高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課“軌跡方程的求法”的教學(xué)與思考

安徽省合肥市第一中學(xué)

董 潔 諸 敏 (郵編：230601)

復(fù)習(xí)課是高三教學(xué)中一種重要的課型，主要是幫助學(xué)生系統(tǒng)地鞏固已學(xué)知識(shí)，并進(jìn)行查缺補(bǔ)漏．更重要的是引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建完整而優(yōu)化的學(xué)科知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，培養(yǎng)學(xué)生從更高的視角去思考問題，從而提升學(xué)生的思維品質(zhì)．縱觀近幾年的高考數(shù)學(xué)試題，很多題目都是源于課本，而又高于課本的．在復(fù)習(xí)中，通過對(duì)例習(xí)題的深入挖掘和知識(shí)遷移，“編”出考題，利用發(fā)散思維“變”中出彩，使學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行再現(xiàn)、整合，運(yùn)用綜合、分析、比較、歸納、概括、類比等方法，綜合訓(xùn)練邏輯思維能力．讓學(xué)生從“編”與“變”的探究過程中掌握數(shù)學(xué)基本方法．

本文以一節(jié)高三復(fù)習(xí)公開課“軌跡方程的求法”為例，通過引導(dǎo)學(xué)生回歸課本，深入挖掘，鼓勵(lì)學(xué)生“編”出考題，在“變”中出彩，希望對(duì)高三復(fù)習(xí)課的教學(xué)有所啟發(fā)．

1 課堂教學(xué)簡錄

1.1 回歸課本，立足基礎(chǔ)，喚醒知識(shí)

由于本節(jié)課是高三第一輪復(fù)習(xí)課，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了曲線與方程的概念，求軌跡方程的基本方法．在課堂一開始，教師便引導(dǎo)學(xué)生快速回憶曲線與方程的關(guān)系，直接歸納了軌跡方程的求法，揭示了解析幾何的本質(zhì)，即用代數(shù)方法來解決幾何問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，確保軌跡方程的完備性與純粹性．

教學(xué)中，選取了人教A版《必修2》圓的方程第124頁習(xí)題4.1 B組第2題．長為x≥0,y≥0的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程.

師：請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立思考，再小組討論，總結(jié)出多種解法．

生1：如圖1所示，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)線段AB的中點(diǎn)x≥0,y≥0，則A(2x,0)，B(0,2y)．依題意知|AB|=2a,代入得x≥0,y≥0，化簡得x2+y2=a2．所以線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2=a2．

圖1

師：這里x、y有限制條件嗎？

生1：x≥0,y≥0，則線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2=a2(x≥0,y≥0).

師點(diǎn)評(píng)這種方法是直接法，通過已知條件，直接列出動(dòng)點(diǎn)(x,y)的關(guān)系式，化簡得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．

依題意，線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2=a2(x≥0,y≥0).

師點(diǎn)評(píng)這種方法是定義法，動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某條曲線(如圓，橢圓，雙曲線，拋物線等)的定義，從而可以直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．

所以線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2=a2(x≥0,y≥0).

師點(diǎn)評(píng)這種方法是相關(guān)點(diǎn)法(轉(zhuǎn)移法)，若所求動(dòng)點(diǎn)M依賴于已知?jiǎng)狱c(diǎn)而運(yùn)動(dòng)，則可將已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)x0、y0用所求動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)x、y表示出來，代入到已知?jiǎng)狱c(diǎn)x0、y0滿足的關(guān)系式中，從而求出軌跡方程.

圖2

生4:如圖2所示，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)線段AB的中點(diǎn)M(x,y)，過點(diǎn)M作x軸、y軸的垂線分別交于C、D兩點(diǎn).

所以線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程為：

x2+y2=a2(x≥0,y≥0)．

師點(diǎn)評(píng)這種方法是參數(shù)法，根據(jù)已知條件，選取合適的參數(shù)，建立曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)，得到動(dòng)點(diǎn)軌跡的普通方程．此方法要注意參數(shù)的取值范圍．

同學(xué)們通過對(duì)課本上習(xí)題的思考與探究，立足基礎(chǔ)，貼合教材，嘗試從不同的角度去解決軌跡方程問題.通過一題多解，加深了對(duì)于曲線與方程概念的理解，鞏固了軌跡方程的各種求法，幫助學(xué)生梳理知識(shí)體系，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)．課后學(xué)生還需重視基本技能的訓(xùn)練，熟悉求軌跡方程的各種方法，解題時(shí)注意去雜補(bǔ)漏，考慮到軌跡方程的完備性與純粹性，這樣才有利于提高和培養(yǎng)學(xué)生觸類旁通的思維品質(zhì)．

1.2 深入挖掘，知識(shí)遷移，發(fā)散思維

圖3

師:請(qǐng)同學(xué)們將課本上的這道習(xí)題，用數(shù)學(xué)語言描述出來．

生5:如圖3所示，A點(diǎn)、B點(diǎn)分別是射線OM、ON上動(dòng)點(diǎn)，OA⊥OB，|AB|=2a， 求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

師:分析本題提供的信息點(diǎn)，你能從哪些方面進(jìn)行切入？

生6:A點(diǎn)，B點(diǎn)所在的背景曲線(兩射線OM、ON，∠MON=90°)

生7:A點(diǎn)、B點(diǎn)的兩個(gè)約束條件:

①OA⊥OB(角度定值)；

②|AB|=2a(長度定值).

