引入EXCEL編程的矩陣位移法教學探討

黃湘湘

摘要：用EXCEL實施結構力學矩陣位移法，所有步驟和計算結果均以常見表格方式清晰展示，核對各步驟數據簡單方便，便于學生查找計算錯誤、理順解題思路、鞏固力學概念和原理、熟悉數據處理軟件解決問題的思維、提高利用計算機軟件編程解決實際問題的能力。

關鍵詞：結構力學;矩陣位移法;EXCEL;解題能力

中圖分類號：G642.41 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2019）21-0154-04

一、引言

結構力學矩陣位移法是從電算角度出發，在解題步驟上以矩陣作為組織運算的數學工具。學生在學習這部分內容時，往往會在單剛計算、集成總剛、解總剛方程、求解單元桿端力這些步驟出現純數據運算錯誤，從而導致解題失敗。目前大多數桿系結構有限元程序都是用VB、FORTRAN等專業編程軟件編寫的，中間步驟的運算結果難以直觀查看。而EXCEL軟件直接可以以表格形式展示單剛、總剛、結點位移向量的運算結果，學生查找核對比較方便。但是，目前以EXCEL編制的矩陣位移法表格比較少見，且有諸多不足，文獻[4]只能計算桁架體系，且需要VBA軟件輔助，文獻[5]中單剛、總剛和綜合荷載列向量均無法自動生成，需要手算。

本文編制的用矩陣位移法求解平面結構的EXCEL表格無需學生掌握任何其他軟件和編程技能，能自動計算單剛、總剛并求解方程，并且能直觀查找每一步計算結果。

二、EXCEL表格簡介

用矩陣位移法求解平面結構的EXCEL表格文件可以計算平面桁架、平面剛架和平面組合結構，采用高斯-塞德爾迭代法解方程，得到結點位移和各單元桿端內力。單元類型有三種，分別是：（1）兩端鉸接單元;（2）兩端剛接單元;（3）始端剛接終端鉸接單元。這里“剛接”指受到轉動約束，故定向支座按“剛接”考慮，其橫向線位移不為0。

生成各單元局部坐標系下的單元剛度矩陣時，針對單元類型編號使用IF函數對每個單剛元素進行賦值。

受限于表格形式，本EXCEL表格能計算的平面結構，結點數不大于20，單元數不大于30，結點位移數不大于37。

表格文件分為輸入輸出表單和計算表單。需要輸入的數據有結點數據和單元數據兩大類：

1.結點數據：包括結點坐標、結點荷載、結點約束信息。

2.單元數據：包括單元起點和終點編號、材料模量E、截面慣性矩I、面積A、單元類型編號（其中編號“1”表示兩端鉸接單元、“2”表示兩端剛接單元、“3”表示始端剛接終端鉸接單元）以及單元非結點荷載數據。

單元非結點荷載即各桿件上的跨間荷載。在各桿局部坐標系下，本表格可以考慮以下五類荷載：（1）1組沿桿軸的集中力（荷載值、荷載位置）。（2）1組橫向力（荷載值、荷載位置）。（3）1組跨間集中力偶（荷載值、荷載位置）。（4）1組均布滿布荷載（荷載值）。（5）溫度效應（截面高度、線膨脹系數、上側溫度變化、下側溫度變化）。

三、平面桁架教學算例

設有桁架如圖1，EA=常數，經結點與單元編號后，在電子表格中輸入數據，結點數據如圖2所示，單元數據如圖3所示。由于EA=常數，各單元均輸入了完全一致的E值與A值。

數據輸入后，EXCEL自動按照各單元格預先輸入的公式進行計算，可以得到結點荷載列陣、各桿件單元的桿長和傾角（圖4）、單元定位向量（圖5）。根據桁架各單元類型編號（均為1），生成局部坐標系下單剛，并進一步生成整體坐標系下單剛。由單剛對號入座形成總剛需要套用EXCEL內置的IF、IFERROR、INDEX、MATCH等函數，生成的總剛如圖6所示。

采用高斯-塞德爾迭代法解方程，得到結點位移結果（圖7）。桁架單元桿端轉角無需計算，這里顯示各結點z方向的位移是0。將結點位移結果代入單元剛度方程，得到各單元桿端力（圖8），即各桿軸力分別為42.78kN、4.59kN、-17.2kN、-40.98kN和59.0kN。經驗證，計算結果無誤。

四、平面剛架教學算例

設有剛架如圖9，忽略桿件軸向變形，E=30GPa，I1=0.0625m4，I2=0.04167m4，經結點與單元編號后輸入數據，結點數據如圖10所示，其中結點5為一復鉸，與之相連的三根桿件（單元類型編號均為3）在此處的轉角都不計算，故5號結點z方向不進行結點位移編號。

單元基本數據如圖11所示，通過填寫較大的截面面積A值來忽略桿件軸向變形。本例剛架中存在兩種單元類型，單元1為兩端剛接單元（單元類型編號為2），單元2—4為始端剛接終端鉸接單元（單元類型編號為3）。因此，單元2—4的終端均為結點5。本例題無結點荷載，且只有單元1上作用有非結點荷載，填入數據并得到其固端力，如圖12所示。結構綜合結點荷載列陣計算結果如圖13所示。

根據各單元類型，EXCEL自動生成局部坐標系下各單元單剛。圖14和圖15分別為單元1和單元2在局部坐標下的單剛。由于單元2為始端剛接終端鉸接單元，其單剛第6行和第6列的元素均為0。由單剛對號入座生成的結構總剛如圖16所示。

解方程后得到結點位移結果如圖17。結點4和結點5的水平位移有微小差異，且二者豎向位移均不完全為0，說明各單元都存在微小軸向變形。這與結構的實際受力和變形狀態是一致的。各單元桿端力計算結果如圖18。經驗證，計算結果無誤。

五、結語

用EXCEL實施結構力學矩陣位移法，所有步驟和計算結果均以常見表格方式清晰展示，核對數據簡單方便。學生對同一題目先進行手算，再用電子表格復核中間步驟和計算結果，便于學生查找計算錯誤、理順解題思路、鞏固力學概念和原理。此外，電子表格可快速對多組類似結構進行分析，使學生能進一步理解結構幾何布置、連接結點的性質假定、構件材料和截面變化、荷載分布、力學假定（比如忽略剛架桿件軸向變形、忽略桁架桿件次內力）等因素與計算結果之間的因果關系，提高學生的概念分析能力。學生在教師的引導下逐步熟悉軟件解題思維、提高EXCEL編程能力，還將為后續課程的學習乃至以后的職業生涯開辟更寬廣的道路。

參考文獻：

[1]楊茀康，李家寶，洪范文，汪夢甫.結構力學（上、下冊）[M].第6版.北京：高等教育出版社，2016.

[2]汪夢甫.結構力學[M].武漢大學出版社，2015.

[3]謝劍，趙彤.Excel在建筑工程中的應用：快速計算工具實例[M].天津大學出版社，2004.

[4]趙明波.EXCEL中計算平面桁架內力與變形的研究[J].四川建筑科學研究，2008，34（4）：53-55.

[5]黃小濤.用EXCEL矩陣函數求解結構力學問題[J].中小企業管理與科技（上旬刊），2010，（5）：250-251.