二次函數綜合題型解題策略與技巧

李金華

(云南省曲靖市麒麟區第七中學 655000)

一、抓準臨界點信息，恰當分類，巧妙切入

眾所周知，分類思想是初中數學中最重要的思想方法之一，從初一開始學習有理數到初三復習函數綜合題，整個教學過程中無不滲透著分類思想，或者說分類思想在初中數學解題中有著極其重要的應用.事實上，如果留心就不難發現，不管是中考壓軸題還是平時的模擬題，絕大多數二次函數綜合題都或深或淺地涉及到分類思想，并且往往是以恰當的分類為切入點，學生如果分類討論的意識淡薄或是做不到合理分類也就無法順利解題.而這其中的關鍵就在于仔細分析題意，抓準臨界點信息，從而恰當分類，巧妙切入.下面我們來看一道比較典型的例題：

例1設函數y=-x2+(m-2)x+3(m+1)，試解答以下三問：①判斷該函數與x軸有幾個交點，并給予證明；②若該函數圖象與y軸的交點為C，與x軸的交點為A、B(A在B左側)，∠CAB與∠CBA其中之一為鈍角，求m的取值范圍；③設該函數圖象的頂點為P，在求得m取值范圍的前提下，若△PAO與△ABC的面積相等，求該二次函數的表達式.

簡評通過以上的解題可以看出，此題難度不高但屬于較為典型的二次函數綜合題，其以二次函數的基本運用為基礎綜合了幾何知識，第三問解答的切入點和關鍵點就在于依據兩點的未知情況進行分類討論.在二次函數的綜合題型中，像這樣涉及到到分類討論思想的題目數不勝數，我們應多加注意.

二、理清隱含條件，數形結合，直擊要害

在二次函數綜合題中，函數圖象的性質歷來是考查的重點之一，而以之為基礎也常常與方程、不等式或一些幾何知識進行綜合，因此數形結合能力在二次函數綜合題的解答過程中就顯得至關重要，尤其是在需要將一些復雜而抽象代數問題圖形化時，正確的數形結合是解答題目的基礎和關鍵.事實上，很多學生在面對二次函數綜合題時的最大短板就是圖形轉化能力低，尤其是對題目中的一些隱含信息，無法通過數形結合標示出來進而充分利用，因此，在習題教學中教師應特別重視使學生掌握“代數圖形化“策略，能夠理清隱含信息，通過數形結合直擊要害.我們來看一道例題：

已知在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx與二次函數y=ax2-(a+1)x圖象的一個交點為A(4，8)，試解答以下三問：①求出該直線和二次函數的解析式；②若點P為線段OA上一點，過該點做y軸的平行線交本題中二次函數圖象于點Q，則線段PQ的最大長度為多少？③設本題中二次函數圖象的頂點為M，點N為二次函數圖象上一點，若使四邊形AOMN為梯形，則點N的坐標及梯形AOMN的面積分別是多少？

解析首先要說的是本題的原題是沒有給出圖形的，需要學生在平面直角坐標系中畫出直線和二次函數的圖象，并根據題意標出重要的點，在此基礎上進行分析和解答.前兩問很簡單,在此從略.第三問的大體解答過程如下：從第一問求出的二次函數的解析式y=x2-2x可知頂點M的坐標為(1，-1)，過點M作直線OA的平行線交二次函數圖象于點N，如圖所示，四邊形AOMN為梯形，直線MN可看作是由直線OA

向下平移b個單位得到，由此可得直線MN的方程為y=2x-b.將M點的坐標代入此方程得到b=3，故直線MN的方程為y=2x-3.將此式與二次函數的表達式y=x2-2x聯立可得x1=1，x2=3.據此易知MN與二次函數的交點N的坐標(3，3).如圖，分別過點M、N作y軸的平行線交直線OA于G、H，四邊形MNHG顯然為平行四邊形，據此可得到G、H兩點的坐標分別為(1，2)和(3，6).由圖可知，所求梯形面積等于△OMC、△ANH與梯形MNHG的面積之和.求三者面積所需的關鍵點的坐標都已有了，根據面積公式分別求出其面積然后相加即可得到最后答案.

簡評該題綜合二次函數、一次函數與一些相關幾何知識，屬于比較典型的二次函數綜合題.其新穎點在于，以二次函數與一次函數的圖象相交形成的圖形框架為載體巧妙融合進幾何知識，而原題并不給出圖形，需要學生自主畫圖，并挖掘題目中的隱含信息進而善加利用.整個解題過程中所彰顯出來的正是一種典型的“數形結合，直擊要害”的解題策略，需要我們好好體會和借鑒.

綜上所述，我們結合具體題例探討了初中二次函數綜合題型的兩種基重要解題策略，即“抓準臨界點信息，恰當分類，巧妙切入”“理清隱含條件，數形結合，直擊要害”.事實上，初中二次函數綜合題型解題策略與技巧時一個同時具有一定深度和廣度的話題，除本文所述外當然還有其他一些有效的策略及技巧，這就需要我們一線教師在教學實踐中多加留心和勤于總結.