面向在軌服務任務的氣囊型軟體機械臂運動學建模與分析

劉紅衛，張 翔，2，黃奕勇，陳小前

(1.軍事科學院國防科技創新研究院，北京100071； 2.國防科技大學空天科學學院，長沙410073)

1 引言

隨著在軌服務技術自主化、智能化程度的不斷提高，在軌加注、模塊更換、在軌組裝、在軌維修等空間操作對機械臂的需求日益增加，需要機械臂更加靈巧、智能，適應空間高動態、復雜、非結構環境。 日本工程試驗衛星-7(Engineering Test Satellite VII，ETS-VII)是世界上首個裝有機械臂的衛星系統，機械臂長2 m，具有六自由度、驗證衛星模塊更換、在軌桁架組裝、裝配試驗天線等技術[1]。 德國DEOS 在軌服務任務使用機械臂抓捕非合作翻滾目標，在預定的再入走廊使捕獲衛星離軌[2-3]。 2014 年，美國啟動了Restore-L 項目，驗證低軌合作和非合作目標在軌燃料加注技術，計劃2020 年發射，與目標衛星LandSat-7 開展交會對接，使用機械臂完成燃料加注操作[4-5]。 美國DARPA 開展了“地球同步衛星機器人服務(Robotic Servicing of Geosynchronous Satellites，RSGS)”項目，RSGS 飛行器上裝有兩個機械臂，可以與航天器實現交會對接，預計2021 年發射，開展在軌組裝、維修、檢查、改變位置、燃料加注等空間操作[6]。 這些任務的機械臂采用剛性連接，利用剛性桿和活動關節實現多自由度空間運動。

近年來，不同研究機構開展了基于電活性聚合物、形狀記憶合金、氣動人工肌肉、流體、水凝膠等材料的軟體機械臂研究，在未來在軌服務方面顯示出了廣闊的應用前景，成為機械臂研究領域的熱點方向[7]。 相比于傳統的剛性連接機械臂，軟體機械臂具有質量輕、自由度多、可實現大范圍變形、對空間非結構環境適應能力強、安全柔性接觸等優勢[8]。 德國Festo 公司研制了仿象鼻機械臂，由多個中空的柔性密閉管道組成，通過在管道中施加不同的氣壓來控制機械臂運動[9]。 Qi 等[10]研究了多關節充氣機械臂的動力學建模與控制問題，該軟體機械臂重量為50 g，通過充氣控制機械臂運動，可與人體安全接觸。 此外，不同學者研究了軟體抓手、類章魚臂、類蠕蟲、軟體魚、類蛇體等形態的軟體機器人[7，11]。 張翔等[12]針對未來在軌服務任務需求，提出了基于波紋管串并聯方式的軟體機械臂方案，如圖1(a)所示[12]。 每個波紋管單獨充氣控制，通過氣壓變化帶動波紋管伸縮。 3 個波紋管并聯形成一節軟體驅動器，波紋管中不同的氣壓組合對應軟體驅動器不同的空間位置。 3 節軟體驅動器串聯并增加末端軟體抓手，構成軟體機械臂，可實現多冗余自由度的大范圍運動和目標抓取，在空間在軌服務方面具有重要的應用前景，圖1(b)是設計并搭建的軟體機械臂地面樣機。

圖1 軟體機械臂Fig.1 The soft manipulator

與傳統剛性連接的機械臂不同，軟體機械臂運動學建模復雜，需要在考慮軟體材料力學行為的基礎上，結合軟體結構特征、本構關系以及約束條件建立運動學模型。 本文針對上述氣囊型軟體機械臂方案，開展高精度運動學建模與仿真分析，以期為后續軟體機械臂控制提供模型基礎。

2 氣囊型軟體機械臂建模

2.1 問題描述

軟體機械臂由3 節軟體驅動器串聯組成(見圖1)，每節驅動器由3 個對稱布置的波紋管并聯組成，其橫截面如圖2 所示。 驅動器與驅動器之間采用剛性約束框連接，每節驅動器內并聯的波紋管也是由一系列剛性約束框連接。 在機械臂運動過程中，剛性約束框始終保持整體的空間指向，不會發生彎曲變形。 在相鄰兩個剛性約束框之間，由軟體材料構成的氣囊可以伸縮或彎曲。 每個波紋管采用單獨的氣壓控制，通過控制不同的氣壓組合實現機械臂復雜的空間運動。 下面建立波紋管輸入氣壓與軟體機械臂末端運動之間的運動學關系。

