從二元一次方程與一次函數的聯系說起

肖亞萱 吳佐紀

若新命題與原認知結構中的有關知識具有一定的聯系，但既非上位關系，也非下位關系，則稱這種命題與原有命題之間是并列關系，這種命題的學習稱為并列學習。這是孫道斌先生在《初中數學課型教學研究》一書中的闡述。下面就以北師大版八年級上冊第五章第7節《二元一次方程與一次函數》的學習感受來說一說。

1. 課例概述

環節1：作出一次函數y=x+5的圖象

這里我們從畫一次函數的圖象開始，再次感受函數的三種表達式之間的緊密關系：從關系式、到列表、到圖象。再說一說我們是怎么畫出函數圖象的，其中老師特別追問如何從列表到描點的，是如何將x＼y對應取值寫成點的坐標。因為畫函數圖象時有四步作圖法：列表、寫點坐標、描點坐標、連線。這里比書上多一個步驟，讓我們的思維可以從以前得到連續。我們再次經歷這個作圖過程，借以學生的體驗活動助力本節的中心內容學習：以關系式為中心的取值，又把取值寫坐標，又可把坐標化為方程的解x=y=。

環節2：合作探究

（1） 方程x+y=5的解有多少個？寫出一些。

（2） 在直角坐標系內分別描出以這些解為坐標的點，它們在一次函數y=5-x的圖象上嗎？

（3） 在一次函數圖象上任取一點，它的坐標適合方程x+y=5嗎？

（4） 以方程x+y=5的解為坐標的所有點組成的圖象與一次函數y=5-x的圖象相同嗎？

我們緊緊圍繞這些問題進行探究活動，在小組中展開學習互助。在剛才自己作圖的基礎上與同學合作共同討論求解以上問題，然后在老師的帶領下完成合作探究。

環節3：合作探究

學生在小組里進行探究、討論和學習，在相互的討論中預設學生能夠發現以下問題：（1） 一些x與y取值一樣；（2） 若把解寫成點坐標的形式后，與圖象上的點坐標一樣。

接著老師與學生一起提煉它們之間的關系。從一次函數的關系式y=-x+5與二元一次方程y+x=5的等式來看，同學們看到什么，學生：把-x移項，那么它們就是一樣的方程了。教師說，從列表取值上看，你們發現什么？學生：它們的取值一樣。教師追問道：這是為什么？學生：它們都是從關系式y=-2x+1或y+2x=1算出的，教師：你們還有什么發現？學生：方程的解，寫成實數對后，是點的坐標，或是把點的坐標寫成解的形式，那它就是二元一次方程的解。教師再追問道：還有什么發現？學生：它們是一樣的。教師重述道：一樣的，你們認為呢？他說的有道理嗎？

環節4：歸納總結

一次函數y=-2x+1與二元一次方程y+2x=1是一樣的。

是真的一樣的嗎？教師再次發問，引發思考。教師引導學生再次從列表中找其它對應關系，如對于方程，當x=20時，y=-39，當x=-10時y=-21，那么把它們寫成實數對（20，-39）、（-10， -21），這些坐標會在一次函數y=-2x+1的圖象上嗎？你怎么驗證？學生：可以代入函數關系式中。而對于一次函數y=-2x+1圖象上的點，是否會是二元一次方程y+2x=1的解呢？學生：會，因為都是從同樣的等式算出的。

環節5：合作探究

利用教材P123頁的“做一做”，進行達標訓練。

環節6：課堂檢測（略）

2. 課例分析

函數的概念及其三種表達方式是初中學習函數的基礎，它處于總的位置，是處在上位上，而一次函數是它的一個特例。方程是一個含有未知數的等式，是綱，而二元一次方程是方程的一種。把握住總屬的辯證關系，有利于我們的學習生成。

第一，把握教材前后的聯系，學習時把思維放在最近發展區，放在最能引發聯系和沖突的地方，使教材前后呈現出承上啟下的特性，教材各章節之間不是斷裂的，可以激發我們的另類空間想象。

第二，知識的發散與整體的結合，其中利用坐標是一組有序實數對，而方程的解也是一組實數對，這是聯系的，是集中地，是各區塊鏈之間的神經元。運用這個神經元，發散到一次函數圖象是坐標點，發散到二元一次方程是方程的解。

第三，以函數的三種表達方式為抓手，再創新地運用列表中的數據，對其中的數據進行有理有力地分析和概括，列表時，我們利用函數關系式進行計算，求方程的解時我們也是利用方程這個等式進行計算。然而，關系式與方程是一樣的。這個“一樣”，一經發現，那么學習函數與二元一次方程的關系就只剩下融會貫通，只差實踐鍛煉了。

第四，在教學中加入了數據的收集和整理的處理理念，使各模塊的知識進行了融合。

《望岳》中有：會當凌絕頂，一覽眾山小。利用函數關系式，畫出圖象，在制作圖象的過程中，我們感受到了，取一個x值，就會有一個對應的y值，而取值過程是通過函數關系式來進行計算的，關系式是什么？是二元一次方程嗎？這里是這堂課的關鍵節點。如何把方程與函數聯系在一起？函數關系式可以是二元一次方程嗎？老師的設計，站在探究的角度，引領學生感受到這種“水到渠成”的學法，那就是列表求值和方程求解，是它們連接的地方，是學生在計算的地方，這是問題所在和解決問題的根本。