由磁矩計算磁場強度

張新邦,陳德祥,王東盛

(北京控制工程研究所,北京100190)

0 引言

磁學中磁矩的模型有偶極子模型和電流環模型[1]，各模型有自已經典的計算周圍磁場強度的方法，但計算復雜，不易使用和推廣，所以推導一個統一簡單有效的由磁矩計算磁場強度的解析表達式是有意義的。

通過對磁矩的2種模型進行推導可得到簡單的磁場強度計算公式，這有利于對磁矩周圍磁場強度的分析理解和計算。同時如果已知磁矩位置、測點位置和測點的磁場強度，根據表達式可以反推出磁矩的值。

1 由磁矩計算磁場強度公式

物體磁性能的大小可用磁矩來描述，由磁矩可計算出空間某點Q的磁場強度，當物體(磁矩載體)的尺寸相對到點Q的距離是小量，則Q點的磁場強度可以用簡單的公式來表達。

圖1 由磁矩求磁場強度示意圖Fig.1 Schematic diagram of calculatingmagnetic field intensity bymagnetic moment

設磁矩m位于坐標系原點O，方向與x軸相同。點Q在xy平面內，用R代表矢量m與R之間的夾角為θ。在Q點由m貢獻的磁場強度為H，H的徑向分量為Hr，切向分量為Ht，如圖1所示。R與m分別為R與m的模。

當磁矩的物理尺寸相對于R是一個小量時，即如果由通電螺旋線圈或磁棒產生的磁矩，要求螺旋線圈或磁棒的長度相對于R是小量；如果由電流環產生的磁矩，電流環的直徑相對于R是小量，則有：

式中：Hr和Ht是磁場強度H的徑向和切向分量，A·m-1；m為磁矩，A·m2；R為距離，m。 當介質為空氣時，Q點的磁感應強度為

式中：μ0為真空磁導率，μ0=4π ×10-7H/m；B 為磁感應強度，T。如取B的單位為nT，則有

當θ=0時有

上面公式說明磁場強度反比于距離的立方，所以可簡稱為反立方公式。

2 公式推導

2.1 由偶極子組成磁矩

偶極子中心位于坐標原點O，磁極強度為p，極間距離AB為l，如圖2所示，則磁矩m=pl，方向與x軸相同。在xy平面內有Q點，坐標為(x，y，0)，若Q點不在xy平面內，則適當轉動x軸即可。

圖2 由偶極子組成磁矩Fig.2 Magnetic moment com posed by dipole

根據由磁極計算磁場的公式，Q點的磁場強度H為

設R=OQ，R與x軸的夾角為θ，根據三角公式有

設圖2所示的坐標系是r坐標系，將r坐標系繞z軸(即繞O點順時針)轉角度θ，得到新的s坐標系，轉換矩陣為A，有

在s坐標系內，Q點磁場強度表示為H(s)，有

s坐標系內x軸用xs表示，y軸用ys表示，有xs與Hr同方向，ys與Ht同方向。所以式(4)和式(1)是相同的。

2.2 由電流環組成磁矩

在坐標系O-XYZ內，有正方形電流環ABCD在yz平面內。(由于磁矩正比于電流環面積，與環的形狀無關，為計算方便，設電流環為正方形。)電流環中心在坐標系原點O(見圖3)，電流環的電流強度為i，電流環邊長l，則磁矩m=il2，磁矩方向與x軸相同。Q點在xy平面內，坐標為(x，y，0)。