圖2 并聯波紋管的橫截面Fig.2 The cross section of parallel bellows

2.2 無剛性約束框的單節軟體驅動器模型

為便于建模，首先考慮無剛性約束框下的單節軟體驅動器運動學建模問題，如圖3 所示。 3個波紋管A、B、C 對稱并聯，相鄰兩個波紋管中心之間的水平距離均為a， 下端固定，上端由剛性框連接，保證3 個波紋管上端面具有相同的空間指向。 除上下端面外，波紋管之間不存在約束和連接。 在無充氣狀態下，3 個波紋管的長度均為L0。

圖3 無剛性約束框的單節軟體驅動器Fig.3 A single soft driver without the rigid frame

當波紋管充氣時，僅考慮沿波紋管軸向的伸長變化，不考慮沿徑向的變化。 設3 個波紋管的彈性系數為k， 輸入氣壓分別為P1、P2、P3， 每個波紋管伸長產生的彈力分別為F1、F2、F3，伸長量分別為ΔL1、ΔL2、ΔL3，在彈性變形假設下有平衡關系如式(1)：

其中，S 是波紋管內部的橫截面積。 如果不存在上端剛性框，3 個波紋管的長度如式(2)所示：

上端剛性約束框的力學效果有兩個：①使3個波紋管上端A、B、C3 點仍然構成等邊三角形，邊長為a；②使3 個波紋管上端面法向具有相同的空間指向。 以固定端平面為xy 平面，建立直角坐標系，如圖4 所示。 A0、B0、C0分別為3 個波紋管的固定端，3 點構成等邊三角形，邊長為a。 以B0點為坐標原點，x 軸垂直于A0C0向下，y 軸水平向右，z 軸垂直于紙面向外，構成右手直角坐標系。 在該坐標系中，A0、B0、C0的坐標如式(3)所示：

圖4 直角坐標系Fig.4 Cartesian coordinate system

在未充氣狀態下，3 個波紋管上端點A、B、C的坐標分別為 A：設上端剛性框對3 個波紋管的作用力分別為R1、R2、R3，其方向位于約束框平面內。 在R1、R2、R3的作用下，3 個波紋管上端產生的撓度如式(4)所示：

其中，E 為彈性模量，I 為慣性矩，EI 為彎曲剛度，S′為波紋管壁的橫截面積，即承受軸向拉壓的有效面積。 對于外半徑為R、內半徑為r 的圓環截面，其慣性矩如式(5)所示：

在R1、R2、R3的作用下，3 個波紋管上端產生的轉角如式(6)所示：

3 個波紋管上端點A、B、C 具有相同的法向指向，意味著這些波紋管上端面具有相同的轉角，即θ1＝θ2＝θ3，從而得到式(7)：

A、B、C 具有相同的法向指向也意味著，具有撓度的3 個波紋管在xy 平面內的投影方向平行。設從x 軸起算沿逆時針到投影的角度為α，則充氣后3 個波紋管上端點坐標如式(8)所示：

根據約束條件A′B′＝B′C′＝C′A′＝a，得到式(9)～(11)：

方程(7)和(9)～(11)共5 個方程，需要求解的未知數有4 個，分別為R1、R2、R3、α， 可以驗證這5 個方程中冗余度為1，即有一個方程是多余的。 為便于表示，設式(12)：

聯立方程(7)和(9)～(11)，得到角度α 如式(13)：

角度α 取值范圍如式(14)所示：

同時，根據方程(7)和(9)～(11)，得到W 如式(15)～(16)：

1)當ΔL1≠ΔL3時：

2)當ΔL1＝ΔL3≠ΔL2時：

根W 中包含2 個正數解，取其較小者為方程的實際解，它對應較小的撓度。

根據式(2)，由3 個波紋管的輸入氣壓P1～P3，得到波紋管伸長后的長度L1～ L3。 由上述方程(13)～(16)可以得到R1、R2、R3、α， 然后由式(4)得到3 個波紋管的撓度v1～ v3，進而由式(8)計算得到波紋管上端A′、B′、C′ 的空間位置，這樣就建立了從波紋管輸入氣壓P1～ P3到波紋管上端A′、B′、C′位移之間的數學關系。

2.3 帶剛性約束框的單節軟體驅動器運動學模型

對于帶有剛性約束框的單節軟體驅動器，仍然是由3 個波紋管對稱并聯組成，但是沿波紋管長度方向均勻布置了N 個剛性約束框，保證該位置處的3 個波紋管中心點組成邊長為a 的等邊三角形。 N 個剛性約束框將波紋管劃分為等距離的各個小段，這些小段是完全相同的，具有相同的輸入氣壓。

