別施加水平脈沖即可完成交會任務，多出的時間tF- π 為末端漂移。 記目標器的末端相位為δθF＝β - 0.75δRtF，則滿足帶末端漂移段Hohmann 變軌的末端相位δθF與交會時間tF存在式(5)所示的直線關系：

2)只存在初始漂移時，即β ＝1.5δRtF-0.75πδR，tF＞π。 追蹤器先需要漂移tF- π 時間，在t1＝tF- π、t2＝tF時施加水平脈沖，完成帶初始漂移段的Hohmann 最優交會。 目標器的末端相位δθF與交會時間tF存在如式(6)所示直線關系：

3)如圖2 所示，夾在(5)、(6)兩式表示的直線中間的所有狀態(陰影部分)可以通過同時存在初始和末端漂移的Hohmann 交會實現燃料最優。

圖2 Hohmann 最優交會區域Fig.2 Hohmann optimal rendezvous zone

對于確定的交會時間tF和初始相位差β，目標器自由漂移直線如式(7)：

式(7)確定的直線與式(5)確定的直線的交點對應的時間tF0滿足該條件下只帶初始漂移段Hohmann 最優交會。 當tF＞tF0，則tF-tF0為末端漂移時間(已經完成交會)，這樣兩個脈沖時刻由式(8)確定：

同時可以求得兩個脈沖大小分別為ΔV1＝ΔV2＝0.25δR。

帶漂移段Hohmann 最優交會實際上是通過自由漂移獲得Hohmann 最優交會所滿足的相位和交會時間的要求，兩個脈沖之間的時間間隔為半個參考軌道的軌道周期，施加第一個脈沖時，兩航天器的相位差是固定的，即βH＝0.75πδR， 其燃料消耗都為0.5δR。

4 Hohmann 最優交會的應用范圍

下面討論在尋的過程中，交會時間為1 個參考軌道的軌道周期時，滿足Hohmann 最優交會的最大、最小軌道高度差。

目標器的末端狀態與交會時間的關系滿足式(7)，而帶末端漂移Hohmann 最優交會的直線滿足式(5)，所以要完成Hohmann 最優交會，必須β ≥0.75πδR。 直線(6)、(7)相交時，所對應的時間為實際交會時間tF， 且tF＝ (β + 0.75πδR)/(1.5δR)。 在一個軌道周期內完成交會任務，則可以推導得到β ≤2.25πδR。 記βMin＝ 0.75πδR，βMax＝ 2.25πδR，則綜合上面兩點，滿足Hohmann最優交會的初始相位差β 應滿足式(9)：

下面分析在(9)式約束下，兩航天器的軌道高度差與相對距離dre之間的關系。 如圖3，點A、C 分別為目標器和追蹤器所在的位置，兩者的相位差為β。 β 較小時，三角形ABC 可近似認為是直角三角形，而β 可近似用AB/Rc表示，有兩個航天器的高度差可以表示如式(10)：

圖3 相對運動分析Fig.3 Relative motion analysis

從式(10)進一步可以得到最大高度差、最小高度差與相對距離存在如式(11)所示線性關系：

通過式(11)可以得到給定的相對距離下，滿足帶漂移Hohmann 交會的最大最小的軌道高度改變量，且最大最小的軌道高度差與相對距離成比例關系。 表1 給出目標器的軌道高度為6710 km，滿足Hohmann 最優交會時追蹤航天器與目標航天器的最大、最小軌道高度差。

表1 滿足Hohmann 最優交會的高度差Table 1 Height Difference satisfying Hohmann Optimal Rendezvous

目標器軌道高度確定且在交會時間滿足式(10)時，對于確定的相對距離，追蹤器和目標器的軌道高度差在最大值與最小值之間，利用Hohmann 最優交會理論能完成燃料最優的交會任務。 表1 表明：尋的段利用Hohmann 最優交會理論設計制導律軌道高度有較大的適用范圍。 該波動范圍可以作為尋的段的初始條件設計的依據。

5 交會對接實施方案

實際工程中測量、導航、制導和控制等均可能存在誤差；遠距離導引段的終端與尋的段標稱位置會存在偏差；追蹤航天器和目標航天器不會是圓軌道；最主要的是在尋的段一般有相對測量敏感器，其提供的導航結果相對位置、相對速度的精度遠高于Hohmann 變軌中軌道根數的確定精度；所以采用帶漂移的Hohmann 交會策略在求解實際脈沖時會存在較大的偏差。

采用綜合帶漂移Hohmann 交會和CW 制導相結合的多脈沖制導策略。 先用帶漂移Hohmann交會策略求尋的段的初始和末端狀態、以及尋的段飛行時間；再利用帶漂移Hohmann 交會策略求第一個變軌點時間th0和最后一個變軌點時間thF；最后采用CW 多脈沖制導策略求脈沖大小，CW制導的飛行時間為thF- th0，CW 制導可以采用兩脈沖制導策略，在精度要求比較高的情況下，可以在兩脈沖制導中增加1～3 個修正脈沖。 Hohmann交會的兩個脈沖設定如式(12)：

在Hohmann 初始條件下，CW 兩脈沖制導平面內的兩個脈沖為式(13)：

式(12)～(13)中x 軸方向的分量與Hohmann最優脈沖交會中的脈沖近似表達式是一樣的。 兩個脈沖的x 方向和z 方向的分量的數量級比為ωh/(πωh2/rB)＝ rB/(πh)，約為100，其對應姿態角在0.57°左右，可以近似認為是水平脈沖。

