對一道導數試題的深入探究

安徽省合肥市第二中學

黃 鑫 (郵編：230022)

1 原題再現

2019年4月合肥一中高二期中考試數學試卷第12題如下：

已知函數f(x)=a(x+1)ln(x+1)-x2-ax(a>0)是減函數，則實數a=( )

該題題干簡約，解法靈活多樣，深入考查了函數的單調性、極值或最值、恒成立問題，對數形結合、轉化與化歸、分類討論的數學思想方法有深入的考查.本題作為選擇題的壓軸題，有較大難度，從學生解答情況來看，得分率也很低.經研究發現，本題與2019年合肥市高三二模第21題第一問是一樣的，顯然這對高二學生要求較高.本題先把函數f(x)是減函數轉化為f′(x)≤0恒成立，下面對該題做進一步探究.

2 解法探究

思路1 轉化為求f′(x)的最大值問題

解法1f(x)的定義域為(-1，+∞)，f′(x)=aln(x+1)-2x.

由f(x)是減函數得，對任意的x∈(-1，+∞)，都有f′(x)=aln(x+1)-2x≤0恒成立.

又g(0)=0，故對?x∈(-1,+∞)，g(x)≤g(0)恒成立，即g(x)的最大值為g(0).

思路2 變量分離，轉化為求f′(x)的最大值問題

解法2 由f(x)是減函數得，f′(x)≤0恒成立，即aln(x+1)-2x≤0在(-1,+∞)內恒成立.從而有：當-1

①

②

記h(x)=(x+1)ln(x+1)-x，則h′(x)=ln(x+1).

所以當-10時，h′(x)>0.

故[h(x)]min=h(0)=0，所以當x>-1時，h(x)≥0，從而g′(x)≥0，所以g(x)在(-1,+∞)內是增函數.

由①，得a≥g(0)=2，即a≥2.

由②，得a≤g(0)=2，即a≤2.

綜上可得，a=2.

思路3 轉化為兩個函數比較大小問題，再利用數形結合

3 教學啟示

上述探究給出了處理此類問題的三種思路，對處理類似問題有較好的借鑒作用.一般情況下，對于含參函數是單調的，往往要求參數的取值范圍，本題很有意思，僅在a的一個取值處函數是減函數，這樣的函數還有哪些？值得進一步探究.在實際教學中，我們要借助對典型問題的深入研究，達到對數學知識、方法的觸類旁通，切實提高教學的有效性，使數學核心素養落地生根.