傳統數學好課中有核心素養落實嗎？

江蘇第二師范學院數學系

胡晉賓 (郵編：210013)

南京師范大學附中數學組

劉洪璐 (郵編：210003)

1 研究緣起

《普通高中數學課程標準(2017年版)》以數學核心素養為基本理念，指出數學核心素養是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，數學核心素養包括數學抽象等6種.許多一線優秀教師的日常教學設計，就與數學核心素養落實是高度契合的.2017年12月1日是百年名校南師附中的教學開放日，數學組資深教師蘭松斌應邀開設了一節《三角函數的周期性》的公開課并進行了網絡直播，受到了許多專家和聽眾的一致好評.以下結合現場觀摩和錄像整理，從數學核心素養的課堂落實角度進行探討.

2 過程實錄

2.1 教學導入(時間00′00″—07′50″)

師：今天是12月1日，農歷丁酉年十月十四，前兩天南京的天氣非常沉悶，今天終于出現了太陽，我們當然希望也有月亮，正好我早晨打開手機一看日歷，明天就是十五啦！我們常說，十五的月亮最圓，我忽然想起了這樣一副對聯：天上月圓，人間月半，月月月圓逢月半；今夕年尾，明朝年頭，年年年尾接年頭.請同學們給它加一個橫批吧.

生(眾)：周而復始.

師：很好，這是一個周而復始的現象.在日常生活中、在自然界，我們常常會遇到類似的現象.同學們，你還能舉出類似的周而復始的現象嗎？

生(眾)：晝夜交換、四季更替、擺鐘、時鐘、人的心跳.

師：嗯.人的心跳，要是這個人生病了怎么辦？(就不是周期性的)(學生笑)

生：太陽直射點移動.

師：這個問題比較專業，我不能加以判斷.還有嗎？

生：車輪上一點的軌跡.

師：這個應該是的，這個應該是旋輪線……慢，這個可能不一定.(學生笑)……你這么說，是有一些問題的……還有嗎？

生：紅綠燈.紅綠黃交替.

師：類似的現象舉不勝舉.比如：星期幾過7天就重復，白居易的“離離原上草，一歲一枯榮”，周華健的“黑夜又白晝，春去春會來，花謝花會再開……”我們統稱這種“周而復始”現象為周期性.(板書“周期性”)

問題1 今天是12月1日星期五，再過1000天是星期幾？(學生很快得到答案)

師：這個問題很簡單，是被7除的余數.讓我們從數學上，更確切地說從函數觀點來看，自變量x(與今天相隔的天數)與函數y(星期幾)之間有何關系.教師板書并歸納.x：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9…對應的y：5，6，7，1，2，3，4，5，6，7，…從中我們發現x與y有怎樣的關系式？

生：f(x+7)=f(x).

師：這種函數具有“周而復始”的性質.什么叫做周而復始呢？就是又回到原來的函數值了.

問題2 教材第18面誘導公式一中，令k=1，有sin(α+2π)=sinα，cos(α+2π)=cosα，tan(α+2π)=tanα.從上面的公式中，能看出y=sinx，y=cosx，y=tanx的共同特征是什么？能用一個數學表達式表示出來嗎？

生：f(x+2π)=f(x).

2.2 講解新課(時間07′51″—14′30″)

師：這兩個例子都具有周而復始的性質.從這個誘導公式一可以看出，三角函數具有周期性.正弦函數、余弦函數、正切函數具有奇偶性，但具有奇偶性的不只有三角函數.通過剛才的討論，我們發現三角函數具有周期性，那么具有周期性的函數是否只有三角函數呢？為此，要研究怎樣的函數可以稱之為周期函數，也就是說，怎樣給周期函數下一個定義呢？從上面2個例子中，如何概括出周期函數的定義呢？

生：一般地，如果對于函數f(x)，存在一個非零的常數T，使得定義域內的每一個x值，都滿足f(x+T)=f(x)，那么函數f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期.