6 仿真分析

6.1 尋的段兩種制導策略精度分析

追蹤器和目標器的軌道半徑分別為rA＝6689 km、rB＝6710 km， 目標器與追蹤器的初始相位角差為β ＝0.007371°， 滿足Hohmann 交會，交會時間為tH＝2728.6 s。 可以求得相對狀態為： x ＝49.3054 km/s，z ＝21.18172 km/s，x·＝- 36.2096 m/s，z ＝-0.26691 m/s。 CW 兩脈沖制導可以求得兩個脈沖分別為：ΔVx1＝- 6.368 m/s，ΔVz1＝0.082 m/s，ΔVx2＝- 6.0828 m/s，ΔVz2＝- 0.095 m/s。 兩個脈沖水平分量與速度方向的夾角分別為0.73779o、0.89699o，兩個脈沖基本上水平的，不需要調姿，與Hohmann 交會的計算結果相當。

6.2 尋的段多脈沖制導仿真分析

尋的段初始時刻兩個航天器的軌道設定如表2，采用半長軸a、偏心率E、軌道傾角i、升交點赤經Ω、近地點幅角ω 和真近點角f6 個軌道根數描述：

表2 兩個航天器初始軌道Table 2 Initial orbits of two spacecraft

尋的段典型的仿真曲線如圖4～5。

圖4 尋的段x-z 平面的位置曲線Fig.4 Position Curve in x-z plane for Homing

圖5 尋的段相對速度變化曲線Fig.5 Relative Velocity Curve for Homing

從上圖4～5 可以看到，采用Hohmann 最優交會和CW 制導結合的多脈沖制導策略能比較精確的把追蹤航天器導引到預定的位置上。

7 結論

本文提出了一種基于Hohmann 最優交會的尋的制導方法，確定了相對距離下滿足Hohmann最優交會時，兩個航天器最大、最小軌道高度差與相對距離成正比。 針對近距離交會特點，提出了一種CW 制導和Hohmann 最優交會模式結合的多脈沖尋的制導策略，CW 制導和Hohmann 最優脈沖交會的在制導脈沖大小、制導精度等方面基本相當。 仿真結果表明，所設計的尋的段初始條件適應范圍較大、制導方法是合理有效的、制導精度高，能把追蹤航天器高精度地導引到預定的位置，滿足任務要求。

參考文獻(References)

[1]陳長青， 解永春.最優沖量交會的研究進展[J].空間控制技術與應用， 2008， 34(6)：18-23.Chen C Q， Xie Y C.Development of optimal impulsive rendezvous[J].Aerospace Control and Application， 2008， 34(6)：18-23.(in Chinese)

[2]Prussing J E.Optimal four-impulse fixed-time rendezvous in the vicinity of a circular orbit.[J].AIAA Journal， 1969， 7(5)： 928-935.

[3]Prussing J E.Optimal two- and three-impulse fixed-time rendezvous in the vicinityof a circular orbit[J].AIAA Journal，1970， 8(7)： 1221-1228.

[4]Prussing J E.Optimal impulsive linear systems： sufficient conditions and maximum number of impulses[J].The Journal of the Astronautical Science，1995，43(2)： 195-206.

[5]Carter T， Brient J.Optimal bounded-thrust space trajectories based on linear equations[J].Journal of Optimization Theory and Applications， 1991， 70(2)： 299-317.

[6]Prussing J E， Chiu J H.Optimal multiple-impulse time-fixed rendezvous between circular orbits[J].Journal of Guidance Control and Dynamics， 1984， 9(1)： 17-22.

[7]Prussing J E， Clifton R S.Optimal multiple-impulse satellite evasive maneuvers[J].Journal of Guidance Control and Dynamics， 1994， 17(3)： 599-606.

[8]Taur D， Shan C， Coverstonecarroll V， et al.Optimal impulsive time-fixed orbital rendezvous and interception with path constraints[J].Journal of Guidance Control and Dynamics，1995， 18(1)： 54-60.

[9]陳長青， 解永春.一類橢圓軌道交會中的動力學方程研究[J].航天控制， 2008， 26(5)：12-17.Chen C Q，Xie Y C.Dynamical equations for a kind of elliptic orbit rendezvous[J].Aerospace Control， 2008， 26(5)：12-17.(in Chinese)

[10]齊映紅， 曹喜濱.三脈沖最優交會問題的解法[J].吉林大學學報(工學版)， 2006， 36(4)：608-612.Qi Y H， Cao X B.Solution for optimal 3-impulse rendezvous problem[J].Journal of Jilin University(Engineering and Technology Edition)， 2006， 36(4)：608-612.(in Chinese)

[11]Chen C Q，Xie Y C.Optimal impulsive ellipse-to-circle coplanar rendezvous[J].Science China-technological Sciences，2009， 52(5)： 1435-1445.

[12]胡軍， 解永春， 張昊， 等.神舟八號飛船交會對接制導、導航與控制系統及其飛行結果評價[J].空間控制技術與應用， 2011， 37(6)： 1-5， 13.Hu J， Xie Y C， Zhang H， et al.Shenzhou-8 spacecraft guidance navigation and control system and flight result evaluation for rendezvous and docking [J].Aerospace Control and Application， 2011， 37(6)： 1-5， 13.(in Chinese)