例析函數的值域求解策略

薛志成

[摘? ? ? ? ? ?要]? 函數的解析式形式多種多樣，各不相同，函數值域的求法也就各種各樣，這無疑給函數值域的求解帶來了很大的難度。如何準確、高效地求解所給函數的值域，顯得尤為重要。通過一些典型的例子，分析函數值域的求解策略。

[關? ? 鍵? ?詞]? 函數;值域;求解;策略

[中圖分類號]? O714? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2019）09-0090-02

函數是中等職業學校數學的核心內容，貫穿于課程前后所有章節，是對口升學高考的重要知識點之一。它不僅與方程和不等式有著本質的內在聯系，而且作為一種重要的思想方法，在所有內容中都起著重要的作用。函數的值域就是函數值的取值范圍，它雖然由函數的兩要素：定義域和對應法則，完全確定，但求解值域比求解定義域要困難得多。因此如何準確、高效地求解函數的值域顯得尤為重要。

求函數值域的常用方法有：配方法、換元法、判別式法、圖像法、利用函數的單調性法、導數法等眾多方法。用哪一種方法呢？大多數學生在解題時總會盲目亂套，或者一種方法一種方法地去嘗試，從而求解效率低，事倍功半。根據多年的教學經驗，我發現出現這種問題的原因是沒有把握好函數的特點。實際上，抓住了函數解析式自身的特點，運用相應的策略去求解函數的值域是輕而易舉的事。

策略1.靜而觀之——觀察法

有的函數解析式并不復雜，令人一目了然。求解這些函數的值域時千萬不能盲目出手，如果僅抱著為做題而做題的態度，不但浪費了時間，影響了解題速度，還會弄巧成拙。俗話說得好：殺雞焉用宰牛刀。如果碰到這類函數，我們就靜而觀之，小題小做，可以嘗試通過基本初等函數的值域以及不等式的性質等基礎知識直接觀察出所求函數的值域。

例2.求函數y=x4-3x+1的值域。

解析：這道題給人的第一印象是所給函數的解析式是二次函數的變式，即y=x4-3x+1=（x2）2-3x2+1，我們二話不說，毫不猶豫，“思維定勢”，大膽地運用配方法，一定會解決問題的。

策略3.起伏有定——單調性法

若函數在某個區間有單調性，反映在圖像上是上升的或下降的，則可用單性法一招致勝。

對函數f（x）的定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1，x2且x1f（x2），那么函數f（x）在區間I上是減函數。即函數值隨著自變量的增大而增大者為增函數，函數值隨著自變量的增大而減小者為減函數。我們恰好可以利用函數單調性的這一特性來求解函數的值域。

策略4.偷梁換柱——換元法

有些函數的解析式較為復雜，是若干個基本初等函數的復合函數，一時難以入手，可以通過換元轉化為我們所熟悉的函數，再進行求解。

解x=0時，y=0

策略6.一錘定音——判別式法

如果要求行如y=（a，d不同時為零）的函數的值域，可將其解析式變形為關于x的一元二次方程F（x，y），通過方程有實根，判別式？駐≥0，從而求得原函數的值域。

x∈R，即上述關于x的一元二次方程有實根

∴？駐=[2（y-2）]2-4（y-2）（3y+7）≥0

策略7.逆道而行——反函數法

一般的，設函數y=f（x）（x∈A）的值域是C，根據這個函數中x，y的關系，用y把x表示出，得到x=φ（y）。若對y在C中的任何一個值，通過x=φ（y），x在A中都有唯一的值和它對應，那么，x=φ（y）就表示y是自變量，x是自變量y的函數，這樣的函數x=φ（y）（y∈C）叫作函數y=f（x）（x∈A）的反函數，記作x=f-1（y）.反函數y=f-1（x）的定義域、值域分別是函數y=f（x）的值域、定義域.

我們正好可以用“反函數y=f-1（x）的定義域、值域分別是函數y=f（x）的值域、定義域”這一特性，通過求已知函數的反函數的定義域來求解已知函數的值域。

策略8.走捷徑——導數法

導數是對函數的圖像與性質的總結與拓展，同時導數也是研究函數單調性極佳、最佳的重要工具，因此利用導數巧解函數的值域往往是非常理想的，

策略9.數形結合——圖像法

對一些函數（如二次函數、分段函數等）的求值域問題，我們可以借助直觀形象的函數圖像來觀察其函數值的變化情況，再有的放矢地通過函數解析式求函數最值，確定函數值域，用數形結合法，使運算過程大大簡化.

其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式、直線斜率等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。

例10.求函數y=x2+2x-3，-2≤x<0x2-2x-3，0≤x≤3的值域。

先畫出函數的大體圖像，顯而易見，所求函數的值域為[-4，0].

上面，我結合自己的日常教學經驗給出了函數值域的九種求解策略，各有各的適用情形，各有各的妙處。當然，教無定法，學也無定法，自然，求函數的值域一定還有許許多多的好方法、巧妙方法和新奇方法，待有志者作進一步的探討與研究。

總之，函數是數學中最重要的概念之一，且貫穿在數學的始終，只有對概念作到深刻理解，才能正確靈活地加以應用。而函數值域的求解，則是對函數兩要素的深化，考驗著一個學生的綜合數學素養和能力，可謂眼觀六路、耳聽八方。所以，要作為一名合格的數學教師，不僅要善于啟發學生多思多想，還要引導學生平時留心多歸納。熟能生巧之時策略自然如泉涌，有的放矢，方可一針見血。

參考文獻：

[1]李廣全，李尚志.數學（基礎模塊）上冊[M].3版.高等教育出版社，2018.

[2]李廣全，李尚志.數學（基礎模塊）下冊[M].修訂版.高等教育出版社，2013.