淺談Gross-Pitaevskii方程基于分裂隱式純無網格方法模擬

蔣戎戎 任金蓮

摘 ? 要：光滑粒子動力學（SPH）法是一種純無網格方法，將其推廣應用到Gross-Pitaevskii方程（GPE）的模擬時，出現精度低和穩定性差的問題。因此，本文首先引入時間分裂法將GPE分解為線性導數和非線性項兩個微分方程;其次對線性導數部分運用隱式修正SPH方法進行求解，對非線性部分用二階分裂格式;最后采用MPI并行技術以提高計算效率，得到一種能夠高效、準確模擬三維GPE的基于時間分裂隱式修正SPH方法。

關鍵詞：光滑粒子動力學 ?Gross-Pitaevskii方程 ?時間分裂 ?并行計算

中圖分類號：O241 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1674-098X（2019）02（b）-0251-02

1 ?光滑粒子流體動力學方法的提出

近年來提出許多求解Gross-Pitaevskii方程（GPE）的數值方法，如有限元法[1]、有限差分法[2]、無網格法[3]和時間分裂偽譜法[4]等。各種無網格方法也得到了發展，其中光滑粒子流體力學方法[5-7]是一種純無網格方法。與基于網格的方法相比，粒子法有一個主要優點，那就是在編程和并行化中，對于復雜的三維問題，特別是在區域上粒子分布不均勻的情況下，很容易實現。目前將利用現有改進的SPH方法、隱式格式和時間分裂法優點開發一種并行的隱式修正的SPH方法運用于求解GPE中。

2 ?分裂隱式修正并行SPH方法

2.1 分裂方法

時間分裂偽譜法[4]是求解GPE的常用方法，其精度高、效率高。

2.2 分裂隱式修正SPH格式

2.2.1 修正SPH格式

傳統SPH方法的簡單描述：傳統SPH方法是基于核函數[5-6]積分插值的插值理論。在SPH方法中，計算域被離散成有限數量的粒子，每個粒子攜帶一些物理量，具體取決于問題。對于任意函數及其在處的一階導數[5-6，9]，引入占據體積，得到粒子處的粒子近似方案[8]。

2.3 并行實現

SPH方法需要確定相鄰粒子，這導致了計算內存和CPU計算時間的增加，尤其是對于三維問題。為了提高計算效率，提出了幾種基于背景網格的粒子搜索方法，其中基于背景網格的粒子搜索技術在流體流動問題中被廣泛采用。SPH方法具有與分子動力學方法相同的特點，易于實現消息傳遞接口（MPI）的并行化。

3 ?結語

在對Gross-Pitaevskii方程（GPE）的模擬時，傳統光滑粒子動力學（SPH）方法易出現精度低和穩定性差的問題。因此，本文引入時間分裂法，運用隱式修正SPH方法求解線性導數部分，運用二階分裂格式對非線性部分進行求解，并采結合MPI并行技術提高計算效率，給出一種能夠穩定、高效、準確模擬三維GPE的基于時間分裂隱式修正SPH方法。

參考文獻

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