一個四元條件代數不等式的證明
——兼擂題(122)解答

河南省南陽師范學院軟件學院2017級9班

李居之 (郵編：473061)

本刊2019年第2期刊登了趙忠華老師提供的擂題(122)如下：

問題設a、b、c、d>0,且abcd=1,證明：

本文給出擂題的證明.

為證明擂題，先證明四個引理

引理1 設a、b、c、d>0，則有

(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≥(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab).

證明設待證不等式左右之差為M，則

M=(a2bc+ab2c+b2cd+bc2d+c2da+cd2a+d2ab+da2b+b2d2+a2c2+2abcd)-(a2bc+ab2c+b2cd+bc2d+c2da+cd2a+d2ab+da2b+4abcd)

=b2d2-2abcd+a2c2

=(bd-ac)2

≥0

顯然成立.

引理2 設a、b、c、d>0，則有

(abc+bcd+cda+dab)2≥4abcd(ab+bc+cd+da).

證明因為(a+b+c+d)2

=[(c+a)+(b+d)]2≥4(c+a)(b+d)

=4(ab+bc+cd+da)，

所以

(a+b+c+d)2≥4(ab+bc+cd+da)

在這個不等式中作代換a→abc，b→bcd，c→cda，d→dab.

立得

(abc+bcd+cda+dab)2≥4abcd(ab+bc+cd+da).

引理3 設a、b、c、d>0，則有

(abc+bcd+cda+dab)(ab+bc+cd+da)≥4abcd(a+b+c+d).

證明

(abc+bcd+cda+dab)(ab+bc+cd+da)

=abc(ab+bc)+bcd(bc+cd)+cda(cd+da)+dab(da+ab)+2abcd(a+b+c+d)

=abc(ab+bc)+bcd(bc+cd)+cda(cd+da)+dab(da+ab)+2(a+b+c+d)

=4abcd(a+b+c+d)

從而原不等式成立，當且僅當a=b=c=d=1時等號成立.

引理4 設a、b、c、d>0，則有

(abc+bcd+cda+dab)3≥16(abcd)2(a+b+c+d).

由引理2與引理3左右相乘即得引理4成立.

現在，用引理1與引理4來證明擂題.

證明由引理1可得

3(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)+16

≥3(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)+16

=(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)+(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)+(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)+16.

利用四元均值不等式，得

3(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)+16

=16(a+b+c+d).

從而原不等式成立，當且僅當a=b=c=d=1時等號成立.

進一步，還可以證明攻擂題的一個加強式：

設a、b、c、d>0，求證：

(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)

評注(評注人：郭要紅，時間：2019，05，27)目前為止，本擂題收到攻擂稿件6份，其中4份解答是準確的，依來稿時間順序，作者依次是耿紹輝(河北承德，2019,04,17)，李居之(河南省南陽師范學院軟件學院2017級9班，473061，2019,04,24)，張云華(四川省成都華西中學，610051，2019,04,27) ，嚴復卓(甘肅省武威市第十八中學，733000，2019,05,06). 耿紹輝老師的證明采用了分類討論與逐步調整的方法，其余三位老師的證明方法本質上是一致的，李居之同學的來稿對問題的來龍去脈均有闡述，閱讀性更佳，限于篇幅，我們只選擇其中部分，作為解答刊出，本擂題獲獎者是耿紹輝老師.