基于函數(shù)模型思想下的一次函數(shù)教學(xué)

賈云

在初中代數(shù)教學(xué)中，函數(shù)教學(xué)是重要內(nèi)容。學(xué)習(xí)函數(shù)應(yīng)重視其對(duì)現(xiàn)實(shí)世界變量之間關(guān)系的刻畫作用，及模型的作用。一次函數(shù)是函數(shù)學(xué)習(xí)中重要組成部分，一方面由于一次函數(shù)的知識(shí)是建立線性擬合（線性模型）的基礎(chǔ)，現(xiàn)實(shí)生活中建立這種模型的問題的模型是大量存在的;另一方面對(duì)一次函數(shù)的學(xué)習(xí)將使學(xué)生初步體驗(yàn)研究函數(shù)的一般方法。在教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生如何靈活正確理解一次函數(shù)的基本性質(zhì)及一次函數(shù)所反映的現(xiàn)實(shí)對(duì)象之間的關(guān)系，能運(yùn)用語言、式、數(shù)值、圖像描述和解釋數(shù)量關(guān)系與變化規(guī)律，用模型的方法把認(rèn)識(shí)與應(yīng)用提高到一個(gè)高的水平。幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，合理構(gòu)建函數(shù)模型解決問題的重要能力是教師教學(xué)中應(yīng)注意的重要課題。就此談?wù)勎业捏w會(huì)。

1 基于函數(shù)基本知識(shí)與基本技能建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型

函數(shù)作為刻畫現(xiàn)實(shí)世界中變化規(guī)律的主要的數(shù)學(xué)模式。模型的建構(gòu)必須依托于現(xiàn)實(shí)世界中的問題情景，反映了實(shí)際問題中“量”與“量”之間的關(guān)系。這樣的關(guān)系成為一種相互依賴關(guān)系，對(duì)函數(shù)自身及表達(dá)方式（列表法、圖像法、解析法）的理解，是落實(shí)函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能等是教學(xué)的落腳點(diǎn)

1.1 基于表格呈現(xiàn)變量之間的關(guān)系建立函數(shù)模型

現(xiàn)實(shí)世界中存在大量問題，具有簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系的變量，其中大多為變量之間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，屬于初中數(shù)學(xué)研究函數(shù)的范疇。列表法。只為表達(dá)變量間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系常用的方法。表格呈現(xiàn)實(shí)際問題中的變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，再結(jié)合變量值的對(duì)應(yīng)類型。確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而再根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系回到實(shí)際情景之中，分析變量的實(shí)際意義，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型。以表格方式所記錄的對(duì)應(yīng)關(guān)系，具體的反映出函數(shù)是刻意刻畫同一變化過程中兩個(gè)變量之間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系的模型思想內(nèi)涵。

1.2 基于圖像表達(dá)變量之間的內(nèi)在聯(lián)系建立函數(shù)模型

以圖像的方式，可以使函數(shù)所表達(dá)的數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，更加形象、直觀，為數(shù)形結(jié)合地研究函數(shù)問題奠定了基礎(chǔ)，圖像法是研究和的重要方法。

例：（2016陜西中考）上周六上午8點(diǎn)，小穎同爸爸媽媽一起從西安出發(fā)回安康看望姥姥，途中他們?cè)谝粋€(gè)服務(wù)區(qū)休息了半小時(shí)，然后直達(dá)姥姥家.如圖，是小穎一家這次行程中距姥姥家的距離y（千米）與他們路途所用的時(shí)間x（時(shí)）之間的函數(shù)圖象.

請(qǐng)你根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）求線段AB所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;

（2）已知小穎一家出服務(wù)區(qū)后，行駛30分鐘時(shí)，距姥姥家還有80千米，問小穎一家當(dāng)天幾點(diǎn)到達(dá)姥姥家？

圖中的三條線段就是對(duì)三個(gè)階段的直觀描述，讀懂圖中的信息是解決問題的關(guān)鍵，在教學(xué)中教會(huì)學(xué)生讀圖把圖形用語言描述出來，及語言、圖像、式三中表達(dá)方式的互換。通過數(shù)形、式形結(jié)合建立函數(shù)模型。圖像的變化通過函數(shù)關(guān)系加以刻畫，對(duì)于理解函數(shù)模型的價(jià)值具有重要意義。

1.3 基于實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系建立函數(shù)模型

生活情景，為學(xué)生所熟悉。這類經(jīng)濟(jì)中的問題需要分析問題中的數(shù)量關(guān)系加量與量的關(guān)系，救助教學(xué)工具加以刻畫。能否合理運(yùn)用已有的思路和模式解決問題，是解決函數(shù)問題的基本策略。教師在教學(xué)中幫助學(xué)生形成認(rèn)真勤奮、獨(dú)立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣重點(diǎn)表現(xiàn)在良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣的養(yǎng)成，及在新問題中合理運(yùn)用已有的思考路徑模式解決問題。

例.（2017陜西中考）某櫻桃種植戶有20噸櫻桃待售，現(xiàn)有兩種銷售方式：一是批發(fā)，二是零售.經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，這兩種銷售方式對(duì)這個(gè)種植戶而言，每天的銷量及每噸所獲的利潤(rùn)如下表：

假設(shè)該種植戶售完20噸櫻桃，共批發(fā)了x噸，所獲總利潤(rùn)為y元.

（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

（2）若受客觀因素影響，這個(gè)種植戶每天只能采用一種銷售方式銷售，且正好10天銷售完所有櫻桃，請(qǐng)計(jì)算該種植戶所獲總利潤(rùn)是多少元？

實(shí)事上，這類問題的解決思路都是“選擇方案”的問題，都是在學(xué)生在已有的函數(shù)模型經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上解決問題。

建立不同形式的函數(shù)模型，是學(xué)生和教師解題經(jīng)驗(yàn)的積累，教師在教學(xué)中要關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)的落實(shí)，經(jīng)驗(yàn)的積累，千題萬題不如講透一題，千法萬發(fā)不如落實(shí)得法，教會(huì)學(xué)生通過學(xué)習(xí)、反思、總結(jié)內(nèi)化為學(xué)生的知識(shí)與能力。

2 在函數(shù)建模教學(xué)實(shí)現(xiàn)學(xué)生知識(shí)、能力、素養(yǎng)的提升

建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活問題的進(jìn)行的數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法構(gòu)建模型，解決問題的過程。從這個(gè)意義講函數(shù)建模是的函數(shù)知識(shí)和數(shù)學(xué)技能，也可理解成為函數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程。函數(shù)建模教學(xué)過程簡(jiǎn)化為三個(gè)環(huán)節(jié)：首先從現(xiàn)實(shí)生活或者具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題;然后，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立函數(shù)表達(dá)變化關(guān)系。這一步中，學(xué)生要通過觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等數(shù)學(xué)活動(dòng)完成模型抽象，這是建模最重要的一環(huán)。最后，通過函數(shù)模型求出結(jié)果，并用此結(jié)果解釋討論他在現(xiàn)實(shí)中的意義。

3 結(jié)語

總之，函數(shù)建模教學(xué)，學(xué)生要把實(shí)際問題簡(jiǎn)化、抽象為合理的一次函數(shù)模型。不僅需要教師在教學(xué)中以學(xué)生為中心，以問題為主線，以培養(yǎng)核心素養(yǎng)為目標(biāo);還需要調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，充分發(fā)揮學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，形成數(shù)學(xué)思維方式;為學(xué)生終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（作者單位：陜西省鎮(zhèn)安縣回龍中學(xué)）