師：你為什么要說是非零常數T呢？

生：假如T=0的話，那么f(x+T)=f(x)對于任意的函數都成立，那就沒有意義.

師：從以上定義可以看出，正弦、余弦和正切函數都以2π為周期.既然周期性如此定義，定義域內的每一個值都滿足條件，那么它對定義域有什么要求嗎？這個問題比較難、不好思考，具體地，比如T>0，將會怎樣？

生：定義域大于0.

師：當T>0時，根據f(x)=f(x+T)=f(x+2T)=…=f(x+nT)，那么在數軸右邊將走向無窮.如果T<0，那么在數軸左邊是無界的.所以對于周期函數，定義域至少有一端是無界的，可以在一端是有界的.因此，周期性對定義域是有嚴格要求的.注意：①T是非零常數；②任意x∈D(D為定義域)，都有x+T∈D，可見周期函數定義域必定至少一端無界；③周期性是反映函數在定義域上的整體性質(同奇偶性單調性一樣).

2.3 鞏固理解(時間14′31″—30′18″)

生：①③錯誤，②④⑤正確.

師：①是錯誤的，為什么？

生：按照定義，它們構不成因果關系.

問題3 函數y=sinx，y=cosx的周期除了2π之外，還有沒有其他的周期呢？它們到底有多少周期呢？

生：2kπ，k∈Z，k≠0.(師強調k≠0)

問題4 對函數y=sinx，y=cosx而言，是否存在比2π更小的正周期呢？(教師當堂板書證明，2π是正弦函數的最小正周期，強調反證法使用時關鍵在于否定結論并列舉反例)

問題5 是否所有的周期函數，都具有最小的正周期呢？更確切地說，是否所有具有正周期的周期函數，一定有最小正周期呢？先給出最小正周期的定義，即對于一個周期函數，如果在它的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數叫做函數的最小正周期.

生：不.常函數.它對于任意的正數，都是它的周期，因此沒有最小的正周期.

師：嗯，y=2，這個是平凡的例子，找不到它的最小正周期.有沒有不是平凡的例子，它不是常數函數，但是它是周期函數，并且沒有最小正周期呢？

生：……

師：想一想課堂上曾經講過的函數，并說明原因.

生：狄利克雷函數.

生(眾)：有的說周期是任意實數，有的說周期是除0以外的有理數.

師：狄利克雷函數是一個經典的案例，除0以外的所有有理數都是它的周期.但是，在所有的正有理數中，并不存在最小的正有理數，所以它沒有最小正周期.以后大學學習時，大家會知道它經常作為數學分析中的反例出現的.

2.4 課堂練習(時間30′19″—46′00″)

問題6 正切函數是周期函數嗎？若是，它有最小正周期嗎？

生：有.從誘導公式tan(α+π)=tanα可知.

師：此處需要注意的是，正切函數的定義域有限制.當然，我們也可以證明正切函數具有最小的正周期π，此處我們從略.這就是我們今天研究的三角函數的周期性.(教師在原來“周期性”板書的前面補加“三角函數的”板書)

師：根據剛才的定義，以及類似例2的方法可以推導.如果ω≠0,那么結果是什么？為什么？

生：取絕對值.

師：為什么？

生：因為T>0.

師：這不對，這是混亂的邏輯.(學生笑)如果ω<0，那么情況會是什么呢？

生：……

師：這個問題考驗大家的理解和轉換能力.有人想出來了嗎？(眾生沉默，在思考)

生：我可以把負號提到外面去.

