夾心半群T(X,Y,θ)上的一個同余鏈

薛玲霞,孫壘

(1.鄭州旅游職業(yè)學院基礎部,河南 鄭州 450009;2.河南理工大學數學與信息科學學院,河南 焦作 454000)

1 引言

文獻[1]建立了從α-半群T(X)(即T(X)?TX且包含TX中所有常值變換和集合X上的恒等變換idX)的同余格C(T(X))到集合X上的T-等價關系格Teq(X)的映射γ和從Teq(X)到C(T(X))的映射C,確定了某些拓撲空間X上的所有連續(xù)自映射(關于映射的復合)所成的半群S(X)上的最小真同余.文獻[2]證明了γ和C都是格同態(tài),并且對于X上的每個T-等價關系E,γ?1(E)是同余格C(T(X))的完全子格.在這個完全子格γ?1(E)中,最大同余是α-同余,即

文獻[3]確定了完全子格γ?1(E)中的其它同余.

定義1.1[4]設X,Y是兩個非空集合,θ是從Y到X的一個映射.對于從X到Y的映射f,g,定義乘法運算f?g=fθg,其中fθg表示三個映射在一般意義上的復合.在這個運算下,所有從X到Y的映射構成一個半群,記為T(X,Y,θ).并且T(X,Y,θ)稱為(關于夾心映射θ的)夾心半群.

為得到T(X,Y,θ)上的一些同余,現在給出集合Y上與T(X,Y,θ)相聯系的一類等價關系.

定義1.2[4]設T(X,Y,θ)是夾心半群,E是集合Y上等價關系.若對于任意的 (a,b)∈E和f∈T(X,Y,θ),有 (fθ(a),fθ(b))∈E成立,則稱E是Y上Tθ-等價關系.

由文獻 [4]知Y上的所有Tθ-等價關系的集合作成一個格.這個格中包含Y上兩個平凡的Tθ-等價關系△(Y)和Y×Y,其中△(Y)表示Y×Y的對角線,即{(y,y):y∈Y}.并且,文獻[4-5]將同態(tài)

推廣到夾心半群T(X,Y,θ)的同余格C(T(X,Y,θ))和集合Y上的Tθ-等價關系格上,建立了格同態(tài)

得到了如下結論.

定理1.1[4-5]設T(X,Y,θ)是夾心半群.定義γ:C(T(X,Y,θ))→Teθq(Y)為

其中ρ∈C(T(X,Y,θ)),表示將X中所有點映成y∈Y的常值映射,則γ是單調的滿的格同態(tài).定義C:為

根據定理1.1,文獻 [4-5]討論了夾心半群T(X,Y,θ)上的兩個同余,即骨架同余和α-同余,刻畫了它們的特征,得到了如下的定理.

定理1.2[4-5]對于任意,則γ?1(E,θ)是C(T(X,Y,θ)) 的一個完全子格.并且這個子格的最小同余是骨架同余

最大同余是α-同余Cα(E)={(f,g):?y∈Y,(fθ(y),gθ(y))∈E}.

本文中用Z(Y)表示所有從X到Y的常值映射.Y/E表示Y上由Tθ-等價關系E決定的Y的分類.表示x所在的E類,即x∈∈Y/E.fθ(Y)表示從Y到Y的復合映射fθ的象集.對每個f∈T(X,Y,θ),令π(fθ)表示由復合映射fθ決定的Y的分類,即π(fθ)={(fθ)?1(y):y∈fθ(Y)}.

沒有特殊說明,本文中Y上Tθ-等價關系E都是非平凡的,即E△(Y)且EY×Y.文中沒作說明的概念與符號,參看文獻[4-5].

2 幾個引理

本節(jié)給出幾個相關的引理.

引理2.1 設f∈T(X,Y,θ),E是Y上Tθ-等價關系,則對于任意B∈Y/E,存在

證明在B中取定一點b.設fθ(b)=b′.記b′所在的E類為B′.在B中任取一點x,則 (x,b)∈E.注意到f∈T(X,Y,θ),,則 (fθ(x),fθ(b))∈E,即fθ(x)∈B′.由x的任意性知fθ(B)?B′.

