《紅樓夢》中數學思想的研究

施政

[摘? ? ? ? ? ?要]? 《紅樓夢》作為中國歷史上最偉大的一部文學作品，無論是藝術上還是思想上都達到了前所未有的高度，里面涉及的數學問題并不多，但仍然可以通過分析文中僅有的幾個數學問題，了解曹雪芹所具有的數學思想。

[關? ? 鍵? ?詞]? 紅樓夢;數學問題;數學思想

[中圖分類號]? I207.411? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2019）05-0084-03

一、引言

曹雪芹寫《紅樓夢》，借用這部作品描述自身的經歷以及家族由興盛到衰落的過程，書中處處充滿了他的創作熱情，但卻又是有條有理的創造和敘述。《紅樓夢》的創作過程猶如設計一個復雜的數學模型，作品的構思與結構、人物的設計、情節的安排、生活與事件的交錯，主副線的發展，近千個人物陸續登場，還有數量龐大的具有極高藝術水準的詩詞，相信沒有一個龐大而嚴謹的預先設想與架構，是不可能完成這樣一部鴻篇巨作的。

二、《紅樓夢》中數學思想的研究

（一）馬道婆算香油賬

馬道婆聽如此說，便笑道：“……再還有幾家也有五斤的，三斤的，一斤的，都不拘數”。……賈母聽了，點頭思忖。……也不當家花花的，要舍，大則七斤，小則五斤，也就是了。賈母說：“既是這樣說，你便一日五斤合準了，每月打躉來關了去。”（《紅樓夢》第二十五回）

賈寶玉每天五斤香油，一個月按三十天計算，按當時物價一斤香油價為一點二串錢，一個月合一百八十串錢，一串錢一般是二十文錢，而一兩銀子相當于一千文錢左右，一個月約三兩六的銀子，一年約四十三兩二錢，一年供奉的香油錢購買力，大約相當于現在的四萬三千二百元。看上去好像四萬多元并不是很多，但仔細想想，僅僅一年供奉的香油錢就那么多，再去估算賈府一年的總開銷，其奢華程度可見一斑。馬道婆算香油賬，也就是曹雪芹算香油賬，顯然，曹雪芹在寫作這段文字時，也“點頭思忖”：出多少斤香油比較合理，既合乎賈府的身份，又不至于引起非議。

（二）劉姥姥算螃蟹賬

劉姥姥：“……這么三大簍，想是有七八十斤呢。……這樣螃蟹，今年就值五分一斤。十斤五錢，五五二兩五，三五一十五，再搭上酒菜，一共倒有二十多兩銀子。阿彌陀佛！這一頓的錢夠我們莊家人過一年了。”（《紅樓夢》第三十九回）

顯然這是一道有趣的數學題，分析文中解法：將八十斤看成五十斤加做三十斤，“五分一斤。十斤五錢”這句話不難理解，“五五二兩五”指五分銀子乘以五十斤蟹，得二兩五銀子，“三五一十五”是指剩下的三十斤螃蟹，得“一十五”分銀子。“五五二兩五”不能說成“五乘以五十等于二百五十”，同樣“一十五”不能認定為“一十五兩銀子”，是口算時“節略語的”習慣性表達方式。二兩五加一兩五等于四兩，算得螃蟹價為四兩銀子，外加“酒菜”，合計出“二十多兩銀子”也符合常理。由此可見，劉姥姥不但會“乘法口訣”，更會簡便計算，是一位算賬的好手、能手。

（三）同日生日

探春笑道：“倒有些意思，一年十二個月，月月有幾個生日。人多了，便這等巧，也有三個一日，兩個一日的。……寶玉笑指襲人道：“他和林妹妹是一日，所以他記的。”（《紅樓夢》第六十二回）

文中所描述的生日同日，是一個典型的概率問題，絕不是探春說的巧合，而是有著嚴謹的數學背景。

徐恭時（1916—1998）統計出《紅樓夢》全書寫了九百七十五人。假設只以寧榮兩府本支，計五十八人為例，一年取三百六十五天，計算出至少有兩人同一天生日的概率為：

顯然這是一個非常高的概率，從概率角度，這是一個必然事件。由此推斷，《紅樓夢》中與同日生日相關情節的描述，并不是曹雪芹信口開河，而是源自于曹雪芹對現實生活的觀察，所以說曹雪芹還是具有一些概率方面的常識，具有樸素的概率思想。

（四）群芳擲骰子

晴雯拿了一個竹雕的簽筒來，……搖了一搖，……揭開一看，里面是五點，數至寶釵，……寶釵又擲了一個十六點，數到探春，……湘云拿著她的手，強擲了個十九點出來，……黛玉一擲，是個十八點，便該湘云掣。……湘云便綽起骰子來，一擲個九點，數去該麝月。……麝月一擲個十九點，該香菱。……香菱便又擲了個六點，該黛玉掣。……便擲了個二十點，該著襲人。（《紅樓夢》第六十三回）