圖1

例3 若鐘擺的高度h(mm)與時間t(s)之間的函數關系如圖1所示.①求該函數的周期；②求t=10s時鐘擺的高度.(教師一帶而過，指出t=10s時可以利用周期性進行轉化，過程略)

問題7 教材第19頁第四組誘導公式sin(π+x)=-sinx，cos(π+x)=-cosx，將之推廣到一般函數，即滿足的關系式為f(π+x)=-f(x).試問：滿足該式的y=f(x)是周期函數嗎？(如果定義域是R)能概括出更一般的結論嗎？

生：是周期函數.但是周期是……

生：是周期函數.如果……先代入……

師：你代100個值也沒有用啊，你難道不知道周期函數的定義是對任意的數值都成立的嗎？(學生會心一笑)

生：因為f(2π+x)=f(π+π+x)=-f(π+x)=f(x)，所以2π是它的周期.

師：更一般地，你能概括出什么結論？

生：如果f(a+x)=-f(x)，那么2a一定是它的周期.

師：嗯，很好，其中的a是常數.這就說明誘導公式四揭示了正弦和余弦函數都是以2π為周期的函數.今天，我們學習了周期，這有什么用呢，實際上它可以用在簡諧振動分解的周期延拓和周期函數的傅里葉級數展開等方面，函數周期性具有重要價值.

2.5 回顧反思(時間46′00″—48′00″)

師：通過這節課學習，你們有哪些收獲？

生：利用周期性，可以從特殊性結論得出一些普遍性結論等.此外，還有一些有關周期性的具體結論.

3 設計淺析

3.1 教學內容：數學知識的深度理解

數學核心素養的培養不是空穴來風，而是立足于知識的深刻把握，來源于問題的成功解決，取決于數學思維的參與經歷.對于函數的性質，高中主要研究周期性、單調性、奇偶性以及最值等.作為一個整體性的概念，周期性的一個認知難點是，利用有限來認識無限，把周期性作為一個模型來驅動三角函數的學習.在有的版本教材中，是先講三角函數的圖象再講周期函數的概念，從而讓學生觀察圖象中的“周而復始”等特點，從中抽象和概括出周期性概念.而蘇教版是以周期性作為基本模型和驅動主線來貫穿整章的，并且先有函數的周期性再講三角函數的圖象.因此，蘇教版中的周期性概念的重要性不言而喻.有關周期性的知識譜系的問題主要有：為什么要提出周期性概念？生活中有哪些周期性的案例？數學中有哪些經典的案例？周期性概念的數學定義是什么？周期函數的內涵有哪些？周期函數的周期有多少個？周期函數有沒有最小(正)周期？任意一個函數都有周期性嗎？如何判定函數是周期函數？什么樣的函數才有周期性？為什么2π是正弦函數的最小正周期？怎樣去求周期性函數(三角函數)的周期？周期性概念的提出有什么意義？這些問題的深刻理解和把握，是周期性概念理解的關鍵.

蘭老師認識到本節課的教學重點不是獲得三角函數周期的求解公式，并幫助學生簡單套用這些公式解題，而是借助三角函數來把握和理解周期性概念的數學本質.因此，他的教學從生活中的案例和已學知識誘導公式出發，讓學生不斷建構周期性的概念，加深對周期性概念的深度理解.指出周期性是一個重要的數學模型，并非所有的函數都是周期函數，周期性函數的定義域具有一端無限的特點，周期不能為零，并借助正反例子幫助學生深度理解周期性的含義.其中，選用了狄利克雷和常數函數等反例的思想來幫助理解周期性的概念，介紹了反證法思想等.特別是，考慮到生源基礎緣故，蘭老師對2π是正弦函數的最小正周期給予了證明，而對于三角函數的一般周期公式則一帶而過.

