芻議“基本圖形”在初中幾何教學(xué)中的應(yīng)用

包賢明

摘要：與小學(xué)數(shù)學(xué)相比，初中對平面圖形學(xué)習(xí)從簡單的、靜止的、直觀的慢慢轉(zhuǎn)變成了復(fù)雜的、運(yùn)動的、抽象的。其研究的難度和深度都有了大幅度提高，這對于學(xué)生的思維表現(xiàn)能力和邏輯發(fā)展能力也都有了更高的要求，在這種情況下，我們應(yīng)更加重視“基本圖形”的教學(xué)和深度挖掘，并引導(dǎo)學(xué)生對幾何題型探索和解題方法提煉，可以較為有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)。

關(guān)鍵詞：基本圖形;初中數(shù)學(xué);平面幾何;數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

中圖分類號：G633.6 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? 文章編號：1992-7711（2019）01-0014

一、平面幾何的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀

初中數(shù)學(xué)平面幾何主要研究圖形的形狀、大小和性質(zhì)，和小學(xué)數(shù)學(xué)相比，其研究難度和深度都有了大幅度提高，圖形學(xué)習(xí)從簡單的、靜止的、直觀的慢慢轉(zhuǎn)變成了復(fù)雜的、運(yùn)動的、抽象的。這對于學(xué)生的思維表現(xiàn)能力和邏輯發(fā)展能力也都有了更高的要求，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也追求“活學(xué)活用”，創(chuàng)新多變的“新穎”題目也不斷出現(xiàn)，這也引導(dǎo)著數(shù)學(xué)幾何的變革方向。那么，在平面幾何教學(xué)中，有沒有更加高效的方法呢？有沒有方法可以讓學(xué)生能更好地理解抽象的數(shù)學(xué)幾何概念定理？筆者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)更好地發(fā)揮“基本圖形”的引領(lǐng)作用，引導(dǎo)學(xué)生整理歸納各類“基本圖形”，揭示它背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識和提煉解題方法，可以較為有效地開展數(shù)學(xué)教學(xué)。

二、解決的策略

1. 建立“基本圖形”與幾何知識的雙向關(guān)聯(lián)

在教學(xué)過程中把基本的定義定理以“基本圖形”的形式反映出來，建立最基本的基本圖形庫，要讓學(xué)生一想到幾何知識就聯(lián)想到與之相關(guān)的幾何圖形，看到幾何圖形就想到相應(yīng)的幾何知識，改變那種把性質(zhì)定理的文字表述與圖形割裂開的學(xué)習(xí)方法。

建立“基本圖形”與幾何知識的雙向關(guān)聯(lián)，是分析解決問題的先決條件，沒有這種基本的關(guān)聯(lián)，訓(xùn)練思維能力就缺少了必要載體。如一提到平行線的性質(zhì)和定理就聯(lián)系到“三線八角”基本圖形，一提到垂徑定理就聯(lián)想到右圖基本圖形，這種“基本圖形”本身就是“定義定理”的組合部分，它是教師傳授幾何知識的載體，也是學(xué)生加深概念印象和靈活運(yùn)用幾何定理的“圖示”。

2. 歸納整理各類習(xí)題中出現(xiàn)的“基本圖形”

盡管數(shù)學(xué)練習(xí)千變?nèi)f化，但是絕大多數(shù)題目都能從中提煉出一些基本元素，教師在教學(xué)中幫助學(xué)生梳理、提煉這些“基本圖形”，遇到問題時分離這些“基本圖形”，在“基本圖形”殘缺時，構(gòu)造“基本圖形”，可以以這些“基本圖形”為載體，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，分析推理能力。

當(dāng)然，這種整理歸納不僅是對“基本圖形”的提煉，也包括揭示各圖形之間的聯(lián)系和區(qū)別，把各個基本圖形置于網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)中系統(tǒng)排布，讓學(xué)生感知各知識板塊之間的變化和聯(lián)系。

如下圖是三角形和角平分線結(jié)合下的“基本圖形”，其圖形變化一脈相承，而結(jié)論運(yùn)用也簡練方便。在△ABC、飛鏢形、八字形中，BI、CI分別是內(nèi)或外角平分線，∠BIC與其余各角分別有以下的關(guān)系：

3. 注重對“基本圖形”的提煉，滲透數(shù)學(xué)思想方法和解題技巧

如果說教學(xué)和看書一樣都經(jīng)歷由薄到厚、再由厚到薄的過程，那最后的“薄”就是“基本圖形”，而很多幾何題型都是以一個或幾個“基本圖形”按照一定的“組織形式”而形成的，這些基本圖形承載著題型的考點(diǎn)內(nèi)容和解題方向。這些圖形存在某種類似，但求證的結(jié)論有所不同，而其解法和技巧基本都是一致的，同時這類題型所演變的大量題目的解題技巧基本都是一致的，這類題完全可以歸為一類。

