依托函數的概念，拓展與應用兩個重要極限公式

殷玫

摘要：極限是微積分的基石，兩個重要極限公式是極限運算的重點和難點，又是基本初等函數導數公式導出的理論依據。教師在教學實踐中發現，學生運用兩個重要極限公式的過程中，發生了認識上的誤區和使用上的困難。因此，在教學上通過具體的實例，引導學生分析錯誤所在及尋找解決問題的對策：從函數的兩要素出發，采用“先滿足公式的形式，然后再平衡”的原則，幫助學生解決極限中遇到的困難。

關鍵詞：拓展;應用;兩個重要極限公式

Abstract：Limit is the foundation of differential calculus.Two important limit formulas are key and difficult points of limit calculus.They are also the theoretical basis for the derivation of the basic derivative formula of elementary functions.In the teaching practice，the teachers find that the students have some misunderstandings and difficulties in using the two important limit formulas.Therefore，through concrete examples in teaching，the students are guided to analyze where the mistakes are and how to solve the problems：starting from the two elements of the function，The principle of"Satisfy the formula first and then balancing it"is adopted to help students solve the difficulties encountered in the limit.

Key words：expansion;application;two important limit formulas.

高等數學微積分知識的學習，都是圍繞著函數的概念展開而進行的學習。因此，函數概念應該貫穿在微積分各知識點的教學過程之中。函數的連續性、函數的可導向性、函數的可積性都是由函數的極限來定義的，作為函數極限的兩個重要極限公式，毋庸置疑，在微積分知識的學習中占有重要的地位。

一、對兩個重要極限公式的認識

1.極限是微積分的基石。微分運算實際上就是導數運算，積分運算是導數的逆運算，而導數是由極限來定義的。因此，極限是微積分的基石。兩個重要極限公式，它是導出微積分的導數公式的理論依據。由公式

可以直接推導出三角函數和反三角函數求導公式。由公式

可以推導出對數函數、指數函數、冪函數的導數公式。這樣，就可以推導出基本初等函數的十六個導數公式。

2.學生認識上的誤區。公式

在運用時，學生時常會出現：只注重公式的外表即函數表達式，沒有重視其“內涵”即自變量的變化趨勢，從而造成公式使用錯誤;機械的背公式，缺乏對其正確理解，錯誤的認為在公式使用時，只是在自變量趨于零時方可使用。出現兩個認識上的誤區：

（1）公式的運用中，自變量x只能是趨于零。

（2）函數表達式只要滿足公式形式，不論自變量x是在什么變化過程中，其極限的值都是1。

公式

在運用時;（1）學生對函數表達式化為公式形式感到困難。（2）對自變量的變化過程不能靈活的變換，比較教條。因此，教師在這兩個重要極限公式的教學時，既要重視公式的外表，即“對應法則”，又要重視公式的“內涵”，即自變量變化過程。也就是說兩重要極限公式的運用，關鍵要抓住函數的兩要素。而函數的二要素學生比較熟悉而且容易掌握，于是，在此尋找突破口，突破難點，突出重點。這樣，幫助學生在學習遇到困難時，要學會化繁為易的數學思想和方法，讓學生在輕松的學習情緒下去探索和研究數學知識。

二、依托函數概念，拓展與應用兩個重要極限公式

針對學生出現認識上的誤區，教師在教學時必須采取有效措施，消除學生在學習上錯誤認識。眾所周知，事實勝于雄辯。我們可以通過具體的實例來剖析問題所在，并且尋找解決問題的對策。

1.公式

的拓展與應用

例1.求下列函數的極限

解：（1）令t=x-a，則當x→a時，t→0

原式

（2）令t =

，則當x→∞時，t→0

原式

在此引導學生觀察其兩個函數極限的特征：

兩題目中自變量x的變化趨勢都不是公式中的x→0，它說明了運用公式時，自變量x的變化趨勢，既可以是x→a，也可以x→∞。

（2）觀察函數表達式的特征，即函數對應法則的特征，可以描述為

。

由此可知，重要公式

只要從函數的二要素：對應法則、定義域下的自變量的變化過程這兩個方面，去檢索并驗證。同時，公式可以推廣為

（1）形式。

如何正確的理解和靈活的運用拓展后的公式呢？

由函數的概念，我們知道，函數有兩要素：定義域和對應法則。

當定義域和對應法則一旦確定，函數的性質就隨之確定了。因此重要極限公式（1）的正確運用，其關鍵要看自變量的變化過程和對應法則是否滿足公式的條件：

1）定義域下自變量的變化過程：不論自變量x是在什么過程中變化，必須保證φ（x）→0（即φ（x）是無窮小量）。這樣，避免討論自變量的各種變化過程，以達到了化繁為易的目的，并且快速掌握運用公式的要點，減輕了學生學習的負擔。