需要添加輔助線求解嗎？

江蘇省南京金陵中學(xué)河西分校

李玉榮 (郵編：210019)

問(wèn)題(2017武漢)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC,CO的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)D．

(1)求證：AO平分∠BAC；

圖1

解法1(1)如圖1，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)H，連接OB,

因?yàn)锳C=AB，OB=OC，所以點(diǎn)A、O在BC的垂直平分線上，

所以O(shè)A⊥BC，又AC=AB，所以AO平分∠BAC；

圖2

所以AH=AO+OH=9，

由(1)知，∠BAH=∠CAH，

設(shè)DK=3a，則AK=9a，

此題的難點(diǎn)是求CD的長(zhǎng)，類(lèi)似的，先給出求CD的第2種解法：

圖3

解法2如圖3，作DK⊥BC于點(diǎn)K，

評(píng)注這兩種解法添加的輔助線為DK⊥AH(DK⊥BC)，從本質(zhì)上看是DK∥BC(DK∥AH)構(gòu)造“A型”或“X型”相似三角形，但圖中的點(diǎn)D是“未定點(diǎn)”(AD、BD、OD、CD均為未知數(shù))，且所添的輔助線破壞了已知的AO(BH)，導(dǎo)致解題過(guò)程較為復(fù)雜，為何不從另外的五點(diǎn)A、B、H、C、O添加輔助線入手呢？

圖4

解法3如圖4，延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)K，連接BK，則BK=2OH=8，且BK∥AH，

圖5

圖6

圖7

解法6如圖7，作AK∥DC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，因?yàn)锳K∥OC，所以△AHK∽△OHC，

因?yàn)锳K∥DC，所以△ABK∽△DBC，

圖8

解法7如圖8，作OK∥BC交AB于點(diǎn)K，

因?yàn)镺K∥BH，所以△AOK∽△ABH，

因?yàn)镺K∥BC，所以△DOK∽△DBC，所以

圖9

解法8如圖9，作OK∥AB交BC于點(diǎn)K，

因?yàn)镺K∥AB，所以△HOK∽△HAB，

因?yàn)镺K∥BD，所以△COK∽△CDB，

圖10

解法9如圖10，作HK∥CD交AB于點(diǎn)K，

因?yàn)镠K∥DO，所以△ADO∽△AKH，

所以△HKB∽△CDB，

圖11

解法10如圖11，作HK∥AB交CD于點(diǎn)K，

因?yàn)镠K∥BD，所以△HKC∽△BDC，

圖12

解法11如圖12，作CK∥AB交AH延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，顯然△BHA≌△CHK(AAS)，所以HK=AH=9，

圖13

解法12如圖13，作CK∥AH交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，因?yàn)锳H∥CK，所以△ABH∽△KBC，

圖14

圖15

解法13如圖15，由(1)知∠DAO=∠OAC，

因?yàn)镺A=OC，所以∠OAC=∠OCA，

所以∠DAO=∠OCA，又∠ADO=∠CDA，

評(píng)注此解法依托第(1)問(wèn)的中介作用，揭示了命題中的條件與隱含條件，為尋求解題途徑指明了方向，無(wú)需添加輔助線，使解決問(wèn)題的方法簡(jiǎn)單流暢、別具一格，達(dá)到了化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，而且還可以開(kāi)拓學(xué)生的思維，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)也大有裨益．

中考試題都是經(jīng)過(guò)命題專家在課標(biāo)、教材的指引下精心設(shè)計(jì)的，只有深入其中去思考、去體會(huì)、去研究，才會(huì)發(fā)現(xiàn)其引導(dǎo)功能和教學(xué)價(jià)值．在日常教學(xué)中，教師若能選取類(lèi)似本文提到的這樣的試題，留給學(xué)生足夠的思考時(shí)間，提供給學(xué)生展示自己想法的機(jī)會(huì)，并組織學(xué)生對(duì)不同思路進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋容^和討論，學(xué)生就能自然地把題目涉及到的基本圖形的相關(guān)性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)加以聯(lián)系，構(gòu)建成一個(gè)整體，達(dá)到靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的程度．