由引理 2.1知對于任意B∈Y/E,則 (fθ)?1(B)=?或 (fθ)?1(B)是Y中一些E類的并.

引理2.2 設E是Y上Tθ-等價關系,σ是T(X,Y,θ)上的同余且σ ∈ γ?1(E,θ),則對于任意A∈Y/E和任意(f,g)∈σ,存在B∈Y/E,使fθ(A)?B,gθ(A)?B.

證明由引理 2.1知,對于任意A∈Y/E,存在B∈Y/E,使fθ(A)?B.由于

于是對于任意x∈Y,有(fθ(x),gθ(x))∈E.特別地,對于A中的任意一點a,有

注意到fθ(a)∈B.因此gθ(a)∈B.由a的任意性知gθ(A)?B.

引理2.3 設f,g∈T(X,Y,θ)且E是Y上Tθ?等價關系.若

則對于任意h∈T(X,Y,θ),有

證明首先證明

若hθ(x)=hθ(y),則 (h?f)θ=(h?g)θ,即π((h?f)θ)=π((h?g)θ).

若hθ(x)?=hθ(y),則π((h?f)θ)=π(fθ)=π(gθ)=π((h?g)θ).

下面證明π((f?h)θ)=π((g?h)θ).分兩種情形.

情形1 若fθ|hθ=gθ|hθ,則 (f?h)θ=(g?h)θ.故π((f?h)θ)=π((g?h)θ).

情形2 若fθ|hθ?=gθ|hθ,則fθ?=gθ. 由于

于是

此時又有三種可能.

(P1)若hθ(Y)?(fθ)?1(x),則

即

于是

則A,B是Y的兩個非空子集,且于是

這表明π((f?h)θ)=π((g?h)θ).

因此,不管何種情形都有π((f?h)θ)=π((g?h)θ).

引理2.4 設T(X,Y,θ)是夾心半群,E是Y上Tθ-等價關系.設

則C0(E)是T(X,Y,θ)上的一個同余且C0∈ γ?1(E,θ).

證明 顯然C0(E)是T(X,Y,θ)上一個等價關系,并且C0∈ γ?1(E,θ).設

若 (f,g)∈C(E),由C(E)是T(X,Y,θ)上的同余知

若h∈Z(Y).設h=,則

下面考慮(f,g)(E)(Y).由引理2.3知π((h?f)θ)=π((h?g)θ)且

由于 (x,y)∈E,h∈T(X,Y,θ),于是 (hθ(x),hθ(y))∈E.這表明C0(E)是左同余.

另一方面,由引理 2.3知π((f?h)θ)=π((g?h)θ).此時又有兩種可能.

(P1)若 (f?h)θ(Y)=fθhθ(Y)={x,y}.注意到π((f?h)θ)=π((g?h)θ).于是

這表明若 (f?h)θ(Y)={x,y},則 (g?h)θ(Y)={x,y}.于是 (f?h,g?h)∈C0(E).

(P2) 若 (f?h)θ(Y)={x},則 (g?h)θ(Y)=y. 這表明若則.于是 (f?h,g?h)∈C(E)?C0(E).

因此,不管何種情形,都可以證明C0(E)是右同余.故C0(E)是T(X,Y,θ)上的同余.

引理2.5 設T(X,Y,θ)是夾心半群,E是Y上Tθ-等價關系.設

則C?(E)是T(X,Y,θ)上的一個同余且C?∈γ?1(E,θ).

證明顯然C?(E)是T(X,Y,θ)上一個等價關系,并且C?∈ γ?1(E,θ).設

若 (f,g)∈C(E),由C(E)是T(X,Y,θ)上的同余知

下面考慮(f,g)(E).對于任意A∈Y/E,有

這表明 (h?f,h?g)∈C?(E).于是C?(E)是左同余.

