數學分析中的“微分”概念教學創新探究

唐樹安，李俊

（1.貴州師范大學數學科學學院，貴州貴陽 550001;2.安順學院數學科學學院，貴州安順 561000）

《數學分析》這門課是大學數學專業必修的最重要的基礎課之一，它是進一步學習其他數學知識的基礎，也是中學數學的進一步加深。這門課程學生反映普遍感到比較困難，是因為其概念的高度抽象性和證明的高度嚴謹性。這門課程的最大特點是它的所有概念都是需要用自己的一門語言來描述，也就是ε-N和ε-δ語言。例如極限、連續、可導以及級數的收斂等等。要想掌握《數學分析》這門課程，就得吃透這些概念，就得掌握好這門語言。但是“微分”這個概念是一個例外，它的最開始的定義并沒有用極限的語言，它的出現是早于極限理論的。這樣學生就會感到很不適應，因為我們的大學《數學分析》教材基本上是按照極限、可導、微分這樣的順序來安排。學生感到很困惑，既然“可導”和“可微”是“一樣”的，那為什么還要引入這樣的不好理解的概念？這樣就給上這門課的教師提出了問題，應該怎么講“微分”的概念才能幫助學生更好的理解呢？他們遇到的這些問題如何在教學中去解決？一些專家學者在這方面做了一些深入的思考[1-4]。本文將從概念的引入、概念的質疑以及一些重要應用幾個方面來探究這一概念的教學。

1 “微分”概念的引入

很多學生反映說提起“微分”就有點害怕，一頭霧水，甚至對這個符號都特別排斥和不理解。有學生干脆直接將它等同于可導，但是到了多元函數部分是就出問題了。其實，這是可以理解的，因為“微分”這個概念最開始的定義是模糊的。微積分的發展歷史上，是先有微分，后有極限理論，才利用極限理論引入導數這個概念，而現在依然是用微分一開始就使用的符號來表示。我們首先來看看萊布尼茨是如何定義微分的：Δx沒有達到零，Δx的“最終值”不是零而是一個“無窮小量”，也即是被稱為“微分”的dx，類似的，Δy也有最終的無窮小值dy，然而這兩個無窮小微分的真正的商又是一個普通的數，。這樣的定義讓人感覺模糊和混亂，例如我們來求函數y=x2的微分。首先考慮一個無窮小量dx，然后觀察自變量由x變為x+dx時函數值得變化dy=（x+dx）2-x2=2xdx+（dx）2，再考慮函數值的變化與自變量變化dx的比值，而dx是一個無窮小量，可以忽略不計，所以有。這是一個矛盾的推導，因為dx首先作為不為零的無窮小量去除另外一個量，而后來又作為一個等于零的量而舍去。

這樣使得“微分”這個概念非常難懂，事實上，如果我們把這些符號理解為當dx→0時導致dy→0的極限過程，那對于有極限理論訓練的人來說，就沒有多大的困難了。因此在我們的課堂上，如果一開始就告訴學生微分的定義的發展史，這樣會引起更多的困惑，也會打亂現行教材的內容構建體系。因為之前已經嚴格建立了極限理論，我們認為用如下研究式的教學引入是一個學生比較容易接受的方法。

設函數f（x）在一點x0處可導，則當Δx→0時，有：

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）=f'（x0）Δx+o（Δx）

這里o（Δx）是比Δx更高階的無窮小。這就說明在函數f（x）在一點x0處可導的條件下，其函數值的改變量Δy在x0附近可以近似的用一個自變量的改變量的線性函數f'（x0）Δx來代替。自然的，我們想去掉函數可導這個條件，去研究這樣一類函數，它具有如下性質：

你可以找到一個數A，使得當時Δx→0，函數f（x）在x0處滿足如下等式：

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）=AΔx+o（Δx）.

我們給具這樣性質的函數f（x）一個名稱，也即是說函數f（x）在x0處是可微的，并用記號df=dy=AΔx表示f（x）在x0處的微分。一個簡單而重要的例子是y=f（x）=x，由微分的定義，我們得到Δy=dy=dx=Δx

這樣引入的一個好處是給學生一個感覺，可微性并不是那么看不見摸不著，我們僅僅是在尋找一種函數，這種函數具有可導函數的某些性質，并給這類函數命個名而已。而且，這種研討式的引入會自然引導學生去思考如下問題：常數A是什么？函數在不同的點，A是不是不一樣？這樣的函數在x0附近有什么性質？它與函數的連續性、可導性有什么關系？如果函數是可微的，如何求它的微分呢？dy僅僅是一個記號，還是有別的含義呢？