在擲骰子游戲中，晴雯、寶釵、探春、黛玉、湘云、麝月、香菱分別擲5、16、19、18、9、19、6點，最后黛玉又擲一次為20點。

擲骰子游戲中，使用4枚篩子，每枚骰子點數為1～6點，4枚骰子最小可擲出4點，最大可擲出24點，擲出所有可能點數和對應概率如表1所示：

從表1可以看出，點數的范圍從4到24點，并且不同點數出現的概率也不盡相同，4點和24點出現的概率最低為1/1296，點數14出現的概率最高為，表1中概率的計算方法，以14點數為例，四個骰子點數之和為14，共有12種情況：

四個骰子可能出現的點數所有情況為：

6×6×6×6=1296

因此，點數為14的概率為：

其他各種點數的概率情況，都可以仿照上面的方法計算得到。

依據上列表給出的數據，可以統計出群芳所擲點數的概率，如表3所示：

從表1中可以看出，擲四枚骰子出現的所有點數中，4點和24點出現的概率最低為，14點出現的概率最高為146/1296，從群芳所擲出點數看，概率最高的13、14、15三種點數都沒有出現，而出現概率低的5點和6點竟然都出現了，同樣19點出現的概率也很低，不僅出現了，且出現了兩次，可以計算出在8次投擲中，出現兩次19點的概率，計算公式如下：

從計算結果可以看出，小概率事件出現了，顯然是不合常理。書中之所以這樣寫，應該是曹雪芹缺乏擲骰子的常識，或者說曹雪芹在寫作這段時沒有仔細思考過，骰子出現各種點數所對應的可能性。

（五）《紅樓夢》中人物年齡之謎

1.賈母年齡

劉姥姥二進賈府時七十五歲，賈母道：“比我大好幾歲呢！”（第三十九回），只過了兩年，卻說：“今歲八月初三日乃賈母八旬之慶”（第七十一回）。賈母：“我從進了這門子做重孫媳婦起，到如今我也有了重孫子媳婦了，連頭帶尾五十四年……”。賈母過八十大壽，紅樓十三年應是七十八歲，而第四十七回，即同一年，賈母言明自己進賈府連頭帶尾五十四年，可見賈母出嫁年齡為二十四歲。《欽定大清通禮》關于適婚年齡規定：“男年十六以上，女年十四以上。”《清稗類鈔》《清史稿·列女傳》記錄的女性平均婚齡為是十七點七歲。賈母作為十分講究封建禮制的貴族世家千金小姐，直到二十四歲才出嫁，有悖常理。

賈母的生辰日期也前后對不上號，探春：“一年十二個月，月月有幾個生日，……過了燈節，就是老太太和寶姐姐，他們娘兒兩個遇的巧。三月初一日是太太。”（第六十二回），可是到了第七十二回，老太太的生日突然變成了中秋前的八月初三。

2.王夫人年齡

寶玉過完生日，因做事有失檢點遭到其父一頓毒打，王夫人哭訴道：“我如今已將五十歲的人，只有這個孽障。”（第三十三回），可推知王夫人生寶玉時，已是三十七八歲。沒過幾年，“是年甲寅年十二月十八日立春，元妃薨日是十二月十九日，已交卯年寅月，存年四十三歲。”（第九十五回），這一情節距離元春去世不到四年，此時王夫人也只有五十掛零。難道王夫人在十一歲時就生下了元春？再倒推一年，王夫人不滿十歲就嫁給了賈政？清時雖有童養媳現象，多因家貧，“農家不具六禮”。金陵王家的千金以這樣的年齡婚孕，顯然不太可能。

3.寶玉年齡

賈雨村和冷子興談寶玉時，子興評價道：“說來又奇，如今長了七八歲，雖然淘氣異常，但其聰明乖覺處，百個不及他一個。”（第二回），可見寶玉出場時應為七到八歲。賈寶玉夢游和初試云雨情，均為同一年，周紹良推斷其時寶玉八歲。試想，一個八歲的孩子在做了一場春夢之后，竟然“大腿處”“只覺冰涼一片沾濕”，還“強襲人同領警幻所訓云雨之事”（第六回），一個八歲的孩子身體發育顯然達不到這樣的程度。

4.晴雯年齡

寶玉年齡較黛玉大一歲，襲人年齡比寶玉大兩歲。“大家算來，香菱、晴雯、寶釵三人皆與他同庚。”（第六十三回），可知四人同歲，因此，晴雯年長黛玉三歲。黛玉嘆道：“……，細細算來，我母親去世的早，又無姊妹兄弟，我長了今年十五歲，……”（第四十五回），可知，黛玉當時年方十五歲，亦可推知，晴雯年齡正值十八妙齡。寶玉……，將那誄文即掛于芙蓉枝上，乃泣涕念曰：“……，竊思女兒自臨濁世，迄今凡十有六載。”（第七十八回），庚辰本批：“方十六歲而夭”，也就是說晴雯死時只有十六歲，那么十八歲和姐妹們談笑風生的是誰？