另一方面,由引理2.1知對于任意A∈Y/E,存在B∈Y/E,使hθ(A)?B.于是

注意到 (f,g)∈C?(E),于是|fθ(B)|=|gθ(B)|=1.從而

這表明 (f?h,g?h)∈C?(E),即C?(E)是右同余.從而C?(E)是T(X,Y,θ)上的一個同余.

3 主要結論

有了上節(jié)的幾個引理作為準備,本節(jié)給出主要定理.

在敘述結論之前介紹一些符號.設f是夾心半群T(X,Y,θ)的任意映射,E是Y上的Tθ-等價關系.記RE(fθ)={A∈Y/E:(fθ)?1(A)?=?}.用|fθ|E表示RE(fθ)的基數.

定理3.1 設T(X,Y,θ)是夾心半群,E是Y上Tθ-等價關系,|Y/E|=m.對于1≤k≤m,設

則Ck是T(X,Y,θ)上的同余,并且

證明對于 1≤k≤m,顯然Ck(E)是T(X,Y,θ)上等價關系.在Ck(E)中任取 (f,g)且.在T(X,Y,θ)中任取h.下面分兩種情形.

情形1 若h∈Z(Y).設則于是

對于任意A∈Y/E且,則 ((h?f)θ)?1(A)=((h?g)θ)?1(A)=?.并且

是Ck(E)是左同余.

由 (f,g)∈Ck(E)知即對于任意

則 ((f?h)θ)?1(A)=((g?h)θ)?1(A)=?.此外,

于是Ck(E)是右同余.

情形2若設A∈Y/E且由引理2.1知(hθ)?1(A)是Y中一些E類的并.設其中Bi∈Y/E.由于

于是

進而RE((h?f)θ)=RE((h?g)θ),即|(h?f)θ|E=|(h?g)θ|E.

下面證明|(h?f)θ|E≤k. 設RE(fθ)={Cj}j∈J,其中Cj∈Y/E,|J|≤k.由(f,g)∈Ck(E)知

由引理 2.1知對于任意Cj,存在Dj,使hθ(Cj)?Dj.于是

從而|(h?f)θ|E=|(h?g)θ|E≤|(fθ)|E≤k.因此Ck(E)是左同余.

對于任意A∈Y/E,有 (fθ)?1(A)=(gθ)?1(A). 于是

即 ((f?h)θ)?1(A)=((g?h)θ)?1(A),|(f?h)|E=|(g?h)|E.注意到

則|(g?h)|E=|(f?h)|E≤|fθ|E.因此Ck(E)是右同余.故Ck(E)是同余.

其次證明對于 1≤k≤m,有Ck(E)∈γ?1(E,θ),為此只需要證明γ(Ck(E))=E.

于是γ(Ck(E))=E.故Ck(E)∈γ?1(E,θ).

最后證明Cm(E)=Cα(E),為此只需要證明Cα(E)?Cm(E).由于|Y/E|=m,于是Cm(E)={(f,g):?A∈Y/E,(fθ)?1(A)=(gθ)?1(A)}.在Cα(E)中任取 (f,g),設存在B∈Y/E, 使由引理 2.1 知 (fθ)?1(B),(gθ)?1(B)是Y中一些E類的并.取C∈Y/E,即且則

這與引理 2.2矛盾.因此對于任意A∈Y/E,有 (fθ)?1(A)=(gθ)?1(A).于是

故Cα(E)=Cm(E).

由定理3.1得到的一系列同余稱為一個同余鏈.根據這個同余鏈,有如下推論:

推論3.1 設σ是夾心半群T(X,Y,θ)上的同余且γ(σ)=E,則σ是α-同余當且僅當σ={(f,g):?A∈Y/E,(fθ)?1(A)=(gθ)?1(A)}.

推論3.2 設σ是夾心半群T(X,Y,θ)上的同余,E是Y上Tθ-等價關系.若

則對于任意A∈Y/E,有 (fθ)?1(A)=(gθ)?1(A),RE(fθ)=RE(gθ).

注3.1 當Y=X,θ=idX時,引理2.4,引理2.5和定理3.1就是文獻[3]中的一些結果.