再構知識系統 落實核心素養
——“一次函數復習”的教學設計與評析

安徽省合肥市包河區教研室

汪洪潮 (郵編：230051)

安徽省合肥市海頓學校

曹玉華 (郵編：230051)

前不久，在合肥市包河區九年級數學復習課研討活動中，筆者執教了一節復習課，課題是“一次函數”.為上好本節課，筆者認真查看了《義務教育數學課程標準(2011年版)》對一次函數的要求，重拾教科書，再理知識結構，大膽設計教學內容，有效組織實施，給與會老師留下深刻印象.現對本節課做回顧評析，與各位同仁分享交流.

1 學情分析

該授課班級生源整齊，基礎扎實，接受能力強，數學成績好.學生在前面的學習中已經掌握了一次函數相關知識，積累了用一次函數模型解決問題的基本方法和初步經驗，具有一定的觀察、概括經驗和能力，會運用基本數學思想方法解決簡單的數學問題.此時學生的思維主要以具體直觀形象思維為主，處在由具體直觀形象思維向抽象邏輯思維發展的階段.

2 復習目標

(1)掌握一次函數的概念、圖象和性質，會用待定系數法確定一次函數的表達式；理解一次函數與一次方程(組)、一次不等式(組)的關系；理解一次函數的圖象是一條直線；運用一次函數模型解決實際問題.

(2)經歷梳理一次函數相關知識的過程，感受函數學習的基本套路和方法，提高觀察、分析和解決問題的能力，提高綜合運用函數模型解決實際問題的能力.

(3)體會數學知識的普遍聯系，體會數學來源于生活，體會數形結合思想.

3 范例設計

3.1 復習回顧，知識再構

師：八年級我們學習了一次函數的有關知識，還記得學習了哪些內容？怎么學習的？

生1：一次函數的定義、圖象及性質、一次函數與一次方程(組)、一次不等式(組)的關系、一次函數的應用等知識.

生2：通過畫圖、觀察圖象的方法研究一次函數，用到了待定系數法、從特殊到一般、數形結合等思想方法.

師：我們學習一次函數，是從生活中的實例出發，通過抽象、概括得到一次函數的定義，接著學習一次函數的三種表達形式：解析式、列表法和圖象法；再利用數形結合的方法，由特殊到一般地研究一次函數的圖象和性質；接下來學習一次函數與一次方程(組)、一次不等式(組)的聯系，最后學習一次函數模型的應用.你能將這些知識和涉及的思想方法有條理地梳理出來嗎？

師生配合，共同完成如下知識結構圖：

教學示范說明本片段教師通過三個問題，調動學生思維，引導學生回憶所學一次函數的有關知識、思想方法和邏輯順序.由于學生頭腦中的舊知往往是零散的，孤立的，因此教師必須引導學生從知識結構的角度，梳理知識的發生、發展順序，重構知識網絡，理清一次函數研究的基本內容和一般方法.

師：通過學習，我們知道一次函數的表達式是y=kx+b，其中k≠0，k、b是常數，那么常數k、b有什么幾何意義呢？

生3：當k>0時，圖象呈上升趨勢，y隨x的增大而增大；當k<0時，圖象呈下降趨勢，y隨x的增大而減小.

生4：|k|越大，直線越陡，|k|越小，直線越平緩.

生5：b是圖象與y軸的交點縱坐標，也叫截距，當b>0時，圖象交y軸于正半軸；當b<0時，圖象交y軸于負半軸.

師：回答的很全面，并注意了分類討論.k的值決定了直線的陡與緩，即直線相對于x軸的傾斜程度，我們還學過哪個量也用來刻畫傾斜程度？

功能分析第一環節的目的是回顧一次函數概念、圖象及性質，揭示k、b的幾何意義，幫助學生建立起“數”與“形”的聯系.將后續學習的坡度、坡角等相近概念與k聯系，將不同領域知識進行綜合，既揭示它們之間的本質聯系，也為后續學習做鋪墊.

教學示范說明：復習回顧環節，不僅要引導學生梳理一次函數的有關知識和研究方法，還要理清研究一次函數的基本套路，這種套路也是研究其它函數的基本套路.教學時，要通過“文字語言”、“圖形語言”、“符號語言”的相互配合與轉化，促進學生對數學語言理解，對函數性質的理解，對數形結合思想方法的理解.

3.2 回歸生活，加深理解

師：列出下列問題的函數關系式，并思考求函數解析式用的是什么方法？這里的k和b有什么現實意義嗎？

(1)張師傅每小時加工零件30個，則他加工零件的總數y(個)與他加工時間x(小時)之間的函數關系是；

(2)商店出售某種瓜籽，購買瓜籽及包裝袋的費用如下表：

瓜籽數量x(kg)1234…瓜籽和包裝袋的費用y(元)2.24.26.28.2…

則瓜籽和包裝袋的費用y(元)與購買瓜籽的數量x(kg)之間的函數關系是.