從固定端開始，自下而上考慮波紋管每一小節在剛性約束框下的力學行為。 由對稱性可知，每一小節相對其底端剛性約束框的運動軌跡均是相同的。 不妨考慮建立在固定端和第一個剛性約束框上的直角坐標系。 與圖4 中直角坐標系建立規則相同，分別取B0、B1為原點，原點指向三角形對邊中點的方向為x 軸，取固定端和剛性約束框平面為xy 平面，x 軸逆時針轉動90°為y 軸， xyz構成右手直角坐標系，如圖5 所示。

圖5 相鄰兩個面上的直角坐標系Fig.5 Cartesian coordinate system on two adjacent faces

在圖5 中，固定端平面和剛性約束框平面之間存在一段波紋管，設波紋管的彎曲方向為α，末端彎曲角度為θ，則由x0y0z0到x1y1z1的旋轉矩陣為H，轉換過程如式(17)所示：

考慮到x0y0z0和x1y1z1坐標系的原點不重合，因而式(17)需要調整為式(18)所示形式：

其中，rB0B1是在x0y0z0坐標系中表示的由B0到B1的矢量。 假設帶剛性約束框的單節軟體驅動器末端中心在其剛性約束框坐標系中的坐標為r*，該軟體驅動器共有N 節，則r*在固定端坐標系x0y0z0中的坐標表示為式(19)：

2.4 帶剛性約束框的多節軟體驅動器串聯模型

以3 節帶有剛性約束框的軟體驅動器串聯為例，建立軟體機械臂的運動學模型。 串聯部位采用剛性約束，約束部件厚度分別為T1-2、T2-3。 設3 節軟體驅動器中的波紋管外半徑分別為rout，1、rout，2、rout，3， 內半徑分別為rin，1、rin，2、rin，3，單節波紋管的原始長度分別為L0，1、L0，2、L0，3，彈性系數分別為k1、k2、k3， 相鄰兩個波紋管中心之間的水平距離分別為a1、a2、a3。 第1節軟體驅動器中3 個波紋管施加的氣壓分別為P11、P12、P13，第2 節中3 個波紋管施加的氣壓分別為P21、P22、P23， 第3 節中3 個波紋管施加的氣壓分別為P31、P32、P33， 3 個軟體驅動器的節數分別為N1、N2、N3。

根據2.3 節模型，計算得到每節軟體驅動器中各段相對底部坐標系的三維坐標，其中3 節軟體驅動器底部坐標系分別為x01y01z01、x02y02z02、x03y03z03。 已知第2 節軟體驅動器上各段在x02y02z02坐標系上的坐標表示為r*2 ， 將其轉換到x01y01z01坐標系中，得到式(20)：

其中，H1＝H1(α1，θ1)， (rB0B1)1括號外面的下標1表示是在第一節軟體驅動器中計算得到的。同理，得到第3 節軟體驅動器上的坐標轉換到x02y02z02上的坐標如式(21)：

其中，H2＝H2(α2，θ2)， (rB0B1)2括號外面的下標2 表示是在第2 個軟體驅動器中計算得到的。 這樣，根據式(20)和(21)，得到了帶有剛性約束框的3 節軟體驅動器串聯后末端中心位移與波紋管輸入氣壓之間的關系，從而建立了氣囊型軟體機械臂的運動學模型。

