微分中值定理的應(yīng)用小結(jié)

鄧劭 岳曉蕊

摘 要：微分中值定理在數(shù)學問題的研究中具有重要的作用，是聯(lián)系函數(shù)與導數(shù)的橋梁。文章主要討論了微分中值定理在不等式證明，單調(diào)性討論，根的存在性，以及利用中值定理證明函數(shù)一致連續(xù)性等9個方面的應(yīng)用，以提升對微分中值定理的理解。

關(guān)鍵詞：微分中值定理；構(gòu)造函數(shù)法；應(yīng)用

中圖分類號：O172 文獻標志碼：A 文章編號：2095-2945（2019）20-0184-03

Abstract： Differential mean value theorem plays an important role in the study of mathematical problems and is the bridge between function and derivative. This paper mainly discusses the application of differential mean value theorem in the proof of inequality， the discussion of monotonicity， the existence of root， and the proof of uniform continuity of function by using mean value theorem in order to improve the understanding of differential mean value theorem.

Keywords： differential mean value theorem； construction function method； application

引言

微分中值定理包括了羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理，其中每個定理之間環(huán)環(huán)相扣[1]，分別從宏觀和微觀的角度揭示了函數(shù)在區(qū)間里以及某一點上的關(guān)系，是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，具有巨大的理論意義和應(yīng)用價值。

中值定理及其推廣和變換形式具體見參考文獻[2]，本文旨在總結(jié)微分中值定理在常見的幾個函數(shù)證明類問題的應(yīng)用，不再復述定理具體內(nèi)容。通過含有中值點問題，不等式和等式的證明，根的存在性，判斷級數(shù)收斂問題，函數(shù)一致連續(xù)性，求極限和估值計算，以及函數(shù)單調(diào)性9個方面進行對微分中值定理的應(yīng)用總結(jié)。其中主要利用構(gòu)造函數(shù)和構(gòu)造符合中值定理形式的方法巧妙的將微分中值定理應(yīng)用于證明之中，將某些不顯含中值定理形式的題目，通過區(qū)間條件和取值范圍來構(gòu)造特殊形式從而進行推理證明。

1 微分中值定理的應(yīng)用

1.1 證明含有中值點的問題

針對這類問題主要在于利用對應(yīng)的微分中值定理找到符合題目要求的中值點，常用的中值定理主要是拉格朗日中值定理，以及利用構(gòu)造函數(shù)的方法來求解相關(guān)問題[3]。

1.3 證明相關(guān)的等式

對于一些特定的等式，可以利用到微分中值定理去求解，特別是涉及到在某個區(qū)間導數(shù)與點的關(guān)系時，下面通過這個例題來進一步了解。

1.4 證明根的存在性

除了常見的一元二次方程的根存在性問題，還有一些有關(guān)復雜的方程的根的問題，對于這些問題，我們通常可以考慮用微分中值定理去進行分析，通常可以用到羅爾中值定理去進行判斷根的存在性，同時要注意函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性、可導性問題[4]。

1.5 利用中值定理求函數(shù)的極限

對于一些求極限問題，有些時候使用洛必達法則或者進行形式的變換，難免存在計算過于復雜或者難以求解的情況，此時可以考慮通過中值定理去進行構(gòu)造函數(shù)或者直接進行分析求解，下面通過這個例題來了解一下。

1.6 利用中值定理證明函數(shù)一致連續(xù)

對于函數(shù)一致連續(xù)性的證明我們通常根據(jù)定義來進行證明，尋找滿足條件的？啄，使得對？坌？著>0，|x1-x2|<？啄時，函數(shù)一致連續(xù)，其中在形式上與中值定理相似，所有的時候可以考慮使用中值定理去進行證明，請看下面的例子。

1.8 證明級數(shù)收斂問題

證明級數(shù)收斂問題主要是通過收斂的判定條件去進行證明，而在利用判定條件的過程中，我們可以通過構(gòu)造函數(shù)去進行判斷，而其中就能用到拉格朗日中值定理，比如下面這道關(guān)于調(diào)和級數(shù)的證明。

利用拉格朗日中值定理可以較好的進行判斷，但是過程中要確定拉格朗日中值定理使用的前提條件，在區(qū)間上連續(xù)，區(qū)間內(nèi)可導，再進行判斷函數(shù)的導數(shù)是否大于0，此外，連續(xù)函數(shù)在個別點處無導數(shù)不影響函數(shù)的單調(diào)性[5]。

2 結(jié)束語

微分中值定理是微分學的理論基礎(chǔ)，它的應(yīng)用還有許多其他方面，以上只是例舉出了比較常見的應(yīng)用類型，通過對上述例題所對應(yīng)的微分中值定理的掌握，以及借助構(gòu)造函數(shù)的方法對中值定理加以運用，可以明白微分中值定理在許多數(shù)學問題中的重要性，能夠更好地加深其理解。

參考文獻：

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（第四版上冊）[M].北京：高等教育出版社，2017.

[2]樊守芳.微積分中值定理若干問題[M].哈爾濱：黑龍江大學出版社，2011.

[3]楊艷萍，明清河.數(shù)學分析中的重要定理[M].北京：電子工業(yè)出版社，2015.

[4]張?zhí)斓拢瑢O書榮.數(shù)學分析輔導以及習題精解[M].延吉：延邊大學出版社，2017.

[5]孫學敏.微分中值定理的應(yīng)用[J].數(shù)學教學研究，2009，28（10）：61-63.