兩個常用不等式的下界估計

安徽省舒城縣杭埠鎮中心學校

丁遵標 (郵編：231323)

匡繼昌教授在編著的《常用不等式》一書中，收錄了下面的兩個幾何不等式：

其中a、b、c為△ABC的三邊長，p為半周長，R為外徑，r為內徑，∑表示循環和.

經過探討，現已得到它們的下界估計.

證明(1)因為∑bc=p2+4Rr+r2，

∑a2=2(p2-4Rr-r2)，

∏abc=4Rrp(∏表示循環積)，

(2)因為∑a2c≥3∏a，∏(p-a)=r2p

由Gerretsen不等式知

p2≤4R2+4Rr+3r2，

①

因為∑a=∑c=2p,

②

由①、②得：

結合文中定理及Guba不等式，有

這樣，我們得到一個有趣的三角不等式：