如何利用導數解決函數的單調性問題

于海青

利用導數解決函數的單調性問題，是近幾年高考考查的重點和熱點之一，也是學生感到比較棘手的一類問題.

類型一 利用導數判斷函數的單調性

依據是：若函數f（x）在某

個區間（a，b）內的導數為f '（x），則

（1）若f '（x）>0，則函數f（x）在區間（a，b）內遞增；

（2）若f '（x）<0， 則函數f（x）在區間（a，b）內遞減；

（3）若f '（x）=0， 則函數f（x）在區間（a，b）內是常數函數.

例 ：已知函數f（x）=x-1（1+a）lnx-—（a≠0），試討論函數f（x）的單調性.

解析：函數f （x）的定義域為（0，+∞），

f '（x）=1-—+—=—=

—.

（1）當a<0時，由f '（x）>0得x>1； 由f '（x<0）得0

所以f（x）在區間（1，+∞）上單調遞增，在區間（0，1）上單調遞減.

（2）當0

0得x>1或0

所以f（x）在區間（0，a），（1，+∞） 上單調遞增，在區間（a，1）上單調遞減.

（3）當a=1時，f '（x）≥0恒成立，所以f（x）在區間（0，+∞）上單調遞增.

（4）當a>1時，由f '（x）>0得x>a 或0

所以f（x）在區間（0，1），（a ，+∞）上單調遞增，在區間（1，a）上單調遞減.

變式：已知函數f（x）=x-lnx-—（a≠0） ，試判斷函數f（x）的單調性.

解析：函數f（x）的定義域為（0，

+∞），f '（x）=1-—+—=—

由于△=1-4a，所以

（1）當1-4a≤0 即a≥—時，

f '（x）≥0恒成立，所以f（x）在區間（0，+∞）上單調遞增.

（2）當1-4a>0 即a<—時，令

f '（x）=0，得x1=—；x2=—.

若a<0，則由f '（x）>0 得x>

x2；由f '（x）<0 得0

若00得0x2；由f '（x）<0 得x1

由以上兩題可以看出，在判斷含參函數的單調性時需要注意兩點：①函數的定義域；②如何分類討論.若方程f '（x）=0的根可通過分解因式法求出，則

可以根據方程f '（x）=0的根是否在定義域內及根與根之間的大小關系來分類討論；若方程 f '（x）=0的根不能通過分解因式法求出，則要根據方程f '（x）=

0（一元二次方程）的判別式及根是否在定義域內來分類討論.

類型二 已知函數的單調性求參數的取值范圍

依據是：一般地，可導函數f（x）在某個區間（a，b）內單調遞增（或減）的充要條件是：

（1）對 x∈（a，b），都有f '（x）≥0；

（2）在區間（a，b）內的任何子區間上f '（x）不恒為0 .

例：已知函數f（x）=x3+ax2+x+1（a∈R） 在區間（-—，-—）內是減函數，求實數a的取值范圍.

解析：f（x）=3x2+2ax+1

因為f '（x）在區間（-—，-—）

內是減函數，所以f '（x）=3x2+2ax+

1≤0對x∈（-—，-—）恒成立.結合二次函數的圖像，有

f '（-—）≤0

f '（-—）≤0 ，所以a≥2.

而當a=2時，f（x）在區間（-—，

-—）內不是常數函數，所以實數a的取值范圍是a≥2.

變式1：函數f（x）=—（a∈R） 在區間（-2，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍.

解析 ：f '（x）=—=

—

因為函數f '（x）在區間（-2，+∞）上是增函數，所以f '（x）=—≥

0在區間（-2，+∞）恒成立，所以a≥—.

而當a=—時，f（x）=—=—為常數函數，故a=—舍去，所以實數a的取值范圍是a>—.

變式2：已知函數f（x）=x3+ax2+

x+1（a∈R）在區間（-—，-—）內存在單調遞減區間，求實數a的取值范圍.

解析：f '（x）=3x2+2ax+1

因為f（x）在區間（-—，-—）內存在單調遞減區間，以f '（x）=3x2+

2ax+1<0對x∈（-—，-—）有解.即不等式a>-—x-—對x∈（-—，-—）有解.

令g（x）=-—x-—，x∈（-—，

-—），則g '（x）=-—x+—=—

所以g（x）在區間（-—，-—）內遞減，在區間（-—，-—）內遞增，故g（x）min=g（-—）=√3，所以實數a的取值范圍是a>√3.

由函數在某區間上的單調性，求參數的取值范圍問題，可以利用轉化與化歸的思想，將其轉化為“不等式恒成立”問題，也可以利用函數與方程的思想及數形結合的思想，將其轉化為“函數圖像的交點”問題.

（作者單位：山東省青島市城陽第一高級中學）