2 “微分”概念的質疑

從函數的微分的定義可以看出以下特點：它是一個微小的改變量，與函數的增量Δy差一個較Δx的高階無窮小。它是關于自變量x的改變量Δx一個線性函數，也是關于自變量x的函數。

一般來講，一個一元函數在一點的導數就是一個具體的數，而在一點的微分是關于自變量x的改變量Δx一個線性函數，這讓學生一下子理解不過來。其實函數在一點的導數是指函數在這一點的變化率，而一點的微分僅僅是函數在這一點的微小的改變量。

學生很難區分可導和可微兩個概念，其實這兩個概念要在多元函數中才能區分開來。在一元函數中，可微而可導是兩個等同的概念，即可微和可導是等價的。但在多元函數中，可微與可導（偏導數）是有區別的。如果函數z=f（x，y）在一點（x0，y0）處可微，則其關于x和y的兩個偏導數存在，但是如下反之不成立，見文獻[2]。

3 一些重要應用

有些學生很困惑，為什么要學習微分，有什么用呢我們在這一小節就來談談微分的用處。在文獻[1]中作者介紹了如何借助于微分來記憶求導公式，如何借助于微分的逆運算來求積分以及微分在近似計算中的應用等。我們這里主要想談談兩個應用，第一個就是在微元法中的應用，其次是如何借助于微分來理解記憶Green公式，Gauss公式以及Stokes公式。

微元法也是學生頗感頭痛的一個知識點，很多學生都是掌握不了要點，不會使用，以至于在定積分應用這一塊內容上學的不扎實。究其原因，其實是對微分這個定義沒有抓到本質，沒有融會貫通的原因。我們先來看看微元法是什么。

假設我們要求出一個量S，它與區間[a，b]有關，當[a，b]給定后，S是一個確定的量，這個量對這個區間具有可加性，也即是對任意分割T：a=x0＜x1＜···＜xn=b，子區間[xi-1，xi]=DSi（i=1，2···，n），則。任取小區間，如果其所對應的部分量滿足ΔSi=f（ξ）dx，（ξ∈[x，x+dx]）且f（x）是[a，b]上的一個連續函數，則我們有ds=f（x）dx并且。這里學生不理解為什么ds就等于f（x）dx了其實這就是微分的定義，因為ΔSi=f（ξ）dx=f（x）Δx+（f（ξ）-f（x））Δx，而由函數的連續性，當Δx→0時，（f（ξ）-f（x））Δx=0（Δx）所以我們得到ds=f（x）dx。

例如我們求由連續曲線y=f（x）（x∈[a，b]），x軸以及直線x=a，x=b所圍的面積。首先我們所求的面積這個量滿足微元法的條件，現在任意取小區間[x，x+dx]∪[a，b]，則所對應的面積ΔSi會落在mΔx和MΔx之間，這里m，M分別是函數f（x）在區間[x，x+dx]上的最小值和最大值，由連續函數的介值性定理，存在點ξ∈[x，x+dx]使得ΔSi=f（ξ）dx。于是由微元法，我們得到所求的面積為。

借助于微分，在龔升的教材[4]中處理了Green公式，Gauss公式以及Stokes公式。建議在課堂上也進行這樣的處理，這樣既可以幫助學生進一步加深對微分這個概念的理解，也可以從中看到微分的重要應用。下面先來看看這三個公式的形式：

Green公式 設Ω是有平面上封閉曲線Γ所圍成的閉區域，函數p（x，y）和q（x，y）在Ω上具有一階連續偏導數，則

Stokes公式 設Ω是空間中以封閉曲線Γ為邊界的曲面，函數p（x，y，z），q（x，y，z）和r（x，y，z）具有一階連續偏導數，則

Guass公式 設V是空間封閉曲面Ω所圍成的閉區域，函數函數p（x，y，z），p（x，y，z）和r（x，y，z）在V上具有一階連續偏導數，則

可以把微分d理解成一種運算，且規定ddx=ddy=dddz=0.定義微分dx與dy的外乘積為dx?dy，滿足dx?dy=-dy?dx。于是有dx?dx=0。我們稱一個函數的零階微分是它本身，ω=pdx+qdy+rdz為一階微分，ω=Adx?dy+Bdy?dz+Cdz?dx為二階微分，ω=Edx?dy?dz為三階微分。于是我們有Green公式，Gauss公式以及Stokes公式的統一形式：，這里?Ω表示Ω的邊界。這樣的話，學生就不再混淆這三個公式了。