生8:所求動(dòng)點(diǎn)的屬性(求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程)．

1.3 “編”出考題，舉一反三，融會(huì)貫通

師:你能分別從以上3個(gè)切入點(diǎn)出發(fā)，通過改變部分條件，形成新的問題，“編”出新的考題嗎？

生9:改變切入點(diǎn)1的條件，“編”出考題(變式1)：已知A點(diǎn)、B點(diǎn)為拋物線y2=4x上異于原點(diǎn)O的兩動(dòng)點(diǎn)，OA⊥OB，求線段AB中點(diǎn)Q軌跡方程．

師:有同學(xué)可以解出學(xué)生9編出的考題嗎？

生10:用參數(shù)法：依題，直線OA的斜率存在且不為0，設(shè)lOA∶y=kx(k≠0)，

設(shè)線段AB中點(diǎn)Q(x,y)，

圖4

則線段AB的中點(diǎn)Q的軌跡方程為y2=2(x-4).

師:還有其它的方法嗎？

生11:用相關(guān)點(diǎn)法：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，線段AB的中點(diǎn)Q(x,y)．

所以4x1+4x2=4y2+32,8x=4y2+32，

即y2=2(x-4)為線段AB的中點(diǎn)Q的軌跡方程．

師:我們能否嘗試改變切入點(diǎn)2，切入點(diǎn)3的條件，“編”出不同的考題呢？

教師以上同學(xué)的回答非常好，同學(xué)們不僅能解出題目，而且也會(huì)自己“編”題啦．不過，對(duì)于“編”出的題目，還要考查一道新題的嚴(yán)謹(jǐn)性，科學(xué)性，簡潔性，多去思考出題者的意圖，能夠舉一反三，融會(huì)貫通．

1.4 “變”中出彩，發(fā)散思維，提升能力

師:除了以上同學(xué)提出的想法，老師也來變式出幾道題：

變式4 已知線段AB一端點(diǎn)A(4,0)，另一端點(diǎn)B在已知圓O:x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

變式6 已知長為4的線段AB,一端點(diǎn)A在x軸上，另一端點(diǎn)B在已知圓O:x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

變式7 (由人教A版《選修2-1》第81頁復(fù)習(xí)參考題B組改編)已知A點(diǎn)、B點(diǎn)為拋物線y2=4x上異于原點(diǎn)O的兩動(dòng)點(diǎn)，OA⊥OB，過點(diǎn)O作AB的垂線，求垂足H點(diǎn)的軌跡方程．

2 課堂教學(xué)反思

本節(jié)課的設(shè)計(jì)以課本上的習(xí)題為載體，充分發(fā)揮教師的引導(dǎo)作用，突出學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、推理、交流、變式、論證等活動(dòng)，有利于學(xué)生識(shí)記、理解和掌握知識(shí)．在課堂上，教師要敢于放手，多鼓勵(lì)學(xué)生思考問題，一題多解，一題多變，尊重學(xué)生的創(chuàng)新思維，不斷挖掘?qū)W生的縱向思維和橫向思維，注重知識(shí)的同化與遷移．

這種新穎的教學(xué)方式，對(duì)教師的綜合素質(zhì)要求比較高，教師要能夠宏觀把握整節(jié)課的導(dǎo)向、進(jìn)度及難度，不拘泥于教案及預(yù)設(shè)，并能統(tǒng)籌安排，因勢利導(dǎo)，完成知識(shí)的傳授和思想方法的滲透．章建躍曾談到，數(shù)學(xué)教師的基本任務(wù)是幫助學(xué)生把一個(gè)個(gè)具體知識(shí)理解到位并能用于解決問題．這恰恰強(qiáng)調(diào)了，要培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、交流合作和實(shí)際應(yīng)用的能力．

3 對(duì)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的幾點(diǎn)思考

3.1 固本浚源，找準(zhǔn)切入點(diǎn)

縱觀近幾年的高考試卷，許多試題在課本中都能找到原型，有的取材于課本中的定理，公理或者公式，有的取材于課本中的例題，習(xí)題，即“萬變不離其宗”．課本是高考大綱的重要載體，課本具有科學(xué)性，示范性，代表性，許多老師和學(xué)生在高三復(fù)習(xí)時(shí)往往忽視了課本的重要性，去依賴于大量的輔導(dǎo)資料，信奉“猜題”“押題”，殊不知課本才是高三復(fù)習(xí)之本．

作為教師，一定要固本浚源，善于鉆研挖掘教材，注重教學(xué)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí)要點(diǎn)，建構(gòu)知識(shí)體系，總結(jié)思想方法．教師可以選擇課本上的典型例題或習(xí)題作為切入點(diǎn)，重視課本解答過程的嚴(yán)謹(jǐn)性，科學(xué)性，去規(guī)范我們學(xué)生的答題步驟．

3.2 變式探究，激發(fā)生長點(diǎn)

許多高考試題是“源于課本，高于課本”的，高三復(fù)習(xí)課上選擇的例題，可以引自于課本，但要有典型性，層次性，靈活性，為學(xué)生探究創(chuàng)造提供廣闊空間.教師及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生課堂上思維的閃光點(diǎn)，激發(fā)高效課堂的生長點(diǎn)，并及時(shí)鼓勵(lì)與評(píng)價(jià)，啟發(fā)學(xué)生變式探究的能力.變式難度可以循序漸進(jìn)，變式之間保證思維的連貫與知識(shí)的遷移，讓學(xué)生體會(huì)創(chuàng)新的喜悅．鼓勵(lì)學(xué)生推陳出新，融會(huì)貫通，舉一反三，培養(yǎng)學(xué)生歸納，類比，聯(lián)想，發(fā)散，總結(jié)的能力，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，這才是高效課堂的最終目標(biāo).