基于需求量隨機分布的存貨模型教學研究

葉鴻烈

（廣西民族大學相思湖學院，廣西南寧 530008）

1 問題的提出

管理學家嘗試建立了很多模型來幫助確定最優存貨水平，以盡可能降低存貨成本，其中包括短缺的成本，但這些模型中的好多個影響因素是確定性的，它們假定對產品的需求量也是常數。教學實踐中，管理統計學和管理運籌學介紹企業管理過程中的存貨模型時，都是從需求量作為常量開始，把每天、每月、每季度的需求量都視為固定不變的常數，通過求解極值的方法，得到相應的最佳訂貨點的訂貨量，但現實工作中，更多的情況下需求量是一個隨機變量。所謂需求量為隨機變量的存貨模型，需求量是服從某種概率分布的，最簡單的是需求量服從均勻分布以及正態分布。

應用概率模型假定訂貨到交貨這段時間內的需求量是服從正態分布或者其他分布的隨機變量。“訂貨點”是一個重要的概念，即向供應商提出訂貨申請時的存貨水平。如果訂貨點太低，公司很可能會脫銷，因此面臨銷售損失，顧客也很可能會轉向其他競爭性公司。如果訂貨點太高，公司的存貨量就會太多，儲存和維護成本都很高。目前“存貨”有漸漸過時的趨勢，經理們定義了“安全庫存”的概念，即以減少公司處于脫銷狀況的次數的額外的庫存量。在實踐中，他們設置了一個服務水平，即公司不會出現脫銷的概率。我們以下面的例子說明如何確定訂貨點。

例1：快餐店的每個月內的需求量服從2 000～5 000（盒）的均勻分布，想要減少脫銷的發生率，試圖保證只有5%的概率脫銷現象，也就是說服務水平達到95%，庫存量應該處于什么水平？均勻分布的概率密度是。安全庫存量X，則，X=2850，即訂貨點是2 850。

例2：如果這段時間的需求量服從均值為2 000、標準差為500的正態分布。要保證在這段時間內服務水平達到95%，只有5%的需求滿足不了即產生脫銷，如何確定訂貨點。如圖1，我們計算得定貨點是2 882.5。這里，我們要查右側概率為0.05的標準正態變量的取值，Z0.05=1.645，那么，X=2 000+1.645 500=2 882.5。

通過引入概率知識解決存貨模型中訂貨點的問題，學生就會提出這樣的一個問題，如何理解需求量概率分布和計算出的訂貨點的真正含義以及相互關系。

2 問題的解決

庫存模型的使用主要是用來確定使總成本最小的庫存水平，如何使用概率模型對庫存水平作出決策。模型的一部分是平均需求量的計算。通常情況下被認為是服從均勻分布和正態分布的。有幾種方法可以確定這個需求量，但是最簡單的方法是從樣本中估計這個量。

圖1 服務水平達到95%的訂貨點

例3：某計算機公司生產計算機，公司主要依靠價格和交貨速度來和對手進行競爭。為了達到目標速度，公司把它的產品儲存在倉庫中，一般用一天就可以運送到客戶手中。這個戰略需要高難度的庫存管理，從而會使相應的成本增加。公司經理想利用庫存模型降低成本。日需求量是隨機變量。他認為需求量服從正態分布，而為了計算最合適的庫存水平，他需要知道需求量的均值。他記錄每個期間內的需求量并列在表1中。業務經理想要知道平均需求量的95%的置信區間估計。

表1 某計算機公司日需求量

為了最終確定合適的庫存水平，業務經理需要這段時間內的平均需求量。所以，待估參數是μ。因此，我們想使用的置信區間估計為：

公司經理估計這段時間平均需求量在643.45～535.43之間。他可以把這個估計作為改進庫存策略的依據。作為平均需求量的一個特定值，可以通過上述模型計算出定購數量，并且，置信區間估計給出了置信上下限，從而使公司經理可以知道可能的結果。

如何理解這個平均值，一些人把這個置信估計錯誤地講解為，總體均值以95%的概率位于643.45～535.43之間。因為這意味著總體均值是一個可進行概率表達的變量，事實上，總體均值是一個確定但是未知的量。因此，我們不能把的置信區間估計解釋為的概率表達。為了準確地解釋置信區間估計，應該記住，置信區間估計是通過樣抽樣分布得到的。我們使用抽樣分布得到了樣本均值的概率表達。計算出來的置信區間內包含總體均值的概率也是1-α，一旦樣本均值被計算出來，總體均值的置信區間估計的上下限也就確定了。平均值確定后，我們就可以結合具體的需求量分布計算出定貨點。

下面我們來說明需求為隨機變量的單一周期的存儲模型，它是指在產品訂貨、生產、存儲、銷售這一周期的最后階段或者把產品按正常價格全部銷售完畢，或者把按正常價格未能銷售出去的產品削價銷售出去甚至扔掉，報童問題就是一個典型的需求為隨機變量的單一周期的存儲模型問題。報紙數量是一個隨機變量，每日售出d份報紙的概率P（d），售出一份報紙賺k元，如報紙未能售出，每份賠h元。如果訂貨量Q選得過大，那么報童就要因不能售出報紙造成損失，如果訂貨時Q選得過小，那么報童因缺貨失去了銷售機會造成了機會損失，如何適當地選擇Q值，才能使這兩種損失的期望值之和最小呢?可以推導出報童應該準備多少份報紙，（1）(詳細推導過程見韓伯棠【管理運籌學】第四版P324)。

如上述例1.每盒快餐售出賺5元，k=5，如果售不出，則損失15元，h=15，該快餐店應該準備多少盒的快餐，使其損失值最小？

所以，Q*=2750（盒），并且知道，有25%的概率快餐盒有剩余，75%的概率快餐盒供不應求。

例4：快餐店的需求量假定服從以均值為2 000、標準差為500的正態分布。每盒快餐售出賺5元，k=5，如果售不出，則損失15元，h=15，快餐店應該每次準備多少快餐盒飯才使快餐店獲利的期望值最大呢?這是一個需求為隨機變量的單一周期的問題。

從概率論知識可知，由于需求量服從均值為2 000，標準差為500的正態分布，上式即為：，通過查閱標準正態表，即得，

Q*=-067σ+μ=-0.67×500+2 000=1 665

可知，當準備1 665盒快餐時，有25%的概率快餐盒飯有剩余，有75%的概率快餐盒飯可能供不應求。圖2顯示了這個結果。

圖2 75%的概率供不應求的存儲量

3 結語

存儲管理中的需求量預測是一個比較重要的考慮因素，因為需求量是一個變化的因素，在教學中如何通過概率去講授計算需求量是一個難點，通過上述分析，我們可以從分析歷史的數據入手，把需求量設定為均勻分布、正態分析或者其他等，利用概率論知識計算出確定的定貨點，同時知道可能剩余的概率和供不應求的概率，最后可以作出最佳的存儲決策。