對一道安慶“二模”試題的異議

安徽省樅陽縣宏實中學

朱賢良 (郵編：246700)

2019年3月21-22日，是安慶市高三“二模”考試時間．由于命題細致考究(安慶“二模”有專門的命題組)、參考學生眾多(整個安慶地區及周邊市縣的部分高三學生參加考試)、時間節點恰當(一輪復習即將結束、二輪復習即將開始)等原因，其考試成績具有重要的分析與參考價值，因此每年的安慶“二模”都備受重視．理科數學第12題引起了筆者的關注與思考．

1 試題與參考答案

題目(2019年安慶“二模”·理12)若函數f(x)=logax(a>0且a≠1)的定義域與值域都是[m,n](m

A．(1,+∞) B．(e,+∞)

參考答案函數f(x)=logax的定義域與值域相同等價于方程logax=x有兩個不同的實數解．

圖1

2 圖象法另解

圖2

3 被遺忘的情形

不難發現，上述兩種解法實際上都是建立在“a>1”這一前提下的，其本質是研究a>1時，y=logax與y=x的交點個數問題，也就是函數y=ax與y=logax的交點個數問題．而未對“0

即m=an=logan．同理可得n=am=logam．問題歸結為方程ax=logax的兩個不等實根m、n，即曲線y=ax與y=logax至少存在兩個不同交點(注意：由于m=an=loganm，故此兩個交點均不在直線y=x上)．

圖3

圖4

同底的指、對數函數的圖象的交點個數問題是一個極易犯錯的問題，其研究與分析在中學數學期刊上并不鮮見．許多師生認為0

事實真的如此嗎？借助畫圖軟件，繪制了底數a=0.02時的函數y=ax與y=logax的圖象，如圖4所示．根據圖象可以看出，y=0.02x與y=log0.02x的圖象共有三個交點，其中有兩個交點(0.0315,0.8842)與(0.8842,0.0315)(橫、縱坐標為四舍五入后的近似值)不在直線y=x上，即函數f(x)=log0.02x在區間(0.0315,0.8842)上的值域也是(0.0315,0.8842)．再以底數a=0.001為例繪制函數圖象(圖5)，函數f(x)=log0.001x在區間(0.0011,0.9928)上的值域還是(0.0011,0.9928)．

圖5

因此，本題的四個選項均不正確，其根源在于對同底數的指、對數函數圖象的交點個數存在錯誤的認知．

4 正解