生7：(1)y=30x；(2)y=2x+0.2.求函數解析式用的是待定系數法.

生8：第(1)個問題中，k的意義是指工作效率；第(2)個問題中，k的意義是指瓜籽的單價；b的意義是指包裝袋的費用.

師：第(2)個問題中，k是如何求得的？

所以y=2x+0.2.

功能分析由淺入深，設置兩道簡單的實際應用問題，將正比例函數概念、待定系數法、常數k、b的實際意義等問題進行檢測和回顧.既訓練了學生的解題能力，又將一次函數模型應用于生活實踐，賦予函數更深、更廣的現實意義，有利于學生對函數模型的理解和應用.通過將任意兩點坐標(x1,y1)、(x2,y2)代入函數解析式，得到關于k的解，有利于幫助學生理解k的本質是變化率，為高中學習做鋪墊.

3.3 深度思考，揭示本質

師：為什么一次函數的圖象是一條直線呢？

圖1

所以∠BAF=∠CBN，即線段AB和線段BC的傾斜程度相同，即AB∥BC.

又知它們經過同一點B，故A、B、C三點在同一直線上.

師：思路嚴謹，很有創意！其實，兩條直線解析式中只要k相同，或直線與x軸正半軸夾角相同，直線的傾斜程度就相同，這樣的直線就是平行的.因此，常數k和傾斜角α是刻畫兩條直線位置關系的重要元素，具體關系如何，可以課后繼續探究.

功能分析在八年級學習一次函數圖象及性質時，對“一次函數的圖象是一條直線”這一結論是通過畫圖直觀感知的，或者通過列表觀察得到結論的，但都沒有進行嚴格的證明.在中考復習時，結合三角函數知識及坡度等概念，對該結論進行證明，不僅回答了初學時對“為什么一次函數的圖象是一條直線”的困惑，還將直線的傾斜程度、坡度、變化率等概念有機聯系，揭示了知識的本質.

3.4 數形結合，建立聯系

師：畫一次函數y=2x+0.2圖象的一般步驟是什么？

生11：畫一次函數的圖象有三個步驟：列表，描點，連線.

師：如果一次函數y1=k1x+b1的圖象如圖2所示，如何觀察圖象呢？從圖象中可以得到什么信息呢？

生12：在圖象上任意找一點，過這一點作x軸垂線，垂線交x軸所得點的橫坐標是自變量的取值；過這一點作y軸垂線，垂線交y軸所得點的縱坐標是函數的值.

生13：由圖象可知，當x<0時，y>60,x=0時，y=60,x>0時，y<60；當x<2時，y>0,x=2時，y=0,x>2時，y<0.

生14：當0

圖2

生15：由直線與y軸交于(0,60)，可知直線的截距是60，即直線解析式中b=60；再由待定系數法，可求得直線的解析式為y1=-30x+60.

圖3

師：如圖3，如果增加一條直線y2=k2x+b2，觀察圖象，你又能得出哪些結論？

生16：由待定系數法可求得直線的解析式為y2=20x-10.

生18：由交點坐標，還可以得到：當x>1.4時，-30x+60>20x-10；當x=1.4時，-30x+60=20x-10；當x<1.4，-30x+60<20x-10.

師：由圖象信息，我們可以求出解析式、方程(組)的解、不等式的解集，圖中還能看出不等式組及其解集嗎？

生19：可以，如不等式組

師：兩條直線與坐標軸圍成了△ABC，你能求出它的面積嗎？

師：求函數圖象與坐標軸圍成的三角形面積時，通常以平行于坐標軸的邊為底，計算出底邊的長及其相應的高.如果底邊在x軸上(或與x軸平行)，且端點橫坐標分別為x1、x2，則其長為|x2-x1|，如果在y軸上(或與y軸平行)，且端點縱坐標分別為y1、y2，則其長為|y2-y1|.

教學示范說明函數解析式是從“數”的角度揭示兩個變量之間的對應關系，函數圖象則是從“形”的角度刻畫兩個變量之間的對應關系.二者各有優劣，正如“數形結合百般好”，研究一次函數問題，必須密切聯系“數”與“形”兩個方面.通過觀察圖象特征，結合點的坐標，有機地將一次函數、一次方程(組)、一次不等式(組)等內容有機融合在一起，從而幫助學生深刻理解和把握“三個一次”之間的聯系.補充“求三角形面積”問題，目的是引導學生感受用代數方法解決幾何問題，滲透“兩點間距離的坐標公式”.

3.5 應用模型，回歸生活

圖4

例1 如圖4，A、B兩地相距60km，甲從A地去B地，乙從B地去A地，圖中l1、l2分別表示甲、乙兩人離B地的距離y(km)與甲出發時間x(h)的函數關系圖象.

