凹多邊形性質初探

信攀年

摘 要：初中數學課本中《多邊形》一章，對凸多邊形作了詳細介紹，因為它是平面幾何，立體幾何的基礎，而對凹多邊形沒有多提。其實凹多邊形也是一類重要的應用極廣的多邊形，在鐵道橋梁，模具設計，建筑方面都可看到。筆者通過對比研究，發現凹多邊形與凸多邊形牲質很類似，得出一系列有價值結論，這不僅充實和完善了數學知識體系，更激發了學習，研究數學的熱情。

關鍵詞：初中 數學 凹多邊形 探討

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2019）07-0-01

初中數學課本中對于凸多邊形的性質作了較為詳細探討，歸納出了許多有趣的性質：對角線、內角和、外角和，而對于凹多邊形只是提出定義，對于性質并沒有探討。

經過筆者研究，發現凹多邊形也是一類很有趣的多邊形，它與凸多邊形有許多相似的地方，現作以展示。

1.比較凸多邊形和凹多邊形定義，可以看出二者本質區別：凸多邊形的內角都是小于平角的角，而凹多邊形中至少有一個大于平角而小于周角的角。

2.凹多邊形對角線，與凸多邊形對角線一樣，從凹n邊一個頂點可以引（n-3）條對角線，這（n-3）條對角線把凹n邊形分成（n-2）個三角形。凹n邊形也有n個頂點，故凹n邊形共有條對角線，這與凸n邊形完全一樣，稍有不同的是，凸n邊形所有對角線都在其內部，而凹邊形有位于外部的對角線，對凹五邊形和凹六邊形為例，凹五邊形ABCDE共有五條對角線，其中AC、AD、CE三條在外部，兩條BE、BD在內部，凹六邊形ABCDEF共九條對角線，其中四條BD、BE、BF、DF在內，五條AD、AC、AE、CF、CE在外部。

3.凹多邊形內角和，由圖1可以看出，從凹五邊形ABCD頂點可引兩條對角線AC、AD，將該凹五邊形分成三個三角形，其內角和3×180°=540°，從凹六邊形ABCDEF頂點A可引AC、AD、AE三條對角線，將該凹六邊形分成4個三角形，其內角和4×180°=720°，依次類推，從凹n邊形一個頂點可引（n-3）條對角線，將該多邊形分成（n-2）個三角形，故凹n邊形內角和（n-2）·180°這與凸n邊形內角和完全一樣。

4.凹多邊形外角和我們知道，凸n邊形外角和360°，而凹n邊形又如何呢？首先，凹n邊形中有大于平角的角存在，故凹n邊中大于平角的角沒有課本中定義的外角，也就是凹多邊形沒有像凸多邊形那樣的外角和。但一個數學問題的解決不能停留在已有的知識或認識階段上，固步自封，就找不到解決問題方法，可以做設想：把凹多邊形中大于平角的角 的反方向所對的那個角做為該角的“外角”，例如圖2中凹五邊形ABCDE中∠EDC就是內角，∠EDC的外角顯然，這兩個角的和為360°，這樣一來，就可以求凹n邊形內角和。

設凹n邊形中有s個小于平角的角，用α1，α2……αs表示，有p個大于平角的角，用β1，β2……βp表示，顯然有s+p=n，且α1+α2+…+αn+β1+β2+…+ βn=（n-2）·180°

其外角和：（180°- α1）+（180°-α2）+…+（180°-αs）+（360°-β1）+（360°-β2）+…（360°-βp）

=180°·s+360°·p-（α1+α2+…+ αs+β1+β2+…+βp）

=180°·s+360°·p-（n-2）·180°

=180°（s+2p-n+2）

=180°·（p+2）

這就是說，凹n邊形外角和，取決于它的大于平角的角的個數p，大于平角的角越多，外角和越大，每多一個大于180°的角，外角和增加180°，該公式與凸n邊形內角和公式（n-2）180有相似之處。當P=O時，凹n邊形外角和360，也就是凸多邊 形外角和，總之，凹多邊形也是一類重要的很有趣的多邊形，很有必要做進一步探討。

總結

凹多邊形是一類很重要的多邊形，在工程.建筑領域應用廣泛，它的許多性質與凸多邊形有類似之處，值得研究，幵發，應用。