順向連接 逆向對稱
——二次函數中線段“和”最小問題

羅文武

(重慶市榮昌區寶城初級中學 402460)

近年來，二次函數中“線段和最小”的綜合題常見于各地中考壓軸題，這一考點要運用對稱變換來進行處理，但什么時候作對稱點，作哪個點的對稱點，以哪條直線為對稱軸作對稱，這讓我們的老師和同學們很困惑.本文針對幾種問題情景談談自己的觀點，與大家共勉．

一、緣起

問題情景1：已知直線l及兩點A，B，在直線l上作一點P，使PA+PB最?。?/p>

如圖1，點A，B在直線l兩側，我們在直線l上任找一點P，連接PA，PB，這時，PA+PB可以看成路徑“A到P到B”，這個路徑穿過了直線l，我們稱這種情形為順向．顯然，要使PA+PB最小，必須使點A，P，B在同一直線上，故連接AB交直線l于點P，如圖2，則點P使PA+PB最小，這樣，我們可得出：順向連接；如圖3，點A，B在直線l同側，我們在直線l上任找P，連接PA，PB，這時，PA+PB可以看成路徑“A到P到B”，這個路徑通過動點P所在直線l反射到定點A所在的同側區域內，我們稱這種情形為逆向．顯然，要確定點P的位置，我們應該作點B(或點A)的對稱點B1，將逆向的“A到P到B”轉化為順向的“A到P到B1”模型，再連接AB1交直線l于點P，連接PB，如圖4，則此時的點P使PA+PB最小，最小值為線段AB1的長度，這樣，我們可得出：逆向對稱．從這簡單的情形就得到“順向連接，逆向對稱”．

思維小結：順向連接，應用“兩點之間，線段最短”的原理，而逆向對稱則是將逆向利用對稱轉化為“順向”，同時，要清楚的是作定點A或B的對稱點，是以PA+PB中的動點P所在的直線為對稱軸的．

二、提升

問題情景2： 已知直線l1，l2及兩定點A，B，在直線l1上作一點M，在l2上作點N．

我們首先看點A，B在兩直線外側的情形，如圖5，使AN+MN+MB最小．顯然，路徑“A到N到M”及路徑“N到M到B”都是逆向，故將定點A，B分別作關于直線l2，l1的對稱點A1，B1，連接A1B1交l1于M，交l2于N，連接AN，BM，將逆向的“A到N到M到B”轉化為順向的“A1到N到M到B1”，則此時AN+MN+MB最小，最小值為A1B1的長度，如圖6(也可將定點A作關于直線l2的對稱點A1，再作A1關于直線l1的對稱點A2，連接A2B交l1于點M，連A1M交l2于N，變逆向“A到N到M到B”為順向“A2到M到B”).如果點A，B在兩直線同側，如圖7，要使AM+MN+NB最小，根據“順向連接，逆向對稱”，我們應該作定點B關于與它所連的動點N所在直線l2的對稱點B1，連接AB1交l1于點M，交l2于點N，連接BN，變逆向“B到N到M到A”為順向“B1到N到M到A”此時點M，N使AM+MN+NB最小，最小值為AB1的長度，如圖8．

思維小結：對于“逆向”，我們作定點關于與之相連的動點所在的直線的對稱點，變“逆向”為“順向”，比如圖8，“A到M到N”是順向，不作對稱，而“M到N到B”是逆向，應該作“定點B”的對稱點B1，對稱軸就應該是與這個定點B相連的動點N所在的直線l2，這樣就都轉化為“A到M到N到B1”的“順向”，然后連接即可題解，也就水到渠成了．

三、應用

(1)求直線AE的解析式；

(2)點P為直線CE下方拋物線上的一點，如圖10，連接PC，PE,當△PCE的面積最大時，連接CD，CB，點K是線段CB的中點，點M是CP上的一點，點N是CD上的一點，求KM+MN+NK的最小值．

思維小結：“K到M到N”及“M到N到K”都是逆向，作“定點K”的對稱點，對稱軸分別是M，N所在的直線CP，CD．

四、拓展

例2(2018年重慶中考A卷改編)如圖12，在平面直角坐標系中，點A在拋物線y=-x2+4x上，且橫坐標為1，點B與點A關于拋物線的對稱軸對稱，直線AB與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，點E的坐標為(1，1)．

五、升華

投出一粒石，激起千層浪．“順向連接，逆向對稱”是我在二次函數線段和最小值中的一個新發現，也是一大突破點.子曰：“疑是思之始，學之端．”它的每一個環節，對我來說都是新的嘗試和挑戰！要想在數學壓軸題中乘風破浪，披荊斬棘，我們必須要有獨到的創新思維和創新方法，讓創新變得有理可依，更加高效！