其實，《紅樓夢》中人物年齡前后矛盾，并非只是上述四人，比如：元春的前后年齡也存疑，這里只是選擇幾個具有代表性的人物進行討論罷了。顯然，曹雪芹在創作《紅樓夢》時沒有對人物中的年齡進行詳細的構思，關于年齡的創作，隨意性較大，導致文中出現多個人物年齡前后矛盾的地方。可見，曹雪芹對年齡的數字敏感度較低，缺乏直觀性，數學素養不高。

（六）黛玉的邏輯思維

黛玉首先發問：“寶姐姐和你好你怎么樣？寶姐姐不和你好你怎么樣？寶姐姐前兒和你好，如今不和你好你怎么樣？今兒和你好，后來不和你好你怎么樣？你和她好她偏不和你好你怎么樣？你不和她好她偏和你好你怎么樣？”

寶玉思索半晌大笑道：“任憑弱水三千，我只取一瓢飲。”寶玉用“弱水三千”的典故來回答黛玉的發問，意思是說“世上美女雖多，而我心中只有你一個人”。（第九十一回）

“花謝花飛花滿天，紅消香斷有誰憐？”“儂今葬花人笑癡，他年葬儂知是誰？”林黛玉容貌傾城傾國，詩才曠世，她的邏輯思維能力在《紅樓夢》也有所體現。寶玉和黛玉似乎已經感覺到了賈府的主子們認為，寶釵是寶玉夫人的最佳人選，因此寶玉和黛玉陷入迷茫，相互猜測對方的想法。黛玉的最后兩個問題：“你和她好她偏不和你好你怎么樣？你不和她好她偏和你好你怎么樣？”其實已經分別包括在“寶姐姐不和你好你怎么樣”和“寶姐姐和你好怎么樣”之中，因而不符合互斥性。寶玉如果回答了“寶姐姐不和你好你怎么樣”和“寶姐姐和你好怎么樣”，就沒有必要重復回答黛玉問的“你和她好她偏不和你好你怎么樣？你不和她好她偏和你好你怎么樣？”這兩個問題了。倒是“寶姐姐前兒不和你好，如今和以后和你好你怎么樣？”“寶姐姐前兒和如今不和你好，但今后要和你好你怎么樣？”這兩個問題黛玉卻沒有問到，所以分類不具有窮盡性。如此看來，林妹妹的數學學習要加強了！

三、《紅樓夢》中體現的數學思想

通過分析《紅樓夢》中所包含的一系列問題，可以判斷出曹雪芹并不具有系統的數學概念，但是具有一定的數學能力，而這種能力相信更多的是來源于對生活的觀察、積累和感悟。比如：同日生日問題。如果曹雪芹沒有對日常生活的觀察，發現兩人同日生日的可能性，相信一定不能夠寫出這樣的語句出來：“倒有些意思，一年十二個月，月月有幾個生日。人多了，便這等巧，也有三個一日，兩個一日的。”即使放在現在社會，如果一個人沒有學過概率，沒有一定的數學修養，是不可能理解這樣的判斷。但是，在群芳擲骰子游戲中，關于點數的設計，曹雪芹定然沒有遵循數學規律，給出的點數基本上都是出現概率很低的點數，本應出現概率高的點數反而沒有出現，用概率語言來表述，就是小概率事件發生了，而大概率事件反而沒有發生，可見曹雪芹關于這段情節的設計具有一定的隨意性，從側面也反映出曹雪芹關于這一方面數學常識的缺失。還有關于《紅樓夢》中一些人物年齡出現前后文不一致的現象，也反映了曹雪芹在這一細節上考慮不夠仔細，或者說曹雪芹的數學的直觀感覺一般，相信如果是一位有數學背景的人來寫《紅樓夢》，最起碼不會出現年齡前后不一致的錯誤。

四、結語

通過上述分析，其實很難給曹雪芹在數學方面的能力下一個確定性的結論。曹雪芹的數學認識主要來源于生活中實踐，由于缺乏系統的數學訓練，犯了一些跟數學相關的明顯錯誤。其實無論是運用統計方法研究《紅樓夢》，還是研究《紅樓夢》中的數學問題及其數學思想，都是紅學研究中滄海一粟，僅是另辟蹊徑，以期窺得《紅樓夢》之冰山一角，并不會成為紅學研究的主流，百花爭艷縱是好，一花獨開也是春。

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編輯 陳鮮艷