(1)根據圖象，說說乙的行駛時間和速度；

(2)解釋交點A的實際意義；

(3)甲出發多少時間，兩人之間的距離恰好相距5km；

(4)若用y3(km)表示甲、乙兩人之間的距離，你能在坐標系中畫出y3(km)關于時間x(h)的函數關系圖象嗎？

功能分析一次函數模型在生活中很常見，當物體勻速運動、單價一定、工作效率不變等時，往往都可以用一次函數模型去刻畫.本例題以行程問題為載體，由淺入深，由易到難，設置四個問題，引導學生逐步探究.問題設置先由“形”到“數”，再由“數”到“形”，拓展了學生思維的深度與廣度，滲透數形結合與分類討論思想，讓學生充分感受一次函數模型是刻畫現實世界的有效工具.

教學示范說明本例是在復習一次函數解析式、“三個一次”的基礎上推進的.教學時，要關注前后兩個圖形的聯系，淡化重復計算，注重方法分析，及時歸納總結解決問題的思路和方法，即理解圖象中關鍵點及每段圖象的實際意義，利用待定系數法求出相應圖象的函數解析式，把實際問題轉化為數學問題進行解答.本例的難點是第(4)問理解“甲、乙兩人之間的距離y3km”與“甲出發時間xh”之間的函數關系，可以輔助線段圖或用幾何畫板演示幫助學生理解，引導學生學會按時間節點分類討論.

例2 為了解某臺新機床生產產品的質量，工作人員每隔1小時對該機床生產的合格產品數量進行統計，記錄的數據如下表：

時間t/小時123456合格產品數量y/件152944627589

操作：在下面的平面直角坐標系中描出表格中數據對應的點；

思考：(1)根據圖中點的分布情況，猜測y關于t的函數形式，求出其表達式；

(2)根據你建立的模型，估計多少小時該機床生產的合格產品數量達到300件.

功能分析本題是用一次函數模擬數據，是統計推理，屬于歸納推理范圍，是培養學生推理能力的重要方面，展示了函數模型的應用價值，突出建立數學模型的思想方法和實際意義.由于表格中數據并非嚴格的線性變化，解答時，需要學生先描點、觀察，再將圖象近似地看成一條直線，然后選擇盡可能靠近直線的點，求出函數解析式，再去估算最后的結果.

教學示范說明用函數模型去解決實際生活中的問題，同以往直接給出標準的函數表達式去解決問題不同，教學中要給學生充分的時間，讓他們在體會、交流與探究中學習，總結歸納一次函數、二次函數與反比例函數三種模型的異同點，掌握用一次函數模型模擬實際問題的方法.

4 設計說明

本節復習課采用問題驅動下的學生自主重建知識結構，自主探究模型應用的學習方式，在問題解決的過程中，將知識的回顧、綜合、拓展糅為一體，將能力提升與思維發展融于其中.整個教學過程很好地體現了學生的主體地位，體現了新課程理念下教師的角色轉變.重點突出以下幾個方面.

4.1 舊知梳理，關注研究方法與套路

作為中考復習課，對一次函數相關內容的學習已經完成，本課通過對舊知梳理，引領學生總結歸納研究一次函數的基本套路：呈現生活實例，抽象概括得到一次函數的概念，從特例正比例函數入手，研究一次函數的圖象和性質，探究一次函數與相關知識的聯系，應用一次函數模型的解決實際問題.這種套路也是學習和研究其它函數的基本套路.在具體的學習過程中，抽象與概括、從特殊到一般、分類討論、數形結合等思想方法也是數學學習的基本方法.

4.2 用函數觀點審視，重建認知結構

在中考復習中，對已學過的舊知，需要不斷地重新認知，重新構建知識體系.這既包含對舊知的再認識，也包括與相關知識的聯系和綜合.本課通過對一次函數相關知識的回顧，將一次方程(組)、一次不等式(組)、銳角的正切值、坡度等知識融入課堂，這種再認識不是原來水平上的重復，而是在更高的起點上的動態分析，是用一次函數知識統領這些數學對象，既體現函數的重要性，也為后續研究做鋪墊.

4.3 重視數學思想方法的滲透

本課教學，不僅著眼于具體題目的解答，關注符號語言與圖形語言的相互轉換，更關注學生數學思想方法的領悟.教學時，通過具體的案例，將數形結合、特殊與一般、分類討論、模型思想、轉化、類比等思想滲透其中，并通過相應練習促進學生對基本思想方法的領悟.

4.4 重視函數模型的實際應用

抽象的函數概念必須通過具體的應用才能得到深刻的理解.本課教學著力于將函數知識應用于問題解決中，通過問題的引申，將函數圖象、交點坐標、函數模型等問題與實際場景相結合，使學生在解決實際問題的過程中，感受函數自變量取值范圍的現實意義，感受收集數據與分析數據之間的聯系，提高實踐意識和應用數學知識的能力，增長建立數學模型的經驗，這種能力和經驗對學生的終身發展是大有裨益的.