4. 整理與“基本圖形”有關(guān)的幾何輔助線的常規(guī)添法

通過添加“輔助線”解題是學(xué)生解題的難點(diǎn)，但是“常規(guī)輔助線”的添加也正是基于“基本圖形”的基礎(chǔ)之上，系統(tǒng)研究幾何基本圖形，可以讓學(xué)生根據(jù)考題信息檢索到考點(diǎn)知識以及與考點(diǎn)知識所對應(yīng)的圖形，從而自然而然添加輔助線。

在解決與圓有關(guān)的問題時，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決，例如：（1）見弦作弦心距;（2）見直徑作圓周角;（3）見切線作半徑。而這三種輔助線添法，對應(yīng)著如下三個“基本圖形”。

三、“基本圖形”對教學(xué)的作用

1. 有利于學(xué)生解題思維的發(fā)展

在初中數(shù)學(xué)幾何中，“基本圖形”就像一塊塊“預(yù)制板”，是數(shù)學(xué)幾何大廈的基本模塊。通過掌握“基本圖形”，學(xué)生既可以理解數(shù)學(xué)知識的由來，也可以掌握性質(zhì)定理所衍生的推論以及習(xí)題中所常用到的基本結(jié)論。學(xué)生學(xué)習(xí)的核心在于“解題能力”的提升，如果學(xué)生能掌握“基本圖形”，對其解題思路的拓展都有著積極作用。

2. 有利于解題時探求思路拓寬條件

“基本圖形”是和數(shù)學(xué)知識的雙向關(guān)聯(lián)，每個基本圖形都對應(yīng)著一類幾何知識，并且其背后的結(jié)論也都是固定的，事實(shí)上，幾何“題型”很多都是幾個“基本圖形”的組合應(yīng)用，只要我們能挖掘每個“基本圖形”背后的探究思路就能大致理出這類“題型”的解決方向。“基本圖形”對學(xué)生解題思路的拓展也體現(xiàn)在“輔助線”的添法上，這也是我們研究的重點(diǎn)。

3. 有利于學(xué)生構(gòu)建網(wǎng)狀的幾何知識體系

數(shù)學(xué)教學(xué)主張在網(wǎng)狀的知識結(jié)構(gòu)圖中進(jìn)行聯(lián)系教學(xué)，而幾何基本圖形之間的承接和變化都是一脈相承的，并且“基本圖形”可以幫助學(xué)生整合題型，這有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識點(diǎn)進(jìn)行分類檢索，符合建構(gòu)主義理論。

4. 有利于讓學(xué)生深入感受數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心在于思想方法的滲透，對于很多學(xué)生而言，思想方法是空洞無物、束之高閣的，而細(xì)心研究幾何“基本圖形”，既可以感受大量的“數(shù)形結(jié)合”思想，也可以從圖形的演變過程中感受“類比遷移”“化歸”等重要思想，并且很多幾何題目輔助線的添法或者解題方法本身就是數(shù)學(xué)思想方法推導(dǎo)下的產(chǎn)物，如角平分線的解題思路在于“對稱”的思想方法。

5. 有利于促進(jìn)教師的成長

優(yōu)秀教師不僅需要具有專業(yè)的數(shù)學(xué)知識、心理學(xué)教育學(xué)，更需要理解數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的聯(lián)系和區(qū)別，必須具有一定的教學(xué)高度，才能整合知識、高屋建瓴，讓學(xué)生自然而然地掌握所學(xué)知識，做到水到渠成。數(shù)學(xué)幾何“基本圖形”是數(shù)學(xué)抽象符號、定義定理的直觀圖形，對于教師而言，每個圖形都對應(yīng)著相應(yīng)的教學(xué)知識點(diǎn)。在幾何教學(xué)中，探究這些“基本圖形”對教師成長都有著積極的作用。

綜上所述，教師在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)更加重視“基本圖形”的教學(xué)，在課堂上或習(xí)題課中，教師應(yīng)有意識的對平面幾何基本“圖形”進(jìn)行整理、挖掘、引導(dǎo)學(xué)生歸納、提煉解題方法等，這對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，尤其是平面幾何的學(xué)習(xí)，為學(xué)生建立平面幾何知識體系，形成數(shù)學(xué)思想方法有著積極而深遠(yuǎn)的意義。

參考文獻(xiàn)：

[1] 吳曉華，談基本圖形在初中幾何教學(xué)中的應(yīng)用[J].學(xué)科活動，2014（5）.

（作者單位：浙江省桐鄉(xiāng)市烏鎮(zhèn)中學(xué) ? 314500）