3 仿真與分析

3.1 仿真驗證

在典型的軟體機械臂系統參數下，進行機械臂末端運動仿真分析。 設整個氣囊型軟體機械臂由3 節軟體驅動器組成，每節驅動器的節點數分別為16、16、16，第1、2 節軟體驅動器剛性連接的厚度為20.4 mm，第2、3 節軟體驅動器剛性連接的厚度也為20.4 mm。 取3 節驅動器中波紋管的物性參數相同，分別是波紋管外半徑26.2 mm、內半徑25 mm、單段波紋管未充氣時原始長度19.125 mm、單段波紋管彈性系數2.0×104N/m，兩個波紋管中心點的距離為75 mm。 在上述機械臂物性參數設置下，給出機械臂在氣壓輸入下的運動仿真算例。設第1 節軟體驅動器中3 個波紋管的輸入壓力變化范圍分別為(0.0～2.0)×105Pa、(0.0～2.0)×105Pa、(0.0～0.0)×105Pa，第2 節軟體驅動器中3 個波紋管的輸入壓力變化范圍分別為(0.0～0.0)×105Pa、(0.0～0.0)×105Pa、(0.0～2.0)×105Pa，第3 節軟體驅動器中3 個波紋管的輸入壓力變化范圍分別為(0.0～2.0)×105Pa、(0.0～2.0)×105Pa、(0.0～0.0)×105Pa。 在氣壓初始狀態和末狀態之間按照線性關系取10 個點，形成時間序列。 計算得到在該時間序列下的軟體機械臂運動軌跡，如圖6～9所示。 其中，圓圈代表機械臂上各個質量點，紅色部分表示第1 節驅動器，其底端固定，藍色部分表示第2 節驅動器，黑色部分表示第3 節驅動器，其末端處于自由狀態。 可見，相對于傳統剛性連接機械臂，軟體機械臂運動更加靈活，通過多冗余自由度設計可以實現對復雜非規則、非結構環境的適應。

圖6 軟體機械臂各點運動軌跡(三維視圖)Fig.6 The motion of each point on the soft manipulator (3D view)

圖7 軟體機械臂各點運動軌跡(XY 視圖)Fig.7 The motion of each point on the soft manipulator (XY view)

圖8 軟體機械臂各點運動軌跡(XZ 視圖)Fig.8 The motion of each point on the soft manipulator (XZ view)

圖9 軟體機械臂各點運動軌跡(YZ 視圖)Fig.9 The motion of each point on the soft manipulator (YZ view)

圖10 氣囊型軟體機械臂末端點的運動包絡Fig.10 The motion envelope of the end point of the soft inflatable manipulator

3.2 機械臂末端運動包絡分析

下面給出軟體機械臂末端的運動包絡。 軟體機械臂的物性參數在3.1 節給出，波紋管壓力的變化范圍為(0.0～1.1)×105Pa。 軟體機械臂中波紋管的彈性系數決定了機械臂末端運動范圍。 在軟體機械臂其他物性參數不變的情況下，單獨改變波紋管的彈性系數，使其在5×103～5×104N/m 范圍內變化，那么利用第2 節建立的機械臂模型可以得到機械臂末端運動包絡，如圖10 所示。

由圖10 可知，軟體機械臂末端運動包絡呈現出如下特征：

1)軟體機械臂末端運動包絡的尺寸與機械臂彈性系數有關，彈性系數越大，則其剛度越大，末端運動范圍越小；反之，末端運動范圍越大；

2)軟體機械臂末端運動包絡的形狀與彈性系數、波紋管布局有關。 當彈性系數較大時(大于4×104N/m)，運動包絡的形狀明顯受波紋管并聯方式的影響，運動包絡在xy 平面的投影呈正六邊形，這是由3 個波紋管對稱并聯形成軟體驅動器的設計布局決定的；當彈性系數進一步降低時(1×104～3×104N/m)，彈性系數與波紋管布局對機械臂末端包絡的影響基本相同，運動包絡呈現各向同性的形狀特征；當彈性系數降低到足夠小時(小于1×104N/m)，機械臂末端運動包絡也明顯受到波紋管布局方式的影響，呈現出規則的空間多面體結構。

軟體機械臂末端運動包絡的尺寸和形狀特征分析對機械臂設計具有重要的參考價值。

4 結論

1)本文提出的氣囊型軟體機械臂采用了3節波紋管對稱并聯形成軟體驅動器、3 段軟體驅動器串聯形成機械臂的實現方案，自由度為9，通過獨立控制各個波紋管內的壓力實現機械臂復雜空間運動。

2)基于波紋管局部伸縮變形的線彈性假設和彎曲變形的彈性梁假設，可以推導構建機械臂運動學模型，用來描述波紋管氣壓輸入與機械臂運動之間的關系。

3)運動學仿真計算表明，相對于傳統剛性連接機械臂，軟體機械臂運動更加靈活，具有大范圍彎曲變形、適應復雜非結構環境的運動優勢。

4)軟體機械臂末端運動包絡分析表明，包絡尺寸與波紋管彈性系數有關，彈性系數越大，包絡范圍越?。话j形狀與波紋管布局、波紋管彈性系數有關，彈性系數在1×104～3×104N/m 范圍時，包絡形狀基本呈各向同性，彈性系數過大或過小時包絡形狀呈現為與波紋管布局相關的規則幾何體。

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