隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

孫海微

摘 要：本文給出了隱函數(shù)的定義，隱函數(shù)存在唯一性和可微性定理的內(nèi)容，它們使隱函數(shù)定理的應(yīng)用更具普遍性。在討論隱函數(shù)的應(yīng)用時主要對隱函數(shù)定理在計(jì)算導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)、幾何應(yīng)用這兩個方面的應(yīng)用做了詳細(xì)敘述。

關(guān)鍵詞：隱函數(shù)定理 導(dǎo)數(shù) 幾何應(yīng)用

一、隱函數(shù)

1.隱函數(shù)的概念

在這之前我們學(xué)習(xí)過的函數(shù)，它們的表達(dá)式大部分是自變量的某個式子，如y=cosx，y=x+2等這樣的函數(shù)叫做顯函數(shù)。

定義1.1 設(shè)，函數(shù)F：E→R.對于方程F（x，y）=0， （1）

若存在集合，對任意x∈I，有且只有y∈J，使得（x，y）∈E，且使方程（1）成立，則稱方程（1）確定了一個定義在I上，值域含于J的隱函數(shù).如方程xy+y-1=0能確定一個定義在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上的隱函數(shù)y=f（x）.所以，隱函數(shù)必須在確立它的方程以及的成立范圍后才有意義.[1]

2.隱函數(shù)組的概念

定義1.2 設(shè)有方程組

其中F（x，y，u，v）和G（x，y，u，v）為定義在V∈R4上的兩個四元函數(shù)，若存在平面區(qū)域，對于D中每一點(diǎn)（x，y），有唯一的（u，v）∈E，使得（x，y，u，v）∈V，且滿足方程組（1-1），則稱方程組（1-1）確定了隱函數(shù)組u=f（x，y），v=g（x，y）并在D上成立恒等式

F（x，y，f（x，y），g（x，y））≡0，G（x，y，f（x，y），g（x，y））≡0.

二、隱函數(shù)定理

下面我們將給出隱函數(shù)定理的存在唯一性與可微性，即針對后面研究做好基礎(chǔ)準(zhǔn)備.[2]

1.隱函數(shù)存在唯一性定理

定理2.1 若函數(shù)F（x，y）滿足下列條件：

（i） F在以P（x0，y0）為內(nèi)點(diǎn)的某一區(qū)域上連續(xù)，

（ii） F（x0，y0）=0（通常稱為初始條件），

（iii） F在D內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)Fy（x，y），

（iv） Fy（x0，y0）≠0，

證明 先證隱函數(shù)f的存在性與惟一性

由條件（iv），不妨設(shè)Fy（x0，y0）>0.由條件（iii）Fy 在D上連續(xù)，在點(diǎn)P0的某一封閉的正方鄰域，使得在其上每一點(diǎn)都有結(jié)果Fy（x，y）>0.（由連續(xù)函數(shù)的局部保號性）因而，對每個固定的x∈[x0-β，x0+β]，F(xiàn)（x，y），作為y的一元函數(shù)，必然在[y0-β，y0+β]上嚴(yán)格增且連續(xù).由初始條件（ii）可知F（x0，y0-β）<0，F(xiàn)（x0，y0+β）>0.[3]

再由的連續(xù)性條件（i），又可知道F（x0，y0-β）與F（x0，y0+β）在[x0-β，x0+β]上

也是連續(xù)的.因此由保號性存在α>0（α≤β），當(dāng)x∈（x0-α，x0+α）時恒有

F（x0，y0-β）<0 ，F(xiàn)（x0，y0+β）>0.

對（x0-α，x0+α）上每個固定值，同樣有，.根據(jù)前面已指出的在[y0-β，y0+β]上嚴(yán)格遞增并且連續(xù)，由介值性定理知，存在惟一的滿足.由在（x0-α，x0+α）中的任意性，就能證明存在獨(dú)一無二的一個隱函數(shù)y=f（x），它的定義域?yàn)椋▁0-α，x0+α），值域含于（y0-β，y0+β）.若記U（P0）=（x0-α，x0+α）×（y0-β，y0+β）=，則y=f（x）在U（P0）上滿足結(jié)論1°的所有要求

再證明f的連續(xù)性.對于（x0-α，x0+α）上的任意點(diǎn)，.則由上述結(jié)論可知.任給ε>0，且ε足夠小，使得.

由及F（x，y）關(guān)于y嚴(yán)格遞增，可得.根據(jù)保號性，可知存在的某鄰域（x0-α，x0+α），使得當(dāng)時同樣有，.因此存在唯一的y，使得F（x，y）=0，即y=f（x），.這就說明了當(dāng)時，，即在連續(xù).由得任意性，可得f（x）在（x0-α，x0+α）上連續(xù).

2.隱函數(shù)可微性定理

定理2.2 設(shè)F（x，y）滿足隱函數(shù)存在唯一性定理中的條件（i）-（iv），又設(shè)在D上還存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)Fx（x，y），則由方程（1）所確定的隱函數(shù)y=f（x）在其定義域（x0-α，x0+α）上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且.

證明 設(shè)x與x+△x都屬于（x0-α，x0+α），它們所對應(yīng)的函數(shù)值y=f（x）與y+△y=f（x+△x）都含于（y0-β，y0+β）內(nèi).由于F（x，y）=0，F(xiàn)（x+△x，y+△y）=0

因此由Fx，F(xiàn)y的連續(xù)性以及二元函數(shù)中值定理，有0=F（x+△x，y+△y）-F（x，y）=Fx（x+θ△x，y+θ△y）△x+Fy（x+θ△x，y+θ△y）△y

其中0<θ<1.因而

注意到式子等號右端是連續(xù)函數(shù)Fx（x，y），F(xiàn)y（x，y）與f（x）的復(fù)合函數(shù)，而且Fy（x，y）在U（P0）上不等于零

故有，且f′（x）在（x0-α，x0+α）上連續(xù).

三、隱函數(shù)定理的應(yīng)用

1.計(jì)算導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)

隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 隱函數(shù)求導(dǎo)一般有兩種方法.

（1）公式法.利用可微性定理中的公式.注意這時當(dāng)作獨(dú)立變量處理.

（2）兩邊求導(dǎo)法：方程兩邊分別求導(dǎo).注意這時要分清誰是自變量，誰是函數(shù)，自變量是相互獨(dú)立的，函數(shù)看作中間變量，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo).

例1 設(shè)y=f（x）是由方程x2y+3x4y3-4=0所確定的隱函數(shù)，求.

解 方程兩邊對x求導(dǎo)，得.

解得.

例2 設(shè)z=x2+y2，其中y=f（x）是由方程x2-xy+y2=0所確定的隱函數(shù)，求及.

解 由方程得2x-y-xy′+2yy′=0，兩邊對x求導(dǎo)，得