高中數學數列解題中需要具備的幾種數學思想

蔡艷

在有關數列問題的解題過程中，教師要引導學生運用數學思想方法.學生只有能夠根據習題的特征、需求、性質找到適合解決習題的數學思想，才能又快又準地將解決問題.

一、歸納總結數列公式，完成數列的計算

對于一道數列問題，其給出了一組數，卻沒有明確這組數是不是數列，或者給出了一組數列，卻沒有說明這組數具體是什么數列.給出了數或數列以后，便要求學生完成數或數列的計算，對這種問題，學生往往不知從何處入手.在做這樣的習題時，教師要引導學生學會歸納總結問題的特征，分析出這組數或數列屬于哪種數列，然后應用相應的公式來解題.

例1 求數列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…的前n項的和.

該題給出了一個數列，并給出了一個這個數列的首項，但沒有說明它是怎樣的數列.如果學生要計算前n項的和，就要根據數列中數與數的變化規律，分析它是怎樣的數列，并且分析出它的公差或公比.通過觀察這組數列的變化，可以發現題目要求的是自然數的奇數和.在這組數據的前n項中，共有1+2+…+n=12n（n+1）個奇數，依此公式可知最后一個奇數為12n（n+1）×2-1=n2+n-1.該數列前n項和可以看作首項為1，末項為n2+n-1，公差為2的等差數列的和.應用等差數列求前n項和的公式來計算，得Sn=14n2（n+1）2.

二、應用數列的函數性質，分析數列問題的極值

對于一道數列問題，其給出了首項及第n項，要求求出數列前多少項之和最大，并求出最大值.解這類問題時，教師要引導學生了解，數列是一種特殊的函數，具有函數的性質，因此可以應用求函數極值的思想來分析數列問題.

三、應用數列的圖像性質，分析數列的數學關系

有一些數列習題，它沒有明確給出數列的每一項，只是給出了每項之間的抽象的數學關系，然后要求根據這些數學關系來分析另外的項的數學關系.因為這類習題沒有給出具體的數字，所以通常難以應用數列公式解答.此時，教師要讓學生意識到，既然數列擁有函數的性質，函數有圖象性質，那么這意味著數列也有圖象性質.學生可以依照文本描述的數學關系來畫函數圖象，然后在函數圖象中分析數學關系.

對于這道題，學生難以直接應用數列公式來判斷項與項之間的關系.為了明晰數列項與項之間的關系，可以繪制函數圖象（如圖1）.根據已知條件，繪制出粗略的函數圖象，由S5S8構成的函數圖象可知，Sn的圖像是一個開口向下的拋物線.視等差數列前n項和公式為函數，Sn為函數因變量，n為函數自變量，由圖1可知d<0，a7=0，S9

教師要通過習題教學，引導學生在學習數列知識時，讓學生掌握歸納思想、函數思想、數列思想這三種數學思想的應用方法.教師開展這樣的教學活動，一方面，能讓學生熟悉數學思想的適用特征及應用的方法;另一方面，可引導學生應用數學思想解決各種數列問題.