例題教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生走夯實(shí)基礎(chǔ)之路

安徽省蚌埠市第三中學(xué)

程雷虎 (郵編：233000)

1 試題呈現(xiàn)

本題是湖北省八校2019屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理科)第16題，是填空題的壓軸題，題目?jī)?nèi)涵豐富，難度中等偏上，在解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式交匯處綜合命題，側(cè)重考查數(shù)到形的轉(zhuǎn)化以及綜合應(yīng)用能力，涉及到數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、以動(dòng)變靜等數(shù)學(xué)思想方法.

從本題解答情況來看，絕大部分的學(xué)生不知從何處下手，還有一部分學(xué)生，有了思路，但是在中間的環(huán)節(jié)出現(xiàn)“落水”現(xiàn)象，導(dǎo)致功虧一簣.基于此，筆者以此題為依托，展開例題評(píng)講分析，實(shí)現(xiàn)例題教學(xué)價(jià)值最大化.

2 逐層分析 知識(shí)點(diǎn)鏈接 夯實(shí)基礎(chǔ)

2.1 形式表征 找切入點(diǎn)

此題初看是一道雙變量函數(shù)求最值問題，通過不等式角度或控制變量求導(dǎo)，實(shí)現(xiàn)問題求解，但是，對(duì)于高中生來說，以上解法都過于復(fù)雜，而且也很難處理.

為了讓學(xué)生對(duì)于這類形式表征的掌握，知識(shí)點(diǎn)鏈接：

分析函數(shù)可以變形為：

圖1

從形式上可以看出，其幾何意義是x軸上的動(dòng)點(diǎn)M(x,0)到定點(diǎn)A(0,1)與B(12,-4)的距離之和|MA|+|MB|，如圖1所示.

由于兩點(diǎn)間直線段距離最短，所以|MA|+|MB|≥|AB|=13.

當(dāng)M點(diǎn)與P點(diǎn)重合時(shí)等號(hào)成立，所以fmin(x)=13.

點(diǎn)評(píng)事物之間是相互聯(lián)系的，在解題時(shí)，要善于運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)來看待問題.教師通過穿插此類問題形式的知識(shí)點(diǎn)，一方面加深鞏固學(xué)生對(duì)這類題型的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)調(diào)了通過形式找問題切入點(diǎn)的重要性；另一方面，復(fù)習(xí)了數(shù)到形轉(zhuǎn)化的思想方法，起到事半功倍的效果.

2.2 借助導(dǎo)數(shù) 精準(zhǔn)作圖

圖2

圖3

兩種結(jié)果的出現(xiàn)，不是偶然現(xiàn)象，而是情理之中.圖形錯(cuò)誤，在解題過程中，會(huì)導(dǎo)致差之毫厘失之千里.那么如何判斷呢？作差比較，借助導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)圖象關(guān)系.

為了加深學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決“f(x)>g(x)”型證明問題，知識(shí)點(diǎn)鏈接：

利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決“f(x)>g(x)”型證明問題，有兩種方法：

(1)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性直接證明，注意尋找函數(shù)值在取何自變量時(shí)等于零；

(2)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的最值證明.

例2 設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=ex-2x+2a,x∈R.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)求證：當(dāng)a>ln2-1，且x>0時(shí)，ex>x2-2ax+1.

分析(1)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2,+∞)，極小值為f(ln2)=2-2ln2+2a，無極大值.

(2)設(shè)函數(shù)F(x)=ex-x2+2ax-1，則F′(x)=ex-2x+2a，由(1)得a>ln2-1時(shí)，F(xiàn)′(x)的最小值為f(ln2)=2-2ln2+2a>2-2ln2+2(ln2-1)=0，所以F′(x)>0，從而F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.又F(0)=0，故F(x)>F(0)，即x>0時(shí)，ex>x2-2ax+1.

點(diǎn)評(píng)在解題教學(xué)中，需要對(duì)所涉及到的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行回顧，經(jīng)過充分研究后，學(xué)生才能對(duì)解題思維更加深化，知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)一步完善.

2.3 性質(zhì)運(yùn)用 再次轉(zhuǎn)化

圖4

圖5

點(diǎn)A、B、C的位置關(guān)系如圖4所示，所求的目標(biāo)是|AB|+|BC|的最小值.注意，A、B、C三點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn)，需要以動(dòng)制靜.又點(diǎn)B在拋物線上且BC⊥x軸，可以根據(jù)拋物線的性質(zhì)，將|BC|作進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，如圖5所示.

|BF|=|BD|，所以|AB|+|BC|=|AB|+|BF|-1≥|AF|-1，點(diǎn)F是定點(diǎn)，此時(shí)，將三個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題，而解決這一步的關(guān)鍵是拋物線的性質(zhì).在高考中，拋物線的性質(zhì)占據(jù)了至關(guān)重要的地位，尤其是拋物線的最基本定義.

例3(2009全國Ⅱ卷理9)已知直線y=k(x+2)(k>0)與拋物線C:y2=8x相交于A,B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，則k的值為( )

2.4 運(yùn)用不等式 問題解決

點(diǎn)評(píng)此處相切的臨界狀態(tài)是解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，學(xué)生應(yīng)該知道一些常見的不等式，它是解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題中的必備環(huán)節(jié).在此處，教師要和學(xué)生一起，再次回顧常見不等式,這樣才真正以講題抓基礎(chǔ)，以基礎(chǔ)促解題.

3 反饋訓(xùn)練 鞏固提升

題2(蚌埠市2019屆高三二質(zhì)檢理科第11題)已知F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A在拋物線上，且|AF|=5，則|PA|+|PO|的最小值為( )

題3 (2018屆安徽省“皖南八校”第三次(4月)聯(lián)考)若x、a、b均為任意實(shí)數(shù)，且(a+2)2+(b-3)2=1，則(x-a)2+(lnx-b)2的最小值為( )

以上從一個(gè)數(shù)學(xué)例題出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生走夯實(shí)基礎(chǔ)之路，在教師引導(dǎo)下，問題解決的每一個(gè)環(huán)節(jié)都離不開基礎(chǔ).題目從形式表征出發(fā)，撬開問題解決的門檻，借助于數(shù)形結(jié)合的思想，將待求式轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)的距離，立足幾何直觀求解，在動(dòng)態(tài)問題中把握拋物線基本性質(zhì)定義和相切這一臨界狀態(tài)，要求學(xué)生具備敏銳的觀察和聯(lián)想能力，要求學(xué)生有較強(qiáng)的基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)構(gòu)，回應(yīng)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中對(duì)直觀想象能力的要求以及基礎(chǔ)知識(shí)的把握.真正地體現(xiàn)了高考多一點(diǎn)想、少一點(diǎn)算、考思維能力、考基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的目標(biāo).

很遺憾的是，如此貫穿多個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的好題，因?yàn)榻處熣疚惠^低，沒有將基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)提升高度，只求把答案講給學(xué)生聽，至于解法涉及到哪些知識(shí)點(diǎn)，知識(shí)點(diǎn)學(xué)生是否會(huì)，學(xué)生應(yīng)具備怎樣能力，要形成哪些核心素養(yǎng)卻思之甚少，而這樣的現(xiàn)象在當(dāng)下課堂例題評(píng)講中還十分普遍.正如著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞所說：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能拿出一個(gè)有意義的但又不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個(gè)方面，使其通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”從一些典型的數(shù)學(xué)問題挖掘知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生扎實(shí)基礎(chǔ)，活用基礎(chǔ)知識(shí)，這有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的習(xí)慣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力.