若Q點不在xy平面內，則適當轉動x軸后即可。E、F、G、H分別為正方形四個邊長的中心。

圖3 由電流環組成磁矩Fig.3 Magnetic moment com posed by current loop

先分析導線AB在Q點產生的場強HAB。

在導線AB上取一導線元dl，其矢量為dl，設此導線元到Q點的矢量為r，模為r，設矢量RE與r的夾角為α，根據畢奧-薩伐爾定律在Q點由dl貢獻的磁場強度dHAB為

為討論方便，將圖3內導線AB和Q點等單獨顯示如圖4所示，有，于是有

式中β是RE與直線BQ的夾角。

圖4 載流導線AB產生的磁場Fig.4 Magnetic field generated by current carrying Wire AB

根據式(5)可以得到下面方程，并為方便對電流環其他邊的討論，方程寫成如下形式：

于是Q點的磁場強度H為

H=HAB+HBC+HCD+HDA

設H的3個分量為Hx、Hy、Hz，于是

設圖3所示是r坐標系，將r坐標系繞z軸轉θ角，得到新的s坐標系，轉換矩陣為A，在s坐標系內Q點的磁場強度值表示為H(s)，則有

s坐標系內的x軸用xs表示，y軸用ys表示，有xs與Hr同方向，ys與Ht同方向。所以公式(6)和公式(1)的內容是一樣的。

應當指出，上面的推導方法不佳，十分繁雜。許多教科書內有相似內容[2-3]，其推導過程簡潔而優美，但需要有場論知識。但教科書內推導結果的表達方式不佳，其推導的目的只是證明在遠距離情況下，偶極子和電流環的貢獻完全一樣。本文將2個結果綜合，提出了由磁矩計算磁場的表達式，這是由物體的與磁有關物理量直接計算磁場的第3個公式，前2個分別是畢奧-薩伐爾定律和磁極公式。

3 公式應用分析

前面提到應用公式的條件是物體(磁矩載體)的尺寸相對于到測點的距離是小量，下面對此作進一步分析。

3.1 公式應用條件

下面分析這小量的具體概念。

圖5 公式應用的條件分析Fig.5 Conditional analysis of formula application

以圖5為例，有通電螺旋線圈AB的中心位于坐標原點，線圈的磁矩為m，線圈長度為l，有Q點位于y軸，坐標為(0，y，0)。

當m=20 A·m2，l=1 m，y取不同數值，分別應用反立方公式和偶極子公式得到Q點的磁感應強度數據，由于數據的y、z分量都為0，所以只選用x軸分量，見表1。

由表1看出：當距離是磁棒長度2倍時誤差在10%以內，3倍時誤差在5%以內，6倍時誤差約為1%，所以可按照實際情況，當距離是磁棒長度的3～6倍時可以應用反立方公式。

表1 反立方公式和偶極子公式數據比較Table 1 Data com parison of inverse cubic formula and dipole formula

3.2 近距離時如何應用公式

設物體是均勻磁化，物體磁矩為m，體積為V，單位體積的磁矩為M，(M又稱為磁化強度，M=m/V)，將物體劃分成眾多的小單元，每個單元的體積d V，每個單元的磁矩為d m=M d V。由于每個單元的尺寸比較小，相比于測點的距離是小量，可以應用反立方公式，將所有單元的計算結果求和即得到需要的結果。這種將物體劃分成眾多小單元磁矩的方法稱為磁矩陳列模型法。

以上面的圖5為例，當y=0.5 m時，由于距離太近不合適使用反立方公式。參考磁矩陣列模型法，將螺旋線圈沿長度方向分成多個(如100個)等長的小單元，則每單元的長度d l=0.01 m，每單元的磁矩d m=0.2 A·m2，對于每一單元可以應用反立方公式，再將結果相加可以得到Q點的磁場強度。計算結果發現和應用偶極子模型的計算結果幾乎完全一樣(誤差小于0.001%)。所以正確應用磁矩陳列法，結果是足夠精確的。

3.3 公式應用分析

文獻[4-5]論述了艦船磁場的特性、磁場測量、磁場推算等內容。文獻[6-8]重點對潛艇磁場數學模型和磁場測量方法進行論述。以上的論述分析中都沒有用到磁矩作為研究工具。本文提出了由磁矩計算磁場強度的反立方公式，以及近距離應用所需要的磁矩陣列法，這樣就產生了新的基于磁矩的艦船磁場計算分析方法，對海洋中艦船磁場的研究有重要的意義。

4 結束語

1)傳統的應用偶極子和電流環模型計算磁場強度的方法不便于實際應用，提出應用磁矩計算磁場強度的反立方公式，有利于磁場的分析和計算。

2)以反立方公式為基礎，提出磁矩陣列模型法，滿足了近距離計算的要求。

3)公式說明磁場強度與距離的立方成反比，隨著距離的增加，場強快速衰減，物體磁性的細微特征很快消失，即使如長度l遠遠大于寬度d這樣的粗大特征，在距離大于3l～6l時可以忽略，僅剩下磁矩是主角。這對于估計計算艦船潛艇等周圍的場強分布是有意義的。