例談化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

姬小光

摘 要 化歸思想是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中常用的一種重要思想，在解題時(shí)的應(yīng)用十分廣泛。本文通過例舉化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，如：解方程，求數(shù)列通項(xiàng)，處理含參不等式，解三角函數(shù)，解應(yīng)用題等。通過對(duì)這些題目的逐一分析，繼而總結(jié)出化歸思想解題的一般規(guī)律與原則，即通過將未知的問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已知的知識(shí)、將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為簡單問題。

關(guān)鍵詞?化歸思想;中學(xué)數(shù)學(xué);解題;應(yīng)用

中圖分類號(hào)：B027 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2019）02-0075-01

化歸思想的最終目的是為了簡化求解過程，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化。化歸思想以其高度的實(shí)用性和有效性，贏得了師生的一致認(rèn)可，是實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生綜合素養(yǎng)教學(xué)的重要手段。

一、化歸思想的基本概念

化歸思想是處理數(shù)學(xué)問題的一般思想方法，其核心是：在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常常是將要解決的問題A通過某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個(gè)問題B，而問題B是相對(duì)較易解決或已有固定解決程式的問題，且通過對(duì)問題B的解決可得原問題A的解答。化歸的基本功能是：生疏化成熟悉、復(fù)雜化成簡單、抽象化成直觀、含糊化成明朗。

二、化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

（一）解方程

例1.解方程（x²+8x+7）（x²+8x+15）+15=0

解：原方程可化為：

（x²+8x+7）²+8（x²+8x+7）+15=0

令y=x²+8x+7這樣，我們將解方程

（x²+8x+7）（x²+8x+15）+15=0

轉(zhuǎn)化為規(guī)范化方程y²+8y+15=0的形式。

對(duì)于方程y²+8y+15=0可化為（y+3）（y+5）=0，

可得方程的解為：?y=-3或y=-5。

所以我們有x²+8x+7=-3或x²+8x+7=-5，繼而接著解兩個(gè)方程可得原方程的解：

從上題我們可以看出：在解方程時(shí)對(duì)方程變量進(jìn)行替換把高次方程轉(zhuǎn)化為低次方程，再對(duì)低次方程進(jìn)行變形化為一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0（a≠0），使之納入原有的已經(jīng)解決的知識(shí)結(jié)構(gòu)，這就是化歸。

（二）求數(shù)列通項(xiàng)

例2：設(shè)正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，又 ???????，求a_n。

分析：因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_（n-1），所以2S_n=

，所以2S_n²-2S_nS_n-1=（S_n-S_n-1）²+1，所以S_n²-S_n-1²=1，所以數(shù)列{S_n}的平方數(shù)列{S_n²}是公差為1的等差數(shù)列，易求S₁=1，所以S_n²=n，因?yàn)閍_n>0，所以 ?????，所以 ??????????????????。

從上述兩題我們看到不少既非等差又非等比的數(shù)列，卻可以通過適當(dāng)?shù)淖冃危瘹w為一個(gè)等差數(shù)列、等比數(shù)列或一個(gè)通項(xiàng)易求的數(shù)列，從而求出原數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（三）處理含參不等式

函數(shù)與不等式關(guān)系密切，尤其是含參數(shù)的不等式問題，變量較多。遇到這類問題時(shí)，我們應(yīng)如何處理呢？

例3：如果2x-1>m（x²-1）對(duì)任意m∈[-2，2]都成立，求x的范圍。

分析：解題時(shí)易想到，由原不等式解出x，再根據(jù)m的范圍確定x的范圍。可以想象，此法解題過程非常煩瑣，很難解出結(jié)果。應(yīng)如何考慮呢？注意到m的范圍已確定，轉(zhuǎn)換一下角度，把所給不等式看成m的不等式如何？

解：原不等式變形為：

m（x²-1）-（2x-1）<0

左邊顯然是m的一次函數(shù)，記作f（m），

由題知，f（m）<0對(duì)任m∈[-2，2]恒成立，由一次函數(shù)性質(zhì)只需

即可，這樣便可解這個(gè)關(guān)于x的不等式組，從而得解：

從上例可以看出，處理這類問題時(shí)我們不妨換個(gè)角度，可通過化歸思想，把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，反客為主。把我們熟悉的未知數(shù)看作參變量，而把原來的參數(shù)看作主元未知數(shù)，分離變量，利用轉(zhuǎn)化思想把它化歸為函數(shù)問題，利用函數(shù)性質(zhì)即可輕松獲解。這樣處理，不但方法巧妙，而且過程簡單，有利于培養(yǎng)思維能力，提高解題能力。

例4：某商店進(jìn)貨每件50元，據(jù)市場調(diào)查，銷售價(jià)格（每件x元）在50≤x≤80時(shí)，每天售出的件數(shù)P=????。若想每天獲得的利潤最多，銷售價(jià)格每件應(yīng)為多少元？

這是一個(gè)u關(guān)于????的二次函數(shù)，當(dāng) ??????????????。

即x=60（x∈[50，80]）時(shí)，u取最大值，故每件定價(jià)為60元時(shí)，利潤最大為2500元。

在這一題中我們先把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，使之能用數(shù)學(xué)理論解決具體的實(shí)際問題，再在數(shù)學(xué)問題的解決中繼續(xù)應(yīng)用化歸轉(zhuǎn)化的思想，盡管上述方法轉(zhuǎn)化方向各不相同，但其實(shí)質(zhì)都是一樣的：盡量轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)或方便求解的問題上。

從以上幾道例題我們可以總結(jié)出化歸思想解題的一般規(guī)律，即：生疏化成熟悉、復(fù)雜化成簡單、抽象化成直觀、含糊化成明朗。

化歸思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)中有著十分重要的作用。通過分析化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用，我們總結(jié)出了化歸思想解題的一般規(guī)律，即對(duì)題目自身的特點(diǎn)，遵循熟悉化、簡單化、特殊化等原則，化繁為簡，化難為易，從而達(dá)到解題的目的。

參考文獻(xiàn)：

[1]凌健.化歸思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008（2）：115-117.