具斑塊遷移的病毒模型的穩(wěn)定性分析

柳文清,陳清婉

(福建師范大學(xué)閩南科技學(xué)院,福建 泉州 362300)

1 引言

近年來,病毒型疾病暴發(fā)愈加頻繁,使得研究病毒機(jī)制成為十分熱門的課題.一般的病毒感染過程可用如下模型[1-4]:

其中u,v,w分別表示未感染細(xì)胞,感染細(xì)胞及游離病毒.其中未感染細(xì)胞以常數(shù)率r生成,以速率αu死亡,以速率βuw成為被感染細(xì)胞,其中β是描述感染過程的常數(shù)率,相當(dāng)于未感染細(xì)胞與游離病毒的接觸率.被感染細(xì)胞以速率βuw生成,以速率pv死亡.游離病毒由被感染細(xì)胞死亡裂解而產(chǎn)生,其速率為kv并以速率sw被清除.由一個被感染細(xì)胞內(nèi)產(chǎn)生的病毒顆粒的總數(shù)為.

上述模型假設(shè)空間分布均勻且未感染細(xì)胞與感染細(xì)胞的感染關(guān)系是線性的.這并不能完全描述比較復(fù)雜的實際情況.文獻(xiàn)[5-7]引入了B-D反應(yīng)函數(shù)來描述未感染細(xì)胞與感染細(xì)胞的感染關(guān)系.文獻(xiàn)[8]則考慮病毒的空間遷移效應(yīng),即如下模型:

文獻(xiàn)[9-10]則進(jìn)一步考慮未感染細(xì)胞,感染細(xì)胞和游離病毒均可自由遷移的情形,即在模型(1)中等式右邊分別加上d?u,d?v,d?w表示遷移.

另外,考慮到病毒容易傳播的性質(zhì),很多學(xué)者考慮了斑塊環(huán)境下的病毒模型和傳染病模型[11-14].文獻(xiàn)[14]討論了一類基于斑塊和人口流動的傳染病模型,即

證明了病毒趨于滅絕的條件和地方病流行的條件.受此啟發(fā),本文研究如下具有斑塊遷移的病毒模型:

其中ui,v,i=1,2分別表示第i個斑塊上未感染細(xì)胞,感染細(xì)胞,ei,i=1,2分別表示未感染細(xì)胞在斑塊間的傳播率.可以理解為攜帶這些細(xì)胞的主體的遷移,例如禽流感病毒的傳播等.記N(t)=u1+u2+v,K=min{α1,α2,p},將方程組 (4)中前四個方程相加,得,由常微分方程比較原理可得,再由,同理可得.另外方程組中前兩個方程同時也滿足

本文主要在區(qū)域G上討論模型(4)的相關(guān)性質(zhì).

2 無病平衡點的穩(wěn)定性分析

當(dāng)R>1 時,模型 (4)存在地方病平衡點并且滿足

為下文證明需要,不加證明的給出以下引理.

引理2.1(LaSalle不變集原理)設(shè)V是方程x˙=f(x)定義在D上的Lyapunov函數(shù),若M是方程x˙=f(x)在E中的最大不變集,且x有界,則x(t)→M,當(dāng)t→∞時.

定理2.1若R<1,則模型(4)的無病平衡點E0在域G上是局部漸近穩(wěn)定的.

證明模型(4)在無病平衡點E0處的線性化系統(tǒng)的特征方程為:

定理2.2 當(dāng)滿足條件R<1并滿足條件:,模型(4)的無病平衡點E0在域G上是全局漸近穩(wěn)定的.

證明模型(4)的等價系統(tǒng)為:

當(dāng)R<1時,上述特征方程的根均有負(fù)實部.故平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的.

當(dāng)R>1時,上述特征方程中至少有一特征根為正,此時E0是不穩(wěn)定的.

由定理的條件可知D+V(t)≤0.可見,集合

是系統(tǒng)(5)的最大不變集,由LaSalle不變集原理可知無病平衡點E0在域G上是全局漸近穩(wěn)定的.對任意的初值(u10,u20,v0,w0)∈G,有

3 地方病平衡點的穩(wěn)定性分析

定理3.1當(dāng)滿足條件R>1時,模型(4)的平衡點E?在G上是局部穩(wěn)定的.

證明模型(4)在無病平衡點E?處的線性化系統(tǒng)的特征方程為:

其中B1=p+s+a11+a22,B2=a11a22?e1e2+(a11+a22)(p+s),

由于f(0)=B4>0,并且f′(λ)=4λ3+3B1λ2+2B2λ+B3>0.這說明f(λ)=0 無正實根,下面說明f(λ)=0無純虛根.假設(shè)λ=iω(ω>0)是特征方程的特征根,代入方程,則有 (ω4?B2ω2+B4)+i(B3ω?B1ω3)=0,由上式可得

定理3.2 當(dāng)滿足R>1并且滿足條件,模型 (3)的地方病平衡點E?在域G上是全局漸近穩(wěn)定的.

證明模型(3)的等價系統(tǒng)為:

由定理的條件可知D+V2(t)≤0.可見,集合

是系統(tǒng)(6)的最大不變集,由LaSalle不變集原理[16]可知無病平衡點E0在域G上是全局吸引的.對任意的初值(u10,u20,v0,w0)∈G,有

4 結(jié)論

本文定理2.2和定理3.2表明,閾值R<1時,感染細(xì)胞生成病毒的速度相對小而病毒細(xì)胞死亡率足夠大,斑塊遷移率較小時,病毒趨于滅絕;而閾值R>1且感染細(xì)胞生成病毒的速度相對大而病毒細(xì)胞死亡率足夠小,斑塊遷移率較大時,病毒持續(xù)流行.