3.2 教師教學：傳統特征的自覺踐行

數學核心素養的培養落實，數學課堂的組織設計是關鍵.中國數學教育教學中的一些傳統做法，就是很好的數學素養培養方式.就中國數學教育(教學)的特色，許多人有不同的總結.例如，張奠宙指出，中國數學教育，具有許多與世界主流研究不同的特色，至少有“新課導入”教學，“大班級的師生互動”、“數學思想方法教學”、“變式引領練習”、“熟能生巧的演練”等5個方面.[1]涂榮豹等指出，中國數學教學的5個特點分別是：注重教學的具體目標；教學中長于由舊知引出新知；注重對新知識的深入理解；強調解題，關注方法和技巧；重視及時鞏固、課后練習、記憶有法.[2]

在新課改中，面對紛繁復雜的外來教育理論，多元教學理念和新穎教學方法，許多新手教師在組織教學時往往迷失方向.而在一些名校中，許多優秀教師扎根課堂，在看似樸實無華的課堂教學中，傳承著中國數學教育的優秀傳統，彰顯著深厚的數學功底和非凡的教學實力.本課中的蘭老師，就是一個代表.蘭老師在該課中充分體現了上述多條傳統教學特征.首先，蘭老師注重教學導入和銜接過渡.蘭老師洞悉學生的數學現實，一開始就從生活常識和舊有知識中自然切入.整節課上，層次清楚，過渡自然，銜接流暢，清新親切，絕不矯揉造作、絕不生拉硬拽.其次，在大班的師生互動中，蘭老師充分采用了啟發式教學方法.蘭老師的這節課不是以技術取勝，不是以情境見長，不是以活動為本，而是采用了傳統的啟發式教學，所有提出的問題，都在學生思維射程之內.整節課的教學過程水到渠成、輕松自然.學生在看似輕松活潑的學習氛圍中，卻不斷經歷了數學思維的歷險和穿越.再次，體現出了問題驅動和變式理論的特色.蘭老師借用變式設計幫助豐富學生對周期概念的理解，借助有思維深度的多種問題，在提出、探究、解決和反思中來推進整個教學活動.

3.3 學生學習：數學素養的建構生成

數學是思維的科學，數學教學是數學思維活動的教學.數學核心素養的獲得，當然離不開學習主體的自主建構.《課標(2017年版)》把數學活動劃分為情境與問題、知識與技能、思維與表達和交流與反思4個方面.從教學設計來看，蘭老師尊重教材把周期作為一個思維主線貫通全章的處理方式，整節課循循善誘地以周期為核心，充分經歷水平數學化和垂直數學化的過程，在現實生活和已學知識的基礎上開展學習活動.蘭老師創設生活和數學情境(情境與問題)，從中抽象出周期性的定義和判定原則(知識與技能)，借助問題串這一高效腳手架，促進思維的嚴密、表達的精準和形式的抽象，達到對周期性概念的深度理解(思維與表達)，課堂中師生之間的對話聲中，充斥著數學表達、質疑、批判和反思(交流與反思).

從數學核心素養的6種分類來看，本節課中主要體現了數學抽象、數學運算、邏輯推理、數學建模等多種核心素養.其中，在情境中抽象出數學概念，在多個問題的解決中發展運算能力，在正反多方面的批判和交鋒中磨練(演繹)推理能力，把周期性作為一類數學模型，等等.此外，在周期函數定義域特征的探索和解決例3的過程中，也體現了直觀想象的核心素養.而從核心素養的水平劃分來看，主要有畢業水平、高考水平和拓展水平，本課中的相應水平較高，顯然是充分考慮了生源優秀的實際.當然，這些核心素養的養成是整體實現的，是借助數學思維形成的.在整節課中，體現出的數學思想方法有：化歸思想，模型思想，數形結合思想，特殊與一般.發展了學生的以下能力：抽象能力，概括能力，形式化能力，演繹能力.在教學過程中，體現出的聯系有：和先學知識誘導公式的聯系，和生活的聯系，和函數的聯系，和大學知識的聯系，和其他學科的聯系，等等.總之，本節課中師生、生生的交互協商和思維建構，最后磨礪了思維品質，鑄就了關鍵能力.不難想象，經過天長日久的積累，學生數學核心素養就養成了.

致謝：感謝蘭松斌老師